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Zmn-0742 薛问天：继续回答林益先生提出的有关无穷集合的几个问题 。评《0740》
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Zmn-0742 薛问天：继续回答林益先生提出的有关无穷集合的几个问题 。评《0740》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0740》提出的有关问题的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
继续回答林益先生提出的
有关无穷集合的几个问题 。评《0740》
薛问天
按林益先生《0740》提问的顺序来谈我的看法，我们共同来探讨。
一、林益先生提问: 实无穷是康托尔集合论和超穷数理论的核心，实无穷是康托尔建立的， 薛问天老师是忠实实无穷者， 你能给出康托尔关于实无穷的具体论述吗？
薛某回答: 我曾作过些论述，请参阅。
Zmn-0606 薛问天： 区分两种实无穷观 2021-7-23 15:19
Zmn-0077 薛问天：谈现代实无穷观-评林益先⽣《zmn-0072》的回复。 2019-12-2 16:49
二、林益先生提问: a1,a2,a3,...,an,...是无穷序列，元素按照一定的规律在不断构造增加过程中， 能完成结束构成一个整体吗？如果能，就是确定不变的无穷序列， 必然有结束完成的标记， 薛问天老师能给出这个结束完成的标记吗？ {a1,a2,a3,...,an,...}是无穷集合，难得集合符号{}就是无穷集合的结束完成的标记吗？既然承认是确定的无穷集合，就表明集合不再变化， 就表明元素不再增加， 就必然存在最后一个元素， 你能给出这个元素吗？ 你曾经承认无穷就是有始无终， 就像一列无穷列车， 有人幻想有一个无穷终点站，这样的观点是什么无穷观？ 如果没有无穷终点站，列车必然按照原来给定的运动规律延伸行驶，不能完成结束行驶， 你认为有无穷终点站吗？ 能构成一个确定不变的整体吗？
薛某回答: 林益先生坚持认为【确定不变的无穷序列， 必然有结束完成的标记，】，【元素不再增加， 就必然存在最后一个元素，】这是不对的。这是没有区分有穷和无穷而产生的错误。有穷序列在结束时，有【完成的标记】。但无穷序列在结束完成时，并不一定有这个【完成的标记】。
元素不再增加的集合，有穷集合有【最后一个元素】，无穷集合则不一定有。
三、林益先生提问:
薛某回答: 林益先生通过认真思考，可以明确认识他的推论的错误。他的错误和有些人认为康托尔对角线可以证明有理数可数，犯有同样的错误。
错误在于他沒有认识到，康托尔证明中，对角线求出的b仍是十进制小数，所以b不在方阵序列中是存在矛盾。
而对于有理数方阵，求出的b不一定是有理数，它不在方阵序列中则不存在矛盾。
林益所举的3幂分数方阵及7幂分数方阵，用对角线求出的b不是3幂分数也不是7幂分数。所以它们不在方阵序列中，并不引起矛盾。也就是说证明不了3幂分数不可列，也证明不了7幂分数不可列。
林益先生仔细想想，可以很容易想通，这个质疑对角线法的错误。
四、林益先生提问: 康托尔定理的证明也使用反证法：对于集合 A，基数为μ， 集合 A 的幂集为PA，则PA基数为 2μ，结论是 2μ>μ。 如果μ是大于 1 的自然数，结论肯定是成立的，可以用数学归纳法证明。 薛问天老师认为可以把这个有限条件下成立的结论推广到无穷的情况中去吗？ 薛问天老师认为能推广吗？这是涉及无穷的证明问题， 你能给出当μ是最小的无穷基数的具体的反证法证明吗？
薛某回答: 林益先生问【可以把这个有限条件下成立的结论推广到无穷的情况中去吗？ 】
我的回答是可以。但要注意两点。
1，在有限集中，集合A的基数是n，其幂集的基数是2n，2n>n。这里的幂运算2n是自然数的幂运算，大于是自然数的大于关系μ。而在超穷基数中，集合A的基数是μ，其幂集的基数是2μ，2μ>μ。这里的幂运算2μ是基数的幂运算，大于是基数的大于关系。
2， 这种推广不是自然就成立的推广，是必须要得到严格的数学证明。
证明也不是太难。由于集合A可以同幂集PA的一个子集同势。所以按基数的序关系的定义，A的基数绝不会大于PA的基数，即2μ≥μ肯定成立。所以只需证明2μ不等于u即可证明2μ>μ。
用反证法证明。假定集A的基数等于其幂集PA的基数，则A同PA一一对应。假定这个对应是x→f(x)，x∈A，f(x)是PA的元素，即f(x)是A的一个子集。
令A的一个子集是B={x| x∈A，x∉f(x)}。而且在A同PA的一一对应中，B=f(b)。于是可以推出一个矛盾，即b∈B同b∉B的矛盾。现在我们来推。
假定b∈B，因为B=f(b)，则b∈f(b)，根据B的定义，b不滿足B要求其元素x∉f(x)的要求，从而b不属于B，即b∉B。这就从b∈B推出了b∉B。
同样，我们还可以从b∉B推出b∈B。假定b∉B，即b∉f(b)，根据B的定义，b满足B的元素x∉f(x)的条件，从而b属于B，即推出了b∈B。
这个矛盾是由于假定A同PA等势引起的。从而证明了A同PA基数不等，最后证明了PA的基数大于A的基数，即2μ>μ。证毕。
五、林益先生提问: 薛问天老师认为无穷集合在它的形成过程中，个数在不断变化， 当无 穷集合形成后，元素就确定了，不能再增加或減少。 全体自然数的集合，它的 元素是确定的，包含了全体自然数，如果元素增加，所增加的就不是自然数。 你能给出最后一个自然数，使得这个自然数再加 1 就不是自然数吗？ 你认为【集合的元素是确定的，就表明元素不再增加也不再减少】 这是所有集合(包括无穷集合)的属性， 你能给出康托尔关于集合这个属性的具体陈述吗？
薛某回答: 为什么元素不再增加就一定有【最后一个自然数】。 元素不再增加有最后一个数，这是有限集的特性，无限集不一定有这个属性。
关于集合的元素不能再增加，增加后就成为另外的集合了。这个性质是由外延公理所确定的。查㸔一下这个公理，就知道是如何【给出康托尔关于集合这个属性的具体陈述】的。
外延公理。两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
∀X ∀Y [ ∀z ( z∈X ⇔ z∈Y ) ⇔( X=Y ) ]。
六、林益先生提问: 薛问天老师认为： 无穷也可能是可以【结束完成的】 ，很筒单，例如 你回家，可以把回家的路程分成无穷个路段或地点，你认为你回家所经过的这无穷个路段和地点是不能【结束完成的】吗？ 请问薛问天老师：既然你想把路程分成无穷个路段或地点，必然需要无穷多个分的步骤，你认为你分成无穷个路段或地点的无穷步骤能完成吗？ 无穷个路段或地点能都确定存在不变吗。
薛某回答: 我已说过人的感性认识是有限的，无穷对象不可能全部呈现在你面前，人所进行的推理步骤也只能是有限的，但人很聪明，人类通过理性认识，通过逻辑推理承认无穷对象的存在，既使无穷集合的所有元素沒有全部呈现在人的眼前，既使不能在有穷步内将其元素一一表达，但仍然通过理性认识，承认无穷集合是存在的。而这正是人类文明和聪明才智的表现。我们可以通过推理认识到在你回家的路上有无穷个点，例如可用不断地实施二分法，那么【所有的】经有穷次地二分法产生的点，就有无穷个。我们并不需要把这无穷个点全部呈现出来，在推理中只需要说【所有用二分法生成的点】，通过语言，思维，逻辑的推理，这就可断定和承认客观世界存在有这无穷个点。当然你回家的过程结束完成了，就可断定你经过这无穷个点的过程也结束完成了。而且你明确知道回家的路程以及所经过的点，每次都是一样多的，是固定的。肯定在你经过时【无穷个路段或地点能都确定存在不变】。
七、林益先生提问: 什么是【无穷集合】？ 薛问天老师说： 在集合论中给出了非常严格和准确的定义，【无穷集合是非有穷集合的集合】 ， 这是康托尔集合论的无穷集合定义吗？ 不要信口开河，这样是探讨问题的正确态度吗？
薛某回答: 这当然不是信口开河。【无穷集合是非有穷集合的集合】 ，这是无穷集合严格的䓁价定义，无穷集合还有其它的等价定义，如称一个集合是无穷集合，当且仅当它能同它的一个真子集一一对应。可以证明这些定义都是等价的，可以互相推出的。你是否不同意这个定义，可以举出反例来，咱们讨论。
八、林益先生提问: 在证明√2是无理数时，就是根据有理数的表达形式为： 形如 p⁄q的数， (p,q为整数，且q≠0)。 分数都是整数等分分出来的， 小数只是分数的另一种表达形式， 无穷等分只表示小数的位数趋向无穷， 并不能改变分点表示数的属性， 对应的小数也必然是有理数。 有错吗？ 在传统数学理论中， 把无理数定义为： 不能转化为形如p ⁄q 的数， (p,q为整数，且q≠0)。 上述关于有理数和无理数的 定义有错吗？违反唯物辩证法原理和逻辑定义法则吗？与现行教材中的定义等 价吗？能互相准确转换吗？ 在中小学生的认知中，老师讲的和教材上的东西都是正确的，没有自己独 立见解，如果有老师讲的和教材上的东西不同，就不能考高分，甚至不能考上 理想的学校， 老师讲的也只能依据教材，有时不得不违背自己的认知。 决定中 小学生的能力标准就是教材， 如果按照这个标准， 我确实连中小学生都不如， 薛问天老师完全符合这个标准，也就是这个能力和水平，我自愧不如。 薛问天 老师认为我连中小学生都不如， 难道你能保证教材观点都正确吗？
薛某回答: 把有理数定义为分数，这当然是正确的，但林益先生说【小数只是分数的另一种表达形式，】则是错的。他沒有说清这个【小数】是有穷小数还是无穷小数，小数只有两种，一种是有穷小数，一种是无穷小数。不存在【小数的位数趋向无穷】的小数。如果说的小数指的是有穷小数，显然不对，有些分数不能用有穷小数表示，必须用循环无穷小数表示。如果说小数指的是无穷小数，更不对，非循环的无穷小数是无理数，它不是分数。可见你这句话是错的。
林益先生说【难道你能保证教材观点都正确吗？】关于教材的对错，不要抽象空洞地谈。林益先生对哪些教材有不同意见，可以具体提出来，咱们具体讨论。
九、林益先生提问: 康托连续统假设， 哥德尔不能证明它是错误的，科恩也不能证明它是正确的，表明康托连续统假设存在问题。 它即使独立于 ZFC 公理系统， 也不能就表明它正确， 康托尔对角线证法本身存在错误，不能证明区间[0,1)中纯十进 制无穷小数不可数，就表明康托连续统假设是伪命题，康托尔和希尔伯特都耗 费很多精力都没有成功。 薛问天老师认为没有错， 你能给出一个正确证明吗？
薛某回答: 现已证明，连续统假设独立于ZFC公理系统，不能用ZFC公理系统证明它是错误的，也不能证明它是正确的。
但是林益先生的如下断语【康托尔对角线证法本身存在错误，不能证明区间[0,1)中纯十进 制无穷小数不可数】是错误的。你认为证明有错，必须提出你的质疑的理由。
林益先生说【薛问天老师认为没有错， 你能给出一个正确证明吗？ 】
康托尔定理的证明的表述多的是。我陈述如下，你认为哪步有错可以具体举出来。不要空洞抽象地议论。
康托尔定理。区间[0,1]中实数集合R不可数。
证明。用反证法。
①，假定R可数。因为R可数，所以R同自然数集N一一对应。R中所有实数组成一个序列A={a1,a2,...,}。R中任何实数，都存在一个自然数i，使此实数是ai，属于序列A。
②，因为ai是无穷小数，所以ai有第i位小数aii。构造无穷小数b=0.b1b2...。使b的所有的第i位bi，都有bi≠aii。
③，从而序列A中的任何实数ai，它的第i位都同b的第l位不相等，bi≠aii。所以b不等于al，b≠ai。即b不在序列A中。
④，由于b是无穷小数，是R中的实数，b不在序列A中，同R中所有实数属于A相矛盾。而此矛盾即推翻了反证法的R可数的假定。从而证明了R不可数。证毕。
十，林益先生提问: 区间[0,1]不是由实数构成的观点， 确实同康托尔及其追随者的共识差别很大。点的定向运动的轨迹构成连续的线段， 动态点才能构成连续，静态点不能构成连续，因为它的位置是确定不变的，只有稠密性没有连续性，线段不 是点排列出来的， 通过数形结合，点和数构成一一对应，数的值也是确定不变的，数有稠密性没有连续性。 数学上直线和曲线的方程就是构成线的点的坐标 所满足的方程，是自变量表示的点在定义域连续运动， 解析几何和平面几何都是这个原理。线既然是点运动构成，当然线上处处有点， 与线由点构成没有关系。 薛问天老师能找到两个点构成连续而中间没有其它的点，两个数构成连续中间而没有其它的数吗？ 如果能，就请薛问天老师给出具体例子，我就承认点构成线和数构成区间，你能不使我失望吗？ 薛问天老师认为无穷小数的位数并不是在不断延伸变化中，而是确定的有无穷个位，你能给出最后一个确定的小数位保证不再不断延伸变化中吗？ 有确定的无穷位吗？ 无穷小数包含极限运算取得定值极限吗？ 我只相信理论来源于实践，目的就是应用于实践，也就是理论要联系实际， 不喜欢无的放矢，都用实例来验证我的观点。 我回家走是一条有长度的线段， 难道薛问天老师回家是一个一个点走的吗？请注意点是没有长度的，你能你能给出一个具体经过点的数目就能构成你到家的距离吗？ 不要谦虚，说不定能成为轰动世界的成果，我翘首期待，我相信， 薛问天老师不会使我失望的，因为 薛问天老师对这个问题很有研究，多次举这个例子表明自己的正确观点。
薛某回答: 下面来逐句回答。
【点的定向运动的轨迹构成连续的线段，】
轨迹就是点运动经过的所有点，因而这所有经过点的集合就构成线段。所以说线段是由这所有经过点的集合构成的。
【动态点才能构成连续，静态点不能构成连续，因为它的位置是确定不变的，】
动态点是静态点的集合。单个的静态点的位置是确定不变的，但多个静态点的集合，如果满足连续性，就能构成连续的动态点。
【只有稠密性没有连续性】
可以严格证明区间[0,1]中的实数集合，既是稠密的又是连续的。你根据什么说它沒有连续性。要知道有理数的集合才不连续。
【线段不是点排列出来的】，
只有可数的集合才可排成序列。区间中的实数点集合不可数所以不可排成序列。
【通过数形结合，点和数构成一一对应，数的值也是确定不变的，数有稠密性没有连续性。 】
同前，可以严格证明区间[0,1]中的实数集合，既是稠密的又是连续的。你根据什么说它沒有连续性。要知道有理数的集合才不连续。
【数学上直线和曲线的方程就是构成线的点的坐标所满足的方程，是自变量表示的点在定义域连续运动， 解析几何和平面几何都是这个原理。线既然是点运动构成，当然线上处处有点， 与线由点构成没有关系。 】
自变量表示的点在定义域连续运动，就是表示变量可以取定义域中的数(点)为值。线上处处有点，线就是恰恰由这个线上所有这些处处的点构成的，方程中，线必须同线上处处的点保持坐标一致，怎么能说【与线由点构成没有关系】。
【薛问天老师能找到两个点构成连续而中间没有其它的点，两个数构成连续中间而没有其它的数吗？ 如果能，就请薛问天老师给出具体例子，我就承认点构成线和数构成区间，】
这是林益先生对【连续】的错误理解和不合理要求，林益先生认为数域是【连续】的必须存在两个点(数)，它们的数值相差甚小(林先生也没说相差要多小)，【中间没有其它的点(数)，】这是林益先生拍自己的脑袋，胡乱的主观臆想。用这个要求，来定义连续，可以说是任何稠密的数域都不【连续(林)】。因为稠密数域中，任何不等的两数之间，都有其它的数存在。
我在上次己讲过，连续性在数学上已研究得相当清楚，有很多等价的定义，一个最简单的等价定义就是，称一个数域是连续的，当且仅当数域中任何有上界的集合都有上确界，而且上确界是此数域的数。例如有理数就不满足这个性质，所有小于π的有理数集合的上确界是π，不是有理数。所以有理数不是连续的。但是实数满足这个性质，任何实数集合的上确界都是实数。所以说实数是连续的。
【薛问天老师认为无穷小数的位数并不是在不断延伸变化中，而是确定的有无穷个位，你能给出最后一个确定的小数位保证不再不断延伸变化中吗？ 有确定的无穷位吗？】
林益先生为什么总认为确定的有无穷个位，最后一定有【一个确定的小数位】。要知道无穷个位后，仍然可以就【保证不再不断延伸变化】，无穷个位中并无最后【一个确定的小数位】。
【无穷小数包含极限运算取得定值极限吗？】
无穷小数如定义为无穷级数。无穷级数就是它部和序列的极限， 过去林益先生曾把无穷小数和有穷小数序列混为一谈，这是不对的，【无穷小数】并不是【有穷小数序列】的缩写，而是【有穷小数序列】的极限。
【我只相信理论来源于实践，目的就是应用于实践，也就是理论要联系实际， 不喜欢无的放矢，都用实例来验证我的观点。 我回家走是一条有长度的线段， 难道薛问天老师回家是一个一个点走的吗？】
回家走的是一条有长度的线段，回家经过了这个线段，难道不经过这条线段上所有的一个一个的点吗？那还用说，必须经过。你能说出线段上的哪个点没经过吗？只要你说是哪个点，在知道你回家的路程和速度时，我马上可以算出你是什么时间经过这个点的。因而在你回家的过程中经过了线段上所有的点。你不应否定这一客观事实。你能说，我只经过了线段，没有经过线段上的点。这符合客观事实吗？
【请注意点是没有长度的，你能你能给出一个具体经过点的数目就能构成你到家的距离吗？】
在你回家的线段上，经过了无穷个点，可以算出来经过的点集合的基数，是不可数无穷多，等于连续统C。
点沒有长度，点的测度也是0。按照测度理论，有限个和可数无穷多个测度为0的点的集合测度也等于0，但是不可数无穷多个测度为0的点的集合就可大于0。同时规定区问[0,1]的测度为1。线段(区间)中实数点的集合的测度等于该线段(区间)的测度。
这一切在数学中都研究得清清楚楚。对此的解释只是小菜一碟，怎么会是林益先生期待的【不要谦虚，说不定能成为轰动世界的成果，我翘首期待，】
参考文献
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1313553.html
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