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Zmn-0764 薛问天：不持现代实无穷观，讨论集合论中的问题，没有任何意义。评林益《0756》
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Zmn-0764 薛问天：不持现代实无穷观，讨论集合论中的问题，没有任何意义。评林益《0756》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《0756》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
不持现代实无穷观，讨论集合论中的问题
没有任何意义。评林益《0756》
薛问天
大家都知道，集合论是以现代实无穷观为基础的。不持现代实无穷观，当然认为集合论是错的。不承认无穷集合有确定不变的元素，当然就不同意无穷集合还能一一对应，还能有不变的确定的基数。这不用讨论大家都明白，他们肯定是认为集合论中的有关无穷集合的论断都是错误的。在这样的基础上去同持非实无穷观的人讨论集合论的具体命题，如实数不可数(可列)，幂集的基数大于原集的基数，这些定理的证明，是毫无价值的。
我建议那些不承认集合论基本概念的人也不必参与有关集合论具体问题的讨论。因为你根本不承认无穷集合有确定不变的元素，自然也不承认无穷集合有确定不变的基数，因而讨论基数的大小，谁大谁小，对你们来讲也没有任何意义。
1，关于【可列】和【可列完】的定义。
林益先生，我们是在讨论【无穷集合】的【可列】和【可列完】的属性。你连无穷集合有确定不变的元素都不承认，不承认无穷集合是确定的集合。认为【无穷是按一定规律在不断变化延伸中，即元素按一定规律在不断构造延伸过程中，不能完成，不能结束，】只承认有【趋于无穷】，根本就不承认【无穷集合】是确定的集合，那当然同你根本无法讨论与基数有关的【无穷集合】的【可列(可数) 】问题。
2，你说【在可列或可数的定义中，并没有「可列完」 或「可数完」的论述。】是错误的。
因为定义中一一对应就是双射，双射就是无重复无遗漏的映射，同自然数集合无重复无遗漏的映射，就是论述集合的元素组成和完全属于以自然数作为编号的序列，组成序列被和序列列完。这就是【「可列完」 或「可数完」的论述。】
集合【可列】就是集合的元素可组成序列和被序列列完。
对集合【可列】的理解，不是去查找【可列】的字面语义，而是根据【可列】的数学定义，是双射，是无重复无遗漏的同自然数集合的映射，当然可组成序列和被序列列完。
3，林益先生认为【每一个一一对应步骤只能在有限的情况下进行，但是一一对应步骤可以按照f的步骤可以不断延伸， 不能不能完成，不能结束。】
也就是说林益先生认为一一对应只适用于有限集，对无穷集就不能考虑一一对应，这显然是错误的，低估了人类的智慧，人类已有逻辑推理的能力来认知和研究无穷集合的属性，不要把人类㸔得如此笨，只能研究有限集。实际上对无限集的一一对应函数，不要求一个元素一个元素用无穷个对应的步骤去实施。例如我们说自然数集同偶数集的一一对应，只需要证明函数y=2x是双射即可。y代表偶数集的任意元素，x代表自然数集的任意元素。并不需要进行无穷步地证明。因而说一一对应只适应于有限集是错误的。
4，林益先生说【3.14159⋯表示为无穷十进制小数， “⋯” 就表示按照一定规律在趋向无穷，不能完成，不能结束，则表明它在在不断延伸发展变化过程中，必然不是一个确定的定值，表明它不是一个确定的实数，即不是数。 因此π=3.14159⋯是错误的，】
林益先生对无穷小数的理解完全是错误的，甚至说【π=3.14159⋯是错误的，】
实际上无穷小数的这无穷个位的值是完全确定的，这无穷个位中每个位的值都是唯一确定的，不会也不能改变。说【它在在不断延伸发展变化过程中】是完全错误的。这三个点【...】代表的正是这确定的无穷个值，这无穷个值的每个值都是固定的，哪个都不能变。否定了无穷小数是确定的数，就等于否定了实数是确定的数。
5，实际上无法同林益先生讨论关于证明「对所有都成立」的逻辑推理规律的问题，
因为这里讨论的是对无穷集合的逻辑规律。而林益先生他只承认【有限情况和趋向无穷情况】，根本就不承认确定的【无穷集合】的存在。那还讨论什么。林益先生说【因为不存在所有自然数，也就不存在「对所有都成立」 的情况，】
不过林益先生说漏了嘴。说了【 2n>n,对任意自然数n都成立，】而我们说如果对任意自然数n都成立，那就可推出对所有的自然数n都成立。即2n>n对所有的自然数都成立。请问林益先生，你是怎么证明【 2n>n,对任意自然数n都成立】？要知道任意的自然数有无穷个，你能把所有的n=1,2,3...都拿出来一个一个证明吗？
林益先生和李鸿仪先生一样，不懂得也不承认可对无穷集合的元素进行「对所有都成立」的逻辑推理，但是他们却在偷偷地使用。
6，林益先生经常爱说这些空洞的话，好像是有所指，但并不明说。他说【公理虽然不须证明， 但是也必须符合客观事物发展规律，否则就不能称为公理。 用错误的结论称为公理，是不能证明出正确结论的。】
不要这么空洞地说。你如果真的想质疑某个公理，就请你大胆地说出来，把你质疑的理由说出来，开诚布公地讨论。不要这样隐隐晦嗨含沙射影地绕圈子，不知你想说什么。
7，林益先生说【元素不再增加的集合必然是有穷集合,而且有「最后一个元素」，无穷集合必然没有「最后一个元素」 ，这是由无穷概念所确定的，根本不需要给出证明。】
正是林益先生说这句话没有讲道理，没有严格地证明，所以他对这句话的错误认识不到，我可以明确告你，这句话是错的。集合的外延公理明确指出，集合的元素是确定的，所有集合都是【元素不再增加的集合】。因为元素增加了就变成另一集合，不是原来的集合了。同一集合必须保持集合元素不变。这是集合的最基本的属性。不是元素不能增加，我们允许有集合的并演算，可以使元素增加，但要注意，增加以后就不是原来的集合，而成为另外的集合了。认为【元素不再增加的集合必然是有穷集合,】是错误的。认为无穷集合是元素不断增加的集合，这不符合外延公理的规定。
另外说【无穷集合必然没有「最后一个元素」 】这个【必然】论断也是错误的。正确的说法应该是〖存在有无穷集合没有「最后一个元素」 〗。这是因为并不是所有的无穷集合都没有「最后一个元素」。例如序数ω+1={01,2,3,...,ω}是无穷集合，但它有最大的元素ω。
8，林益先生说【即使根据无穷公理， 也只可以证明归纳集合的存在，并不能说明归纳集合一定是一个确定不变的集合。 存在不代表确定不变，因此自然数集存在， 不能证明自然数集是一个构造完成的确定的集合。】还说【自然数集是归纳集，符合无穷公理和外延公理， 但是从无穷公理和外延公理，由于无穷公理和外延公理只能包含在有限的步骤情况下一步一步的构造过程中，不断趋向无穷，并不能完成和结束， 并不包含完成结束的理论依据， 因此不能证明自然数集合是一个「元素不再增加」的确定的集合。】
这样的论述没有道理，林益先生可能不太清楚，在公理集合论中，论域的个体就是集合。断定归纳集合和自然数集合的存在，就是断定它们是作为集合的存在，就是断定它们是集合。断定是集合，就由外延公理断定集合的元素是确定不变的，是一个「元素不再增加」的确定的集合。集合的元素是确定不变，就说明集合的元素构造过程已经完成和结束。不是不断趋向无穷，而是构造过程已经完成和结束，构造的集合已经完全确定，成为确确实实存在的无穷集合。
至于说【由于自然数本身是可以不断地通过+1 增长的，所以这个集含并不是确定不变的。 】这句话的错误在于【可以不断地通过+1 增长】表示的是全体自然数集的构造过程，在自然数集的【构造过程中】，元素在不断增长。但当我们指的是所有自然数的集合时。这个构造过程已经完成 (公理断定存在自然数集合，就断定了这个集合的构造过程肯定已经完成) 。集合中已经包括了所有【在构造过程中】通过+1得到的自然数。也就是说集合中任何元素通过+1而得到的数，它是已经在集合中的自然数，不是新增加的数。因而所有自然数集合中的元素就不会再增加和再变化了。因为所有的自然数都已包含在集合中，再要增加就不是通过+1而得到的，而是非自然数了，当然在集合中不能再增加这样的不是自然数的元素。因而所有(全体)自然数集合就是一个「元素不再增加」的确定的无穷集合。这就是【所有自然数的集合的元素并未因此(通过+1)而增加】的证明。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1315653.html
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