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Zmn-0790沈卫国：对“Zmn-0783 Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题”的回复—兼谈微积分求导
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Zmn-0790 沈卫国：对“Zmn-0783 Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题”的回复—兼谈微积分求导若干问题
【编者按。下面是沈卫国先生的的文章，是对Thebeater先生《Zmn-0783》的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
对“Zmn-0783 Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题”
的回复—兼谈微积分求导若干问题
沈卫国
首先感谢Thebeater对敝文的关注并提问。现在回答如下
传统求导法，既然求出了完全正确的、精确的导数，那就其具体做法而言，就其实是无问题的。但是，为什么又有问题了呢？（如果没有，我也就不必费这个劲写这些东西了）是一个理解、诠释问题。也就是怎么看这些传统方法究竟是如何地用马克思所说的“从一个明显错误的过程得到了一个正确的结果”的（大意，原话记不太清了。可查马克思“数学手稿”）我的目的，就是解释这一切究竟是如何发生的。有人说我是反对传统微积分，其实不是，起码是不全是。我是为微积分添彩来的，不是来拆庙毁三观的。更何况一个现实的例子就是，牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”不是也同样求出了正确的导数了吗？那为什么还需要外尔斯特拉斯和柯西的极限法微积分（第二代微积分、标准分析）呢？如果仅仅是求出了正确的结果，就不需要进一步的解释了的话，那么，不仅仅是我的这些全不需要，就是现有所有教材中的所谓第二代的极限法微积分（标准分析）也都不需要。理由很简单，人家牛顿、莱布尼兹的“第一代微积分”用舍弃“高阶无穷小”的办法早就求出正确、精确的导数了，还要第二代极限法微积分来饶什么舌呢？所以Thebeater先生说的“可是这么多年来，人们都没有用您的求导法，而是用原本的求导法去解决物理学、经济学、社会学等等的实际问题的。难道这些都错了吗？”的理由并不充分，因为显然，同样的问题您可以一字不差地去问外尔斯特拉斯或柯西或任何在第二代微积分上工作的所有人，也就是几乎现在所有在教微积分的人。因为他们能得到的实际结果，牛顿、莱布尼兹不但同样得到，而且早就得到了。而我，是发现了第二代微积分仍旧没有解决第一代牛顿微积分的问题，也就是贝克莱悖论问题，因此才会产生我的这些文章的。目的倒是与第二代微积分一样，都是试图而且自认为是彻底地解决了这个问题的。
那么，第一、第二代微积分究竟有没有问题？如有，问题何在？这个问题，说起来还真的比较复杂，不是一句话可以说清楚的。这就是一个典型的所谓“辩证问题”，也就是“在这个意义上它是对的，在另一个意义上它是错的”之类的问题。首先，作为牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代微积分”（此名词为后人附会，牛顿、莱布尼兹老爷子活着，绝对不会承认！），是得到了正确、准确的导数等等的，因此“这个意义上”，也仅在这个意义上，它是对的。但是，它产生了著名的“贝克莱悖论”，也就是推出了矛盾，因此从“这个意义上”，它又是错的。大家知道，任何理论如果在逻辑上包含矛盾，必有问题。这就是马克思的所谓“从明显有问题的推导得到了正确的结果”。以上第一代微积分的问题，大家都承认，都认为这个问题需要解决。因此也才会产生后来的所谓“第二代微积分”。如果不是，它还需要吗？第二代微积分的产生目的，就是为了解决贝克莱悖论的。而且它自认为是解决了的。而我及其他一些人（少数）从不同的角度发现它并没有解决贝克莱悖论，只不过是用一些隐晦的表述把问题掩盖了。让人更不容易看出来罢了。我的目的，就是指出问题究竟在哪里和如何解决。第一代微积分的问题是公认的，因此这不是问题了。但第二代微积分的问题是隐蔽的，大家基本都认为没有问题。而这恰恰就是它的最大问题。我之所以说第二代微积分是错的，是也仅仅是这个意义上的。其实如果仅就求出了正确的导数等等这一点而言，第二代与第一代一样，它也能求出来无疑。这个意义上，它也没错。只不过它错的地方，是不承认其对导数的解释有错（第一代是承认的），说是什么问题也没有。在这个意义上，我才说它是个错的理论、错的诠释。所以说，在这个意义上，它还不如第一代微积分。第一代微积分是直接了当的，很明确。具体说就是很明确地把问题摆出来了。而第二代微积分呢？有了问题，不承认，兜圈子，或自己根本就看不出来，就是我已经如此彻底清晰地指出来了，一些人不是还在那里百般狡辩、无理搅三分式地在那里做无谓的抗辩吗？习惯势力，是很强大的，强大到连理都不讲或讲不清的地步。当然，我这里可不是说您。
归结起来，我认为
无论第一还是第二代微积分，都是求出了正确的导数的，因此这个意义上其求法无错（求法都错了，怎么能求对呢？）。
但其诠释有问题，也就是理论解释有问题。具体说，就是对其们已经求出的导数的诠释不对，同时对其们求导过程的每一个其实是正确的步骤的理由（也就是诠释）不对。因此，在解释自己已经明明求出的导数上面，出现问题，出现矛盾，也就是所谓的“贝克莱悖论”。第一代微积分的这个问题（贝克莱悖论）是大家公认的，而第二代微积分这个问题其实仍旧没有解决，但大家却认为或宣称已经解决了，无问题了。它的问题在这里。
总之，马克思说“微积分求导是有一个有明显问题的推导得到了一个完全正确的结果”（大意）。但是，这个所谓的“有明显问题的推导”，仅就其步骤本身而言，其实是对的（无论第一还是第二代微积分都如此）。它的错，是没有意识到其求导步骤中的某一步究竟意味着什么（具体说就是始终没有意识到求导过程中的必要步骤通过“约分消分母”这一步究竟意味着什么），因此在对其们已经明确求出的导数的诠释上，出现了矛盾（贝克莱悖论），解释不通。所以，传统微积分求导的问题（连带其它问题），归根到底，是一个诠释问题，而不是求出的导数值对不对的问题，也不是求导步骤本身的问题。一句话，是对步骤的理解、对结果的理解问题。但是，我要强调，以往（我之前）由于没有意识到传统微积分的求导过程中的“约分消分母”一步的真正意义（正确的诠释），而这个理解性质的问题反正出在求导过程、步骤之中，因此无论是真的步骤错了还是诠释错了，都是在求导步骤之中的问题，不是作为求出的结果的导数数值上的问题，因此，马克思的说法在大的方面、在这个意义上，也没有错。此外，应该明确的一点是，对求导步骤的诠释、理解既然有问题，其结果也就是所求出的导数的诠释、理解也就自然有问题。总之，传统微积分求出的导数的数值没有任何问题，但其诠释也连带有问题。也就是导数的定义在传统微积分那里，不能不是有问题的。没有对步骤理解错了，结果却没有理解错的可能。
我们仍旧以二次函数为例。第一代微积分牛顿法，求出了正确、准确的作为比值函数值的导数值2x，但又有比值函数值0/0，此矛盾谓之“贝克莱悖论”。公认没有第一代微积分没有解决。第二代柯西极限法微积分认为，比值函数的函数值固然是0/0（这个大家都承认），但不可达极限值不是0/0，而是2x。而第二代微积分声称，他们求的就是这个不可达极限值2x，而不是函数值0/0。有意义的函数值没有，为0/0，但有意义的不可达极限值却可以有，为2x。这种说辞，看起来无问题。但实际上，这要求在该点无意义的极限值0/0同样要没有才行。但这一点被证明了吗？只是存在无意义的函数值0/0了，就自然不存在无意义的极限值0/0了？或其极限值就不是0/0了？谁给出证明了？如何证明？如果偏说其该点的极限值就是2x而不是0/0，不是还要经过约分消分母这一步吗（非消不可？）？这不是一个循环论证又是什么？
我的工作，第一，揭示了第二代微积分中贝克莱悖论根本就没有被解决，只是被掩盖了。我的文章中不光有论述，还有证明其为什么有问题的部分。所以不仅仅是个观点问题，而是有相关论证的。第二，指出了它们（特别是第一代）微积分究竟是如何求出了正确的导数的。也就是解释了如何才能做到它既求出了正确的结果，同时又不会产生矛盾（贝克莱悖论）。其核心不外我无数次提到的：关键是无论第一还是第二代微积分求导过程中都要首先约分消去分母上的那个自变量再求。第一代的牛顿是消去分母后舍弃所谓“高阶无穷小”，第二代柯西等是消去分母后求“残存的”那个不在分母上的自变量的趋0极限值（也就是0）。但是，几乎谁也没有注意到（居然！）的是，“约分消分母”，究竟意味着什么？把分母无端扔到垃圾桶里就完了？其实当然不是。约分按其定义（到处可以查到），就是消去一个分式中分子分母中的相同因子，那么分母上的自变量被消去后，分母按约分定义当然还在（一个分式消去了一个共同因子，分式就不再是分式了？分式的性质就改变成非分式了？），而如在，它应该是几？当然是“1”嘛！“1”就不是因子了？当然是。约分按其定义，难道约分之后可以把一个分式、比式变为非分式、非比式吗？约分没有这个功能！这是这么多年居然没有被任何人注意到的。考虑了这个因素之后，也就是分母在约分消去分母上的自变量△x之后，不是没有分母了，而是分母为“1”，要有一个“因子1”在分母上站岗。不能舍。极而言之（也作为一个例子），比如特殊一点的一个比式△x/△x，在所谓“约分消去分母上的自变量”后，得到什么？不是1/1吗？只有在1/1的数值（也仅仅是数值）就等于1，才可以有1/1 = 1。也就是说，△x/△x实际是等于△x•1/△x•1的（平时那个分子分母中的“1”多余，所有没有人写。但实际当然会有。因为很简单，“1”不也是一个“数”吗？是个数，凭什么在严格的意义上不写？），这才能说消去了该式分子分母上的共同因子△x，还应有1/1 = 1。否则把△x/△x通过约分消去分母后，就只能单纯地是如传统微积分求导所作的那样不在公式中再写△x/△x了，如此说来，难道△x/△x不是等于1/1 = 1，而是等于“空”（可形象地视为把△x/△x扔到“垃圾桶”里了，把它变没有了。不要认为我在说笑话，传统微积分正是这么干的！）吗？也就是“△x/△x = 空”？当然不是。况且就算是“1/1”，通过约分，所谓消去该比式分母分子中的那个共同的“1”后，不是还是1/1？谁能说有“1/1 = 空”成立？因此，说起来一个数学公式中只有在数值的意义上，“1”才可以被舍去，乘以它，除以它，数值不变、但也仅仅是“数值”不变。比如1/1 = 1，当然可以。但要意识到这仅仅是数值意义上的。作为等式左边的是一个比式（尽管是1/1，它也还是一个比式），而等式右边不是比式了，它仅仅是“1”，在这个意义上，等式两边是不一样的！这从物理问题的量纲可以看出。消去分母后，量纲不会变，不会被消去原量纲中的任何部分。如速度的量纲“距离/时间”，也不会仅仅因为消去了在数值意义上消去了分母，量纲也就由“距离/时间”变成了单纯的“距离”了。因此，约分消分母这件事，只是在数值意义上可行。但恰恰在微积分求导这件事上不行！这是因为约分后下面紧接着不是还要求导，也就是求增量比值函数的分母上的自变量△x的趋0极限呢吗？涉及到分母的一个运算，如何能先就把分母搞没了再算？当然不行，也不应该。数学作为一个号称最严密的科学本不应如此。而如此一来，分母△x经过约分实际已经等于1了，那还有这个△x→0吗？当然没有了，只能是△x→1或△x = 1了吧？换言之，只要我们一经过约分操作，分母就是1，想也不用想。明明要求的是一个自变量△x处于分母上的比式的△x的趋0极限，先把分母上的△x直接给去掉了（扔垃圾桶里了，变为“空”了），再去求一个无分母△x的非比式的△x趋0极限，那哪行啊？极限法微积分求导，按其定义明明求的是分母上有自变量△x的一个比式的△x的趋0“不可达极限值”，但实际求的却是一个没有分母的非比式的△x的趋0“可达极限值”，还硬说二者是一回事，作为号称最严密的数学，能允许这么做吗？还讲理吗？你们说“二者一回事”，能给出一个证明吗？具体说，能不先约分消分母地给出一个证明吗？不是所谓的任何“证明”，还得先消去分母的吗？这还不是循环论证？话说回来，既然分母上和分子上的一对△x已经都为“1”了，但其它的分子上的△x却不为1，说明了什么？说明了它们实际并不是同一个变量呗！注意，这可是约分约出来的结果，即直接的推论，不是我独出心裁杜撰出的东西。是推理出的东西。举例，还是二次函数。求导算出（2x + △x）•△x/△x后，约分得到（2x + △x）•1/1，原先的△x/△x = 1/1了，但（2x + △x）中的那个△x并没有变为1，说明原式中的三个△x其实不是同一个变量。既然不是，我们就应该用△g/△g（或任何其它符号写法）来代替原先的△x/△x，于是（2x + △x）△x/△x只要一经过约分消分母步骤，原式实际就成了（2x + △x）△g/△g（而不再是原先认为的（2x + △x）△x/△x了）。而这个（2x + △x）△g/△g是什么？还是二次“曲线”的增量比值函数吗？不是了。这是一个直线也就是线性方程的增量比值函数，其自变量是△g而不再是△x。而式子中的（2x + △x），可以看成是线性方程（直线方程）的系数k，即有（2x + △x）△g/△g = k（x，△x）△g/△g ，其中k（x，△x）中的变量x与△x，皆是这个系数也就是线性方程的系数（该直线的斜率）中的自变量，而不是整个线性增量方程的自变量。整个线性增量方程的自变量是△g而不是△x。这些变量的几何意义，△x是二次曲线函数任意两点间的横坐标增量，当其不为0时，也可以认为是其与其割线的两个交点的横坐标之间的增量。当其为0时，割线变为切线。而其中的x为二次曲线的横坐标。关键是△g，它是作为直线（已经不是曲线了！）割线或切线上的可以是任何两个点之间的横坐标差。也就是增量。它与曲折上的点无关。当然在两个交点的横坐标差△x不为0时，△g可以（也仅仅就是“可以”）等于△x，但在△x = 0时，二者不相等。因为△g处于分母上，作为限制条件，它不允许为0，也不是什么极限、无穷小，就是一个一般意义的宏观量。
总之，无论第一还是第二代微积分实际通过约分消分母求出的就是切线方程的实实在在的系数，也就是切线的斜率。而在它们的认识上或诠释上，却不是这样。他们认为求出的是一个单纯关于曲线上两个点的性质，只不过在数值上恰好等于其切线的斜率。由于在他们那里，导数或瞬时速度只能与曲线上的两个点相关，因此当这两个点趋于或等于一个点时，就才会出现问题：有一个分母为0或趋0的问题。因为他们明确求导求的就是曲线的增量比值函数在分母上的自变量△x等于0（第一代微积分）或趋于0（第二代微积分）时比值。而第二代微积分由于并不承认当分母上的自变量△x趋0时会有极限0/0，因此它不得不声称求出的导数并不是一个比式，而是一个没有分母分子的“整体”（不能分拆分母分子），因此莱布尼兹的“微商”这个词实际不应再用（见比较严格些的教科书）。这是荒唐的。实际在其后的微分定义、积分特别是微积分方程等等中，还是要回到分拆导数的分母分子这一步。否则根本没法办。
由于导数的实质、含义变了（数量未变），所以导数的定义必须变。而牛顿、莱布尼兹实际所求出的就是这个如此定义的导数，只不过他们没有意识到而已（求出来了，但不知道真正的含义。令人难以置信，但这是事实）。这一切源于对约分消分母这件事的实质的无视或误解。第二代微积分就更不用说的。新的导数定义，比如瞬时速度，就是当一个做曲线运动、加速运动的受力物体，如果在某时点外力突然撤销，该物体将会做匀速直线运动时的宏观意义的、一般意义的运动速度，定义成该瞬时的瞬时速度。大家可以看出，这个瞬时速度是“虚拟的”，定义前面有一个“如果”或“假设”。一个速度，哪怕是瞬时速度，其本原的定义不可能定义在一个没有时间差的时间点（时间差为0）上。因为显然，速度的定义就是在一段时间（不为0）所运动的距离二者之比。速度的定义中比如包括一个不为0的时间段。因此按本原意义，瞬时速度四个字，就构成一个矛盾：瞬时，要求时段为0；速度，要求时段不能为0！于是按本原意义，瞬时速度就是“在时段为0时的时段不为0时的速度”，这还不是矛盾？因此，笔者提出的这个新的瞬时速度定义，导数定义，与传统微积分不同。但他们实际求出的就是它、也只能是它，但是他们不认为或没有认识到是它。由于导数或瞬时速度定义是微积分中的十分重要的核心概念，因此从这个角度说，笔者的理论或诠释异于传统微积分也可以说的过去。也就是说白了，不仅仅是诠释，还有创新（当然不同于传统的诠释也是个创新）。
基于笔者提出的新导数定义，我们就完全可以甩开传统微积分囿于其导数定义的局限性而非得采取的求导方法，也就是基于增量比值函数的求导。在新导数定义下，我们完全可以直接由增量函数而不是增量比值函数来求导，其实就是直接求切线增量方程的系数，也就是切线的斜率（特别申明，就是一般意义的，不涉及极限、无穷小概念的斜率）。这是紧扣新导数定义的。如此，就不仅在理论诠释上，而且在具体求导过程中，彻底摈弃了增量比的分母上自变量△x在趋于0时的是0还是不是0的问题（也就是0/0的问题）。任何人，现在再想得到这个0/0都不可得。这就彻底堵死了一些人可以犯糊涂路径。叫“你们想糊涂都糊涂不了”，就没有再“糊涂”下去的本钱、基础。再糊涂，只有不讲理一途。否则一旦式子中还有个分母△x，很多人又什么分母明明为0啦等等地乱扯一气。具体我文章中都有，本质上就是把求导从大概0/0=k，变成0=k•0。求k，可以不？难道只有前者才能求出这个系数k？都没有分母了，还能有分母为0不为0的问题吗？
按这个直接由新导数定义给出的求导新法（形式上异于传统求法的），任何还稍有写头脑的都得明白。因为一经披露，实在是太简单。
最近看到，林群院士几年前的一篇介绍文章，好像是美国哈佛有一个教授，给出的求导就是基于增量函数的0=k•0。可见吾道不孤。但其理论细节不甚清楚。应该是没有我认识的这么彻底深刻。也许他仅仅做到的是形式上可行，具体道理未必厘清楚了。也就是，他未必得到了我的所谓“新导数定义”。细节就不清楚了，林群院士的文章中似乎没有讲的太具体。但起码在形式上，我的所谓的“最简求导法”，与他的求导法应该是一致的。此种方法，不仅在理论诠释上，而且在具体求导的形式、过程中，也彻底避开了分母上的自变量为0不为0之类的贝克莱悖论问题（分母都没了，还能有分母为0的问题吗？）。
Thebeater先生问， “换句话说，同一个函数、同一个点，用沈先生的方法，和用柯西的方法，得出来的可导与否、导数值多少，结论是否相同？”
这当然是相同的。而且我上面已经明确讲了，所谓的“沈先生的方法”，其实就是他们的方法。只不过他们没有意识到。具体说就是没有意识到约分消分母这一步究竟意味着什么。如果他们意识到了，我们实际就一致了。由于他们都没有意识到此点，因此他们求的东西是对的，但解释不对，使得系统中产生了矛盾。这个矛盾在第一代是明显的，大家度承认的，而第二代中不明显，很多人（绝大多数人）没有认识到或不承认。
Thebeater先生说“我觉得也许用例子来理解您的方法可能更好一些。但是您之前所有的文章，似乎只用了x^2这么一个函数作为例子，这显得有些单薄了。所以我斗胆，能不能请您用您的方法计算一下下面这些例子，看看结论如何呢？最重要的是，尽量避开柯西的极限、lim、连续等语言，这样我们才好比较您的方法与柯西的方法的区别。正如我之前的文章提到的观点，实践是检验真理的唯一标准。”
微积分求导，一般认为最本质的就是三种，一个是变量（比如x）的n次方，一个是三角函数（具体说就是正弦函数），一个是指数或对数函数。其它函数大都可以从这几个基本的函数的导数推导出来。其实这几种函数的求导我都给出了。但文博主这里可能没有。正弦函数的求导，我用几种方法求解。第一种实际是解释传统极限法的求法如何用我的思路解释。并指出传统教科书的求法隐含一个错误。也就是在运用三明治定理时，把“小于等于≤”关系偷换成了“小于＜”。于是得到一个“0＜0＜0”，这当然是错的。极限法微积分之所以非要如此悄悄地改变三明治定理，还是由于一旦用“小于等于≤”关系，就又有一个分母为0的问题。但他们没有意识到，排斥“小于等于≤关系中的等于=”，又会得到“0＜0＜0”而没有了“0=0=0”这个正确的关系式。其它的求法，我文章中都有。至于指数函数，对数函数，求法很简单，一开始我都省略了。后来可能也在文章中简单写出了。实际也是一个解释问题，与传统求法差别不大。
具体讨论，我前期文章中很详尽了。请参考。比如下面的文（在国家科技图书文献中心预印本中，或知网“何许”（即我本人化名）博客中都有。
三角函数比如正弦函数的求导，可以有多种方法。笔者最早是用我的新导数定义解释传统求法。指出传统求法实际依赖的三明治定理的运用上的问题。也就是本质上它并没有完满地解释为什么可以求出正确的正弦函数的导数。甚至它的求法本身都是错的。尽管结果的数值并没错。理由上面已经给出了。而按笔者的思路，才可以彻底解决这个问题。后来，笔者又根据我给出的新的导数定义，用更简洁、直接的方法求出了正弦函数的导数。后来网友介绍了外国人Gabriel提出的利用级数求正弦函数导数的方法，实际上，这就可以使得所有函数的求导，都可以归结于x的n次方这样的函数求导。指数函数、对数函数原先也就是这么求的（请查教科书）。于是，使得所谓求导中最基本的三种函数，变为了只有一种函数（x的n次方）是最基本的了。特别是，Gabriel提出的导数概念，虽然没有最终解决贝克莱悖论问题，但他的思路与笔者提出的“导数的第二定义”几乎一致，可谓异曲同工。在导数的第二定义下，积分问题根本就不再需要极限与无穷小概念，返璞归真，在理论上不仅仅是大为简化的问题，而是正本清源、彻底消除隐患矛盾的问题。此点，我与这个老外基本一致，可谓殊途同归。当然，在导数的第一定义上，他没有达到我的认识水平，因此其理论中说是不需要无穷小和极限，但是实际上那是形式上的，根本的他还是没有解决贝克莱悖论问题。在对待贝克莱悖论问题上，他其实与牛顿、莱布尼兹并无区别。直接令分母上的自变量为0，只不过他文章中没有提这个问题。当然，没有提不等于没有。
至于你问的后面三个函数如狄利克雷函数，黎曼函数等，它们都不是连续函数，是特殊的。在传统极限法微积分中都没有导数。但在我的导数定义中，按导数的第二定义，导数就是增量比，这些函数的导数也可以有。这也许是我的导数定义与传统导数的又一个区别。实际上，我的导数定义把它的应用范围扩大了。但这个问题不是首要的，也许不是根本的。导数主要还是要解决连续函数中的问题。这个是大头。
Thebeater先生说：“..........实践是检验真理的唯一标准”。这个我完全同意。我其实也是如此践行的。“不唯书，不唯上”，在科学理论上同样适用。让我们共勉！
其次，我还真得感谢 Thebeater先生。没有他的提问，我也不会再写这篇小文。就是写，原先也只是要简单地写几段。可一写起来又“收不住了”。但此文中还是有些过去我的文章中没有涉及的地方，或涉及不深、没有展开的地方。这是我感谢Thebeater先生的理由，不是虚应故事的客套说辞。
最后，我还想利用这个机会，对青年同志、先生、朋友说几句。你们不像那些教微积分了半辈子、大半辈子、甚至一辈子的苍髯老者，有个面子问题，自己是不是看上去有点傻的问题。对很多所谓的学者而言，面子、权威、利益是高于学术的（学术问题，从来就不单纯是个学术问题）。而青年朋友有什么面子问题？你们刚刚接触微积分不久，又何必去背上这个面子包袱？去替这些像我一样行将就木者去站台，去维护他们的面子？你们完全可以放下包袱，起码是不要背起包袱地从新开张。不必顾忌什么传统的东西，有问题你们就痛痛快快地否。你们否，是否别人，古人，死人，老人。而不像吾辈老人（活着的古人，呵呵）这样，否，是否自己。否自己教了也信了一辈子的东西。否自己当然从来都是难些的。所以，青年朋友，完全可以脱离课本，再仔细想想，从头想想这类问题，勿有什么成见，先入之见。我也希望你们如果觉得我的文章还有些意思，值得再琢磨琢磨，就不妨转发给你们的同道或什么群之类的。我不指望这些权威老家伙什么，除了个别人（大概也死的差不多了），我愈来愈怀疑有些人的学品、道行。这个不多说了，题中应有之义罢了。不必责怪别人不是圣人。但我听说过某名人的一句话，就是“很多时候，一个科学理论的被承认或确立，竟然是在这些反对者都死了以后”（大意）。还有，爱因斯坦说的：“任何科学理论大约都要经历三种境界，第一，不被承认，被认为是异端，第二，被承认；第三，成为阻碍进步的僵化权威”（大意）。我的希望很简单，就是将来也许有一天，学生们都明白了，老师们没还没明白。有一句过去很有名的话，现在不怎么提了，就是“卑贱者最聪明”，我倒要看看是不是真有其事！
当然，也有人说了，现时的青年只知道打游戏、忙挣钱等等的。这个我就没有话说了。打游戏、挣钱，都是头等头的大事，我辈退休居家养老人员，又能说些什么呢？
这方面的文章见“知乎网”“何许”（就是我）的博客。或“国家科技图书文献中心预印本”中我的文章。
笔者近些年所写文章的检索方式
1、进入“国家科技图书文献中心”官网→点击“特色服务”→点击“预印本”→在“文章检索”“条件一”下输入“沈卫国”→点选“全部学科”→点击“检索”。
即可看到笔者今年所有文章。这些文章有些后来发表了，有些没有没有正式发表。都可以免费下载的。
或
2、进入“汉斯出版社中文学术期刊官网”→在搜索栏中输入“沈卫国”。笔者发表于其“理论数学”网刊和“预印本”的文章（不多，不全）亦可以看到和免费下载
或
3、进入“知乎官网”→搜“何许”（笔者知乎、微信名），亦可见到笔者一些文章、博文。但注意，这里的文章中的一些图、表、公式没有显示。但可能有些与“知友”的讨论
或
4、进入“科学网博客”→搜“文清慧”博客。其中有些笔者文章及讨论
或
5、进入“科学网”→搜“沈卫国”亦可。
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