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Zmn-0755 沈卫国：对zmn-0741 Thebeater: 我对实数不可数的理解一文的评述

已有 1065 次阅读 2021-12-3 19:12 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0755 沈卫国：对zmn-0741 Thebeater: 我对实数不可数的理解一文的评述

【编者按。下面是沈卫国先生的文章。是对Thebeater: 《Zmn-0741》一文的评述。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对Zmn-0741 Thebeater:我对实数不可数的理解

一文的评述

沈卫国

显然，Thebeater 先生在本文中提供的方法，并没有证明实数不可数。他的那些“专业表述”，实际就是设有一个实数的子集合，其中每一个在表中的位置n的实数的第n 位不是4就是5。然后与康托对角线法所作的一样，只不过对角线上的4变5，5变4，这个对角线上生的数必然不在已经排出的实数的那个子集中。（可以表述如此简单的一个过程，为什么弄一堆符号搞的这么复杂？）

尽管他的表述“专业”，但很可惜，他并没有证明实数不可数。像不少人（包括一些所谓的“专业人士”或“准专业人士”）一样，总有人以为只要找出一个序列之外的元素，就是不可数了。但其实完全不是这么回事。因为他构造的那个集合，很可能就是一个真正的可数集合（实数集合的可数子集合），而不是他想要得到的不可数的实数的子集合。比如，根据他给出的构集条件，完全可以是一个每位不是4就是5的有理数（无限循环小数）所构成，如此，同样可以产生对角线上的那个4变5，5变4后的那个实数（他文中给出的符号是y）。此实数照样不在原先列出的那个有理数的子集合中。但是，能说就此证明了这个有理数的子集合不可数吗？当然不行。为什么？康托自己早就用其它方法证明了全部有理数可数了嘛。如此就说明，他给出的这个证明并没有证明实数不可数。他证明的，只是按他的条件，他给出的实数的子集合不可能按他的要求列出而已。但这可不是不可数。况且他在他自己的文章中，无意中也暴露了这一点，他举的例子一个得到0.5454545454...........，一个是0.55544444444.............，这不都是有理数吗？难道一个集合，缺了一个可数的集合（有理数）的一个元素，可以是不可数的？这不直接违反可数集合加可数集合还是可数集合吗？更何况他给出的是可数集合加一个元素的问题，还不是两个可数无穷的集合相加的问题。如果对角线上产生的不是个有理数（这是可能的）而是无理数（尽管其每位不是4就是5），但如此更证明不了原先可能列出的有理数不可数了。

该位作者也可能辩称，他给出的是非有理数的实数的子集，不是有理数。但你在实际情况中无法区分这两种情况，因为有理数也是实数的子集。

总之，如果选定的实数的子集是一个可数集合，而且包括对角线上所谓“新产生”的那个实数（比如本身就可数的有理数的一个当然仍旧可数的子集），则按作者的方法就没有证明该实数子集不可数。进而也证明不了整个实数集合不可数。这从作者无意中给出的“新产生的数”的例子0.5454545454...........，0.55544444444.............，就可以看出来。这是两个有理数。任何可数集合加它减它都可数。

该作者的这个“证明”，与其说他证明了实数不可数，还不如说他证明了“康托对角线法根本就不可能证明实数不可数”。因为尽管康托对角线法声称“假设列出了全部实数（实数可数）”，但实际上很可能如该作者一样，仅仅是实际地列出的是一个实数的可数子集合。比如可数的有理数集合。如此，你在对角线上通过逐位求异求出的无论是有理数还是无理数，都无法证明整个实数不可数。

当然，通常的康托对角线法证明实数所谓的“不可数”，是假设全部实数（不是其子集！）可数的。也就是全部实数都排成一列了。假设是这个。如此，发现有一个实数（对角线上新产生的）不在此列中，所以认为证明了（反证法）实数不可数（否定前提）。还是康托的证明迷惑性更大。原因是你如果一开始在证明的假设中就声明构造的是一个实数的子集，那么，由于实数的子集里面很多都是已经被证明是可数的了（比如全部有理数集合），因此增加了不确定性。前面已经说了，列出的是有理数呢？就根本完成不了证明（有理数早就被证明就是可数的了）。而如果一开始就假设列出的是全部实数，就没有这个问题了。因为之前没有证明实数集合可数。它的证明问题，体现在其它方面。也就是我们必须要通过论证，证明它虽然声称列出了全部实数，但实际不可能在其隐含假设下列出全部实数。这个是要论证的（恰恰用的就是康托对角线法及其隐含假设）。因此，康托原先的“证明”中的问题，比这个作者提出的稍有区别的“证明”中的问题，发现起来反倒困难些。后者实际在其“证明”中所用的限制条件更多。而限制条件越多，越容易露出破绽。这是显然的。因此，作者说其证明与康托对角线法等价，这个说法不对。第一，就证明中的问题的隐蔽性而言，它不如正统的康托对角线法；第二，它的确对理解康托对角线法中的问题更有帮助作用。毕竟，康托对角线法在其隐含假设下所实际能够列出的，也就是一个实数的可数真子集。此点与这个作者实际上所作的一样，就是假设阶段实际就只是列出的是实数的可数真子集，而绝对不是由反证法推出的只能列出实数的真子集。而唯有做到后者，才算真正地证明了实数不可数。

如果说传统、经典的康托对角线法与该位作者给出的证法一样，那是在这样的意义上的：经典的康托对角线法现实假设全部实数可数。而他实际不可能如此地列出全部实数，也就是他那个假设不对，只能列出一个实数的可数子集，是需要论证、证明的。而该位作者首先就假设列出的是一个实数的可数子集。区别在这里，一致之处也在这里。但也仅仅在这里。

附录：Thebeater 先生的原文链接