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Zmn-0787 李鸿仪： 从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：芝诺悖论、贝克莱悖论，罗素悖论
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Zmn-0787 李鸿仪： 从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：芝诺悖论、贝克莱悖论，罗素悖论
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从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：
芝诺悖论、贝克莱悖论，罗素悖论
李鸿仪leehyb@139.com
芝诺悖论迷惑了众多数学家达两千多年。贝克莱，罗素悖论则被认为分别导致了第二、第三次数学危机，
关于这些悖论，我以前都发表过相关的文章，现在发现其实可以更简单地加以叙述如下：
（1）芝诺悖论
追赶乌龟的快跑者第一次到达乌龟出发的地方x1时，乌龟已经前进到达x2了，快跑者第二次到达x2时，乌龟又已经前进到达x3了...似乎永远也追不上？
其实，无论是第一次，第二次....都是有限次，因此，芝诺虽然严格地证明了在有限次内是追不上乌龟的，但并没有证明无限次也追不上乌龟。
人们或许会想，如果要进行无限次追赶，那么是不是需要无限多的时间呢？
答案是否定的。这是因为，既然追赶次数越来越多直至无限大，每次追赶所需要的时间也就越来越短，直至无限小，没有理由认为总的时间会变长。
也就是说，计算次数需要无限次，并不等于追赶所需要的时间也是无限多的。
用数学方法不难证明，相关级数是收敛的，所以不管需要计算多少次，也不管需要花费多少时间进行计算，追赶者都只需要有限时间就能追上乌龟。并不存在任何悖论。
注：在芝诺悖论中，由于收敛级数的计算似乎需要无限次，人们就怀疑快跑者能不能追上乌龟，这个思路其实很奇怪。
能不能追上乌龟，取决于计算的结果，而计算所需要的次数与时间则与算法和计算工具有关，与计算所得的结果一点关系都没有。比如说原子弹的实际爆炸可能只需要一秒钟，但是我们如果手算模拟的话，计算过程可能要一万年，但并不等于实际爆炸要一万年才能完成。计算需要多少时间与实际爆炸所需要的时间（一秒钟）一点关系都没有。
再例如，对于收敛的极限，哪怕计算需要无限多的时间，算出来的结果也是有限的。比方说，圆周率的计算，每增加一位小数都要花费相同甚至越来越多的时间，要完成无限次计算，就要花费无限多时间，在有限的时间内是达不到无限次计算的，但并不能说在无限的时间内也不能够达到无限次计算。而且不管计算时间需要多少，计算结果即圆周率的数值还是存在且不变的，并不会因为计算不能结束而不存在或发生了变化。
有些极限，本身实际上并不需要真正进行有无限次的计算。所谓极限运算，本质上不过是猜想加证明，是有限次的计算。以n→∞时的1／n为例，我们很容易猜想到它的极限是零，然后只要根据极限定义来证明这个极限确实为零就可以了，并不需要无限次的计算。
任何可以精确求得极限值的极限都是这种情况，芝诺悖论中求追赶时间的那个极限也不例外。
（2）贝克莱悖论：
以y=x＾2的精确导数dy/dx=2x＋dx为例，由于贝克莱悖论是在牛顿时代提出的，那时候还没有极限法，dy，dx都看作是无限小量，但有时可以看作零，有时则不可以，似乎违反了同一律。
能否忽略无限小即将其视作零取决且仅取决于对最后结果有没有影响：如果有影响，则不可忽略，例如，对dy/dx，无论将dy还是dx视作零都会导致错误，这时当然不可以将它们视作零.相反；如果忽略了对最后结果没有影响，则可忽略。例如，y=x＾2的精确导数等于2x＋dx，忽略或不忽略dx，最后的结果是一样的，所以可忽略。当然，不忽略也可以，只是比较麻烦。
何来悖论之有？
(3)罗素悖论：
罗素悖论以存在形如A={A,B,C....}的集合为前提，其特点是集合的元素同时也是集合本身。
为了解决罗素悖论，罗素本人提出了类型论和分支类型论，但是并没有得到学界的普遍认同，罗素本人最后也放弃了。公理化集合论虽然消除了罗素悖论，然而，任何公理本身都是无法证明的，其可靠性始终存疑，用一大堆未必可靠的公理来消除罗素悖论，结果是否一定可靠，恐怕也是一个问题。
其实，只要将集合的定义稍微改进一些，罗素悖论就不会出现。
我是这样修改素朴集合论的：
由于实际上总是先有元素，后有集合，所以逻辑上元素是比集含更为原始的概念。因此必须先定义元素，然后才能在此基础上定义集合。
我将任何欲研究对象定义为元素，欲研究对象的数目称为元素数目，而将元素放在｛｝内就定义了一个集合，如果元素数目为零，则｛｝定义了一个空集，如果元素数目为有限值，称为有限集合，否则称为无限集合。
由于必须先定义元素，然后才可在此基础上定义集合，所以集合是不同于元素的概念，绝对不能混淆。
例如，如果将1作为元素，那么集合｛1｝就不同于1，即1=｛1｝是不合法的，同理，A=｛A｝, A=｛A,B｝，A={A,B,C....}等所有所谓包含自身的集合都是非法的，哪里还有罗素悖论？
可见，所谓罗素悖论，根本上不过是混淆了集合和元素这两个不同的概念所致。只要把这两个概念严格区分清楚了，罗素悖论本来就不会出现，将来也永远不会出现。
另外，与康托不同的是，在我的集合定义中，我并没有用到整体这一概念。这是因为，一则整体这一概念本身也需要定义且未必能定义得很清楚，二则对于无限集合来说，集合的元素是可以无限增长的，不可能形成一个完整不变的“整体”。
（详见https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1316426.html中的定理1，2）。
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
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