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Zmn-0784 薛问天：必须纠正错误，才能认识正确。谈无穷集 A 的幂集构造。评林益先生《0780》。

已有 1130 次阅读 2021-12-22 20:56 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0784 薛问天：必须纠正错误，才能认识正确。谈无穷集 A 的幂集构造。评林益先生《0780》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《0780》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

必须纠正错误，才能认识正确。

谈无穷集A的幂集构造。评林益先生《0780》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 要正确理解无穷集A的幂集的构造。必须纠正一种错误，那就是错误地把有穷集A的的幂集构造，认为是无穷集A的幂集构造。只有把这种错误彻底纠正，才能正确地认识无穷集A的幂集构造。

当然，首先必须从概念上认清，集合A是有穷集合同是无穷集合是有严格区别的。那就是集合A的基数是μ。当集合A是有穷集合时，μ是有限的自然数(有穷基数)，当集合A是无穷集合时，μ是超穷基数，最小是可数无穷אo。它不是有限自然数。因而把无穷集的基数μ认为是自然数，就是严重的错误。

我在《0766》评新华先生的文章《0763》中己明确提出〖新华先生竟然不懂无穷集合可以同它的真子集一一对应。〗在《0777》评新华的文章《0772》中己明确提出〖关键是当A是无穷集时论断错误。〗但林益先生竟然无视这些批评，继续坚持错误，仍然错误地把有穷集A的的幂集构造，认为是无穷集A的幂集构造。下面我们就来具体分析林益先生《0780》的错误。

1，对于无穷基数，不能使用【组合方法】。

林益先生说【是应该用组合的方法】。这是完全错误的。我们知道数学上的排列组合的理论和公式，完全是在有穷自然数范围内才适用的理论和公式。其中所讲的在u个元素中取k个元素的组合的公式C_u^k，其中的u和k都限制为有穷的自然数。所以对集合A的基数μ=u是有穷自然数时完全适用。当集合A是有穷集时，这样所作的A的子集的构造完全正确，Ak的子集的个数是C_u^k，以及幂集A的子集的个数等于2^u，是有穷自然数。这都正确。

但是当A是无穷集，μ是无穷基数时，例如当μ=אo，使用组合，就大错特错了。当μ是超穷基数时这些组合公式完全失去定义。请问林益先生，你知道C_μ^k=C_אo^k等于多少？你在哪里学过基数的排列组合？在基数中用排列组合完全错误。因而你推论的，当A是无穷集时，认为Ak的基数=C_μ^k是完全错误的。

2，当A是无穷集时，Aμ的元素的个数不等于1。

在林益先生的构造中，在A是无穷集时，由于μ不是有穷自然数，所说的Aμ: {a1,a2,...,ak,...}个数是C_μ^μ，是完全错误的。因为对于有穷集A，由于A不能同A的真子集一一对应，所以同A基数相同的子集只有一个就是A，即C_u^u=1，这没有错。但是对于无穷集A，由于A可以同它的无穷多个真子集一一对应，所以Aμ的子集个数就很多，有无穷多个。说它只有一个就是A，说Aμ的子集个数是C_μ^μ，而且认为C_μ^μ=1，则是完全错误的。难道林益先生也同新毕先生一样，不懂无穷集合可以同它的真子集一一对应吗？我不相信这点，因为他也说过不少次，自然数集同偶数集的一一对应，而偶数集就是自然数集的真子集。只是装糊塗，不愿意承认错误罢了。

3，奇谈异论

林益先生在他错误的基础上说【保证无穷集 A 的幂集为A能够构建完成，构成一个整体。只有这样，才能确定A的基数为2^μ，按照康托尔通常把有限情况下得出的结论能够推广得无穷情况的原则，就有幂集定理： 2^μ>μ。明明康托尔承认无穷集 A 的子集类Ak，并且得到子集个数为2^μ，不知为什么不直接用计算的方法证明，而用备受争议的反证法的方法证明。】

林益先生说了一句莫明其妙的怪话【康托尔通常把有限情况下得出的结论能够推广得无穷情况的原则】。这是哪里来的【原则】？林益先生，我们讨论数学要认真要严格。你不能这样无缘无故的揑造啊？你根据计么说康托尔有这么个【原则】。正是因为沒有这个原则，不能【把有限情况下得出的结论能够推广得无穷情况】，康托尔才严格地证明康托定理和幂集基数定理。

而恰恰是你和新华先生所犯的错误是混淆有限情况和无限情况的区别，把A是有穷集所得出的子集构造，错误地当成了A是无穷集的子集构造。犯了严重的错误。

4，无穷集 A 的幂集构造。

综上所述，必须纠正林益和新华先生的错误，才能正确认识无穷集 A 的幂集构造。

下面我们来谈无穷集 A 的幂集构造。

显然无穷集 A 的子集应该从包含元素个数为 0， 1， 2 …到μ构成的集合，如果无穷集 A 的幂集为A，如果按照子集所包含元素个数进行分类，显然无穷集 A 的幂集A可分类为：A=A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...∪Aμ。其中Ak是元素个数等于k的子集构成的类 }。

显然如果A是有穷集，μ=u是有穷自然数，则Ak的子集个数等于C_u^k，是个有穷数。但是A是无穷集时，μ是超穷基数，Ak的基数就不能用组合方法计算，因为μ是超穷基数时C_μ^k就沒有定义了，

那么Ak的基数该是多少呢，我在前文中提出了一种方法。可证明在A={a1,a2,...,an,...}是可数无穷集时，这些Ak的基数都不是有穷的，而可证明是可数无穷。这点可以这样证明，我们把Ak中的子集再按其所含最大元来分类。我们令Bn表示元素个数为k而且其中所含最大元素是an的A的子集的类。即

Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。其中

Bn={ t丨t是A的子集，且t的元素个数等于k，并且子集t中所含的最大元素是an。}

显然对任何n∈N，Bn都是有穷集，其个数为C_n-1^k-1。同时知可数个有穷集的并集是可数的，这就证明了对任何自然数k，Ak可数。

但要注意我们只证明了Ak可数，其中k是有穷自然数，从而这里并沒有证明μ可数。那么Aμ的基数等于多少呢？

由于幂集A=(A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...)∪Aμ。由于所有的Ak都是可数的，则A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...是可数的。根据幂集定理的结论，在A是可数无穷时，它的幂集A是不可数的，从而推出Aμ也是不可数的无穷集。可见林益和新毕先生的错误有多严重。竟然把不可数的无穷集说成是只含有一个元素。

最后林益先生陈述了他的无穷观。他认为无穷集A的元素在变化，不是确定的集合。没有确定的基数。同样，他还认为A的幂集，元素也在变化，不是确定的集合，没有确定的基数。在这样的认识下，幂集定理，断定幂集的基数大于无穷集合A的基数，就没有意义，是不可能成立的。不可能证明的。

这哪里是林益先生求教的问题。他实际上已经给出了否定的答案。对于持现代实无穷观者来说，这些问题的回答显然都是肯定的。

我早已说过，集合论是以现代实无穷观为基础的。持非现代实无穷观者来讨论集合论的具体问题毫无价值，毫无意义。我们讨论的幂集定理是断定无穷集合A的幂集的基数大于原集A的基数。如果根本就不承认无穷集合及其幂集是确的集合，也不承认它们有确定的基数，怎么能讨论其基数谁大谁小？

事实证明，林益和新华先生对我们给出的幂集定理证明，只字未提，质疑证明却对证明的各个推理步骤提不出任何的质疑。林益先生所发出的问题全是无穷集合是否是确定的集合以及有无确定基数这些集合论的基本概念的问题，这同幂集定理的证明毫无关系。所以说事实证明，持有非现代实无穷观，讨论这些集合论的具体问题，毫无意义。

参考文献