《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0747 薛问天:谈林益先生对幂集定理和康托定理的质疑。评《0746》

已有 231 次阅读 2021-11-27 15:36 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0747 薛问天:谈林益先生对幂集定理和康托定理的质疑。评《0746》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对林益先生《Zmn-0746》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

谈林益先生对幂集定理和

康托定理的质疑。评《0746》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn


薛问天-s.jpg重点谈两个问题,一个是林益先生对康托尔幂集定理的质疑(《0746》四),一个是对康托尔的实数不可数定理的质疑(《0746》九和三)。

 

一,关于幂集定理的证明。

幂集定理是说,任何集合A,如果它基数是μ,则它的幂集PA(即所有A的子集构成的集合)的基数2μ大于μ。我上次给出了一个证明的描述。林益先生实际上没有对证明提出任何具体的质疑。(我建议对证明每一步,都通过你的思考,把不同意的提出来,没有不同意的,就应承认证明)。

林益先生提出了一个反例,对这个例子,他认为集合A是可数的,但A的幂集A(网上字体中没有花写的A,我们用A来替代)也证明可数,2μ=μ从而是一个反例。他是这么说的。


Untitled-1.jpg


他的错在哪里,其实很简单,集合A的幂集A可以分成可数无穷多个类A=A0UA1UA2U...UAnU......UAμ。以及如果A是可数的,则对于任何n,An也可证是可数的。这些论断都没有错。

问题的关键是Aμ 即基数是可数无穷的子集的类。林益先生并沒有证明Aμ是可数的。所以认为A是可数的就犯了严重的错误。即可证A0UA1UA2U...UAnU......可数,但并没有证明Aμ可数,所以证明不了A=A0UA1UA2U...UAnU......UAμ是可数的。错就犯在这里。这说明林益先生在论证中还不够细緻,不够严谨。

另外文中说的【A1就与 A 对等,A2是 A 的子集, 不存在f(x)使得A2的元素x,使得f(x)A,那么A1∪A2是否可列呢?】说得有些莫明其妙,A2是A的部分子集(由2个元素构成的子集)构成的子集的类,它本身不是A的子集。你又根据什么说【不存在f(x)使得A2的元素x,使得f(x)A】。其实可证A2也是可同A一一对应的。由于A1是可数的,A2也可证明是可数的,当然A1UA2也是可数的。我希望林益先生的言论,每句话都要说得有道理,有根据。

 

二,关于康托尔实数不可数定理的证明

根据林益先生的要求,我把证明写了一遍(共4点)。我希望林益先生的质疑要具体,你究竟是对证明的哪一步产生质疑,你说清楚了,我们就可具体讨论。但是林益先生并未提出具体质疑。而是把证明用他的语言写了一遍(共6点)。然后说【请薛问天老师对照“三”中内容一条一条比较,给出评论。】要知道你是质疑者,应由你来提出质疑。你对我证明描述的4奌,哪点不同意应由你提出。你提不出反对意见,就应承认证明的正确。

关于你的表述,我认为其中的【5、因为b不在所列序列中,所以 R 不可数。 】未说清楚理由。为什么b不在序列中,就得出R不可数。应该说清。因为b是无穷小数,是R中的实数,它不在序列A中,同2中说是R中所有实数构成序列A相矛盾,推翻了R可数的假定,才得出R不可数。这是证明的核心必须说清。这正是我叙述的④所说明的。另外,林益先生所述的【6、表明 a1,a2 ,; b不可数。】是错误的。根本得不出这个结论,可数集合加一个元素还是可数的,不可能不可数。而且在5中已根据反证法,由矛盾证明了R不可数,定理已得证,也根本不需要得出6这个错误的结论。我估计这可能就是林益先生对康托证明的误解。林益先生,请你解释一下,你为什么要在康托尔的证明中列出6,你跟据什么得出6这个错误的结论来?

现在我们来分析林益先生《0746》三的错误。

林益先生在三中说

三、 薛问天老师没有认真阅读我的论述,认为“错误在于他沒有认识到,康托尔证明中,对角线求出的b仍是十进制小数,所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 ” 我的原话是“序列 1/ 711/ 721/ 73 1/7n 任意一项转化的纯无穷十进制小数都不在序列 1/311/ 321/33 1/ 3n 转化成十进制小数构成的方阵中。 ” 就是说: 序列 1/ 711/ 721/ 731/ 7n 任意一项转化的纯无穷十进制小数, 都具备“b仍是十进制小数,所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 ”的资格。 请薛问天老师给出错误的理论依据。

这个错误确实说明林益先生没有搞清在康托证明中,为什么「b仍是十进制小数,所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 」为什么会产生矛盾?我们知道,这是因为序列是由全体实数构成的,实数b不在序列中才会产生矛盾。矛盾是序列包含全体实数,但实数b又不在序列之中,这才产生矛盾。

 

如果我们把1/3n (n=123)称为是3幂分数。把序列 1/31 1/32 1/ 331/3n 转化的纯无穷十进制小数构成的方阵,称为全体3幂分数方阵。我们把1/7n(n=123)称为是7幂分数。把序列 1/ 711/ 721/ 731/7n 转化成的纯十进制小数构成的方阵,称为全体7幂分数方阵。

很显然任何7幂分数转化成的无穷小数,都不会在全体3幂分数方阵中出现,反之亦然。这会产生什么矛盾?什么矛盾都沒有。要知道,任何7幂分数不在全体3幂分数方阵中出现,并不是不在全体实数方阵序列中出现。请问林益先生你指的产生的矛盾又是什么呢?所以说,林益先生所说的任何7幂分数转化成的无穷小数,都不会在3幂分数方阵中出现,根本不具备有【存在矛盾的资格】。

 

林益先生还说【康托尔列出的纯无穷十进制小数序列: a1a2a3a4 an 。按照康托尔对角线证法的观点,只能与序列 1/311/321/ 331/3n 转化成无穷十进制小数序列构成一一对应, 而与序列 1/711/72 1/73 1/7n无关,

林益先生已承认【2、 假定 R 可数。 R 中所有实数组成一个序列 A={ a1, a2,}R 可数R同所有自然数N一一对应,怎么【只能与】3幂分数【转化成无穷十进制小数序列构成一一对应】。所有的3幂分数和7幂分数转化的十进制无穷小数都是实数,所以都在序列A之中,怎么能说A与7幂分数序列【无关】?

林益先生又说【序列 1/711/721/731/ 7n也能转化成无穷十进制小数,显然 1/ 311/321/331/3n ; 1/711/721/ 73, 1/7n 转化成无穷十进制小数序列比a1a2a3a4an 元素多得多,

序列A是全体实数,3幂分数和7幂分数转成的只是实数的很少的一部分。哪个多哪个少显然林益先生说错了。

林益先生还说【由于 1/311/321/331/3n; 1/711/721/ 731/7n是有理数序列,只能说明a1a2a3a4,an 没有列出纯无穷十进制小数,证明就没有意义。

林益先生说得更无道理,序列A列出全体实数。怎么能说【没有列出纯无穷十进制小数,

而林益先生构造的3幂分数和7幂分数不可数的所谓【证明】,更是错得一塌糊涂。

林益先生把全体3幂分数同7幂分数和起来一起证明它不可数。用反证法,假定它们可数,于是全体3幂分数同7幂分数和起来,它们的十进制小数构成一个方阵。然后林益先生说任何7幂分数转化成的无穷小数,都不会在3幂分数方阵中出现,说【显然产生矛盾】。这显然是在乱说,因为7幂分数不会在3幂分数方阵中出现,但是肯定会在由3幂分数同7幂分数和起来的方阵中出现。是出现而不是不出现,怎么产生矛盾呢?

好吧!如果说证明的不是针对3幂分数同7幂分数合起来不可数,而仅仅只证明3幂分数不可数,那当然在反证法的假定下形成的方阵只是3幂分数方阵,这时确实任何一个7幂分数都不会在3幂分数方阵中出现。不出现是肯定的,但是这不引起任何矛盾。7幂分数不在全体3幂分数的方阵中出现,很正常,一点矛盾都沒有,推翻不了反证法开始的可数的假定,从而得不出不可数的结论。所以这个证明是错的。这就是我按照林益先生的要求【如果薛问天老师认为有错, 请找出错误的地方和理由。

参考文献





返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       









https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1314123.html

上一篇:Zmn-0746 林 益:回复《Zmn-0742》
下一篇:Zmn-0748 双木林: 无穷小小数“0.0…1”是怎样的一个数?质询侯小山, APB 有关文章的几个问题

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-1-19 01:03

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部