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[转载]Zmn-0758 [转载] 薛问天：易129-读康托尔对角线法的原文

已有 1547 次阅读 2021-12-5 11:40 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流|文章来源:转载

Zmn-0758 [转载] 薛问天：易129-读康托尔对角线法的原文

【编者按。最近Thebeater先生的文章提到康托尔对角线法的原文。刚好，我们早期的易网《评论园地》上登过薛问天先生的一篇文章。现在转载发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

转载《易129-薛问天：读康托尔对角线法的原文》

2014-05-17 22:40:06| 分类：评论园地

【文清慧注：下面是薛问天先生投给评论园地的文章】

读康托尔对角线法的原文

薛问天

沈先生质疑康托尔的对角线法的一个论点就是认为，康托尔所证明的只是一个具体特殊的对应下实数与自然数不能一一对应，不能得出实数不可数的结论。显然他没有理解，康托尔定理所证明的是“所有的N到R的映射，都不是N到R的一一对应”。这里强调映射的任意性，证明的是所有的N到R的映射，并不是具体特殊的映射不是一一对应。

既然实数集合R可数是指存在一种N到R的映射是一一对应，那么证明实数集合R不可数就是要证明任何N到R的映射都不是一一对应。对角线方法可以证明对任何N到R的映射f，都存在一个实数b，不在f（N）中，从而可知，f不是一一对应。这里特别强调f的任意性，从而证明的结果是任何N到R的映射f都不是一一对应，于是得出R不可数的结论。

不过这个证明是直接用可数的一一对应的定义，直接证明R的不可数性。并不是利用“反证法”的证明。

我最近发现利用“反证法”的证明，没有必要强调f的任意性，不需要证明“任何N到R的映射f都不是一一对应”，只需要证明那个存在的、具体的、假定是一一对应的映射f不是一一对应，从而产生了矛盾，即可否定反证法的假定。

用“反证法”，假定R是可数的。进而根据可数的定义，推导出存在一种N到R的映射f是一一对应，然后用对角线方法证明这个映射f不是N到R的的一一对应。于是产生了矛盾（映射f是N到R的一一对应，又证明不是N到R的一一对应）。从而否定了“R是可数的”假定，得出R不可数的结论。显然，这里的对角线法没有必要强调f的任意性，只要证明那个根据可数的定义所存在的、具体的、是一一对应的映射f不是一一对应即可。这个证明同前面所说的证明思路是有区别的，前面的证明是用对角线法直接证明R不可数，需要强调f的任意性。而这个证明用的是反证法，只要推导出矛盾，就可否定“反证法”的假定，不必要强调f的任意性。

这就引起了我的兴趣，到底康托尔原来是怎么证明的，是直接证明，还是用的反证法的证明。于是我在网上查到了康托尔对角线方法的原文。果然不出我所料，康托尔对角线方法用的是直接的证明，而不是用的反证法，必须要强调f的任意性。不过他不是一上来就证明R不可数，而是先证明由0和1构成的无穷序列的集合M是不可数的，即它的元素不可能全部排成一个序列。证明的思路就是：对于集合M中元素的任何一个无穷序列，证明总存在M的一个元素E₀，它不可能是序列中的任何一个元素E_ν。证明中自然要强调无穷序列的任意性。有了这个证明以后，再作为推论证明任意区间（a,b）中的实数不可数。

现在流行的教科书中的用反证法证明实数不可数的方法，不知最早出自何人之手。我认为在用反证法的证明中，没有必要强调f的任意性，只需要证明那个根据反证法的假定而存在的那个一一对应f不是一一对应即可，就可产生矛盾否定反证法的假定，并不必强调它的任意性。这两个证明的思路是不同的。

康托尔的对角线法的证明的原论文是：

G. Cantor: Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung I (1890-91) 75 - 78.

是用德文发表的。下面我根据查到的英文译文，翻译成中文同网友们共享。

中文译文：

在标题为“论所有实代数数（real algebraic numbers）集合的一个属性”（ Journ. Math. Bd. 77, S. 258）的这篇文章中或许是第一次给出了下述命题的证明：“存在有一个无穷集合，它不能与所有的有穷正整数1,2,3,…,ν,…的全体建立一一对应”。或者如我常说的那样：“它没有能力排成像数的序列1,2,3,…,ν,…一样”。从§2证明的命题可以推出另外的命题，例如，任意区间（a,b）中的实数的全体不能排成序列：

ω₁, ω₂, ..., ω_ν, ...

然而，这个命题存在有更简单的一个证明，它不依赖于对无理数的考虑。

亦即，让m和w是两个不同的字符，并考虑这样的元素E的集合M

E = ( x₁, x₂, x_ν, ... ),

它基于于无穷多个坐标x₁, x₂, … , x_ν, …，其中每个坐标是m或w。令M是所有这样的元素E的全体。

例如，下面这3个就是属于M的元素:

E^I = ( m, m, m, m,... ),
E^II = ( w, w, w, w, ... ),
E^III = ( m, w, m, w, ... ).

我现在就要论证，这样的集合M不具有排成序列1, 2, 3, …, ν, ….的能力。这是由下面的命题推出的:

“如果E₁, E₂, …, E_ν, …是集合M中元素的任何一个无穷序列，那么总存在M的一个元素E₀，它不可能是序列中的任何一个元素E_ν”

为了证明这点，令

E₁ = ( a_1,1, a_1,2, ..., a_1,ν, ... )
E₂ = ( a_2,1, a_2,2, ..., a_2,ν, ... )
…………
E_μ = ( a_μ,1, a_μ,2, ..., a_μ,ν, ... )
…………

其中字符a_μ,ν仍然是m或者w。于是存在有这样定义的一个序列b₁, b₂, … b_ν,…，使得b_ν仍然等于m或者w，但是与a_ν,ν的值不同。即如果a_ν,ν = m, 则b_ν = w，（反之如果a_ν,ν = w, 则b_ν = m）。

接着，我们考虑M的元素

E₀ = ( b₁, b₂, b₃, ... ),

人们可以直接看出，对于任何正整数μ, 等式E₀ = E_μ都是不可能满足的。否则, 对此μ 和所有的ν的值，有.b_ν = a_μ,ν

因此特别地，我们有b_μ = a_μ,μ，但是根据b_ν的定义这是不可能的。

由此命题可以立即推出：M的所有元素的全体不可能排成序列：E₁, E₂, …, E_ν, …。否则会得出矛盾：E₀既是M的元素，又不是M的元素。

[后半部分被英文译稿省略。]

附英文译稿全文：

In the paper entitled "On a property of a set [Inbegriff] of all real algebraic numbers" (Journ. Math. Bd. 77, S. 258), there appeared, probably for the first time, a proof of the proposition that there is an infinite manifold, which cannot be put into a one-one correlation with the totality [Gesamtheit] of all finite whole numbers 1, 2, 3, …, ν, …, or, as I am used to saying, which do not have the power (M?chtigkeit) if the number series 1, 2, 3, …, ν, …. From the proposition proved in § 2 there follows another, that e.g. the totality (Gesamtheit) of all real numbers of an arbitrary interval (a ... b) cannot be arranged in the series

ω₁, ω₂, ..., ω_ν, ...

However, there is a proof of this proposition that is much simpler, and which does not depend on considering the irrational numbers.

Namely, let m and n be two different characters, and consider a set [Inbegriff] M of elements

E = ( x₁, x₂, x_ν, ... ),

which depend on infinitely many coordinates x₁, x₂, … , x_ν, …, and where each of the coordinates is either m or w. Let M be the totality [Gesamtheit] of all elements E.

To the elements of M belong e.g. the following three:

E^I = ( m, m, m, m,... ),
E^II = ( w, w, w, w, ... ),
E^III = ( m, w, m, w, ... ).

I maintain now that such a manifold [Mannigfaltigkeit] M does not have the power of the series 1, 2, 3, …, ν, ….

This follows from the following proposition:

"If E₁, E₂, …, E_ν, … is any simply infinite [einfach unendliche] series of elements of the manifold M, then there always exists an element E_0- of M, which cannot be connected with any element E_ν."

For proof, let there be

E₁ = ( a_1,1, a_1,2, ..., a_1,ν, ... )
E₂ = ( a_2,1, a_2,2, ..., a_2,ν, ... )
…………
E_μ = ( a_μ,1, a_μ,2, ..., a_μ,ν, ... )
…………

where the characters a_μ,νare either m or w. Then there is a series b₁, b₂, … b_ν,…, defined so that b_ν is also equal to m or w but is different from a_ν,ν.

_ν

Thus, if a_ν,ν = m, then b_ν = w.

Then consider the element

E₀ = (b₁, b₂, b₃, …)

of M, then one sees straight away, that the equation

E₀ = E_μ

cannot be satisfied by any positive integer μ, otherwise for that μ and for all values of ν.

b_ν = a_μ,ν ,

and so we would in particular have

b_μ = a_μ,μ ,

which through the definition of b_ν is impossible.

From this proposition it follows immediately that the totality of all elements of M cannot be put into the sequence [Reihenform]: E₁, E₂, …, E_ν, … otherwise we would have the contradiction, that a thing [Ding] E₀ would be both an element of M, but also not an element of M.

[Second half omitted. Cantor proves the more general theorem that the power of well-defined manifolds have no maximum].

附德文原稿全文：（略）

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