博文

Zmn-0771 Thebeater：回复Zmn-0765沈卫国先生的评论

已有 782 次阅读 2021-12-12 08:47 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0771 Thebeater：回复Zmn-0765沈卫国先生的评论

【编者按。下面是Thebeater先生的文章。是对沈卫国先生的《Zmn-0765》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

回复Zmn-0765沈卫国先生的评论

Thebeater

希望沈先生能在看文章的同时多思考、多自己证明，而不是望文生义。

我在Zmn=0741中确实提出了一个看起来不一样的“不可数”的定义。我已经在Zmn-0741以及后面的评论中多次声称了，这个定义和康托的定义是等价的，我只是换个表述，方便您更好理解。但是只是声称，我没有花功夫写下证明，表明我写下的定义和康托的定义是等价的。

我现在给沈先生总结一下，在我们的讨论中，总共提到了三种不可数：

A：康托自己认为的定义（这是个绝对概念，因为康托就在那里；但是由于自然语言的局限，所以导致我们理解有可能不同）

B：沈先生对A的理解（沈先生并没有阐明B具体是什么）

C：我对A的理解（也就是我提到的博弈问题）

我声称C和A一样，沈先生觉得B和A一样，但是觉得B和C截然不同，而且我和沈先生通过数学论证得到了截然相反的结论。所以我们的分歧在如何理解A上，也正因此，我没有办法向您证明C和A一样：因为即便我尝试证明C和A一样，在您那里会被翻译成B，这就没法沟通了。

有句话沈先生说的很有道理：爱咋定义咋定义。确实如此，“不可数”只是一个名字。但是正所谓，实践是检验真理的唯一标准，我们学数学也要注重实践。ABC哪个都无所谓，可数不可数只是名字也无所谓，这些都是辅助工具。黑猫白猫，能抓到老鼠就是好猫。而我们的老鼠，就是证明存在非代数数的实数。这就是我提醒沈先生看康托的原文的原因。沈先生说看过中文版，那真的太好了，我说的都是基于原文的。他原文的大标题是就是这个，而不是证明实数不可数。

（我不知道为什么您会提德文、英文之类的差别，我说的原文当然与语言无关，数学是不怕翻译的。只是因为我在网上搜到了德文版和英文版，但是我没搜到中文版，如果没有的话我很乐意翻译出来给您看，不过您既然说您看过中文版，那就没有必要了。）

我没有在Zmn-0741中具体写出，如何从C这个博弈的观点证明存在非代数数的实数，但是这其实很容易，稍加思考就可以得到。因为如果假设所有实数都是代数数，那么根据整系数多项式的顺序，我们很容易造出一个没有遗漏的好集合。也就是说，代数数全体具有C，但是实数不具有C，所以存在非代数数的实数。（甚至如果你走一遍证明的话，可以具体的把一个非代数数的实数构造出来，每一位小数都写的清楚。）

这就是我提醒沈先生看原文的原因，您要弄明白康托研究实数可数不可数想干什么，可数不可数不是目的而是工具，目的是证明存在非代数数的实数。我并没有引入新的定义，因为我的C就是从A来的。只要您能解决问题，哪怕您自己随便定义一个概念，但是能证明实数无、代数数有，那也是鼎鼎厉害的。现在我们有很多方法证明这个结论了，比如直接证e或者pi是超越数。然而，这不见得比康托的方法简单，而且康托的方法还能用来证明许多别的命题，所以说这套理论还是值得学习的。可能您本来把A理解为B根深蒂固，如果您能看明白我用C的证明，那也算是学会了康托的理论了。如果我没理解错的话，沈先生，或者其他这里的博主都是想做数学的，那我就希望能分享自己的理解，希望对大家理解已有的数学，站在巨人的肩膀上才能有所突破。我不知道沈先生原本认为是对康托的定义A没有弄明白，还是认为康托从A出发得到实数不可数、代数数可数的证明有错呢？私以为可能是前者：您可能用B去替换康托的A，并且B与A不同，那么康托本来想证明A的您自然会觉得他没能证明B。这也就是我写Zmn-0741的目的：其实康托的A很好，证明也很好，我给A包装一下换个说法变成C会不会能让您对A有新的不同的认识呢？

好了，现在轮到您思考了。沈先生的B是什么？代数数全体是否满足B？实数全体是否满足B？能不能看到这两者不同？我觉得即便您的B与康托脑中的A不同也无所谓，只要能得出结论，也是很好很好的数学。

一点题外话，我想就此说一下数学语言的重要性。所谓的数学语言，就是用一些约定好的符号，像任意、存在、且、或、非、未定元等等写出来的语言。具体的定义我不想在这里多解释，可以去看任何数理逻辑的教科书。我看到很多在此讨论的同仁都拒绝使用数学语言，这样会有潜在的问题：我说的东西一定是你理解到的东西吗？这是个很深刻的哲学问题。自然语言，也就是我们日常的说话，免不了有这种问题。但是用数学语言可以很大程度上避免。

Thebeater

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录