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Zmn-0825 侯小山:开区间(0, 1) 共有多少个小数,及文清慧评语

已有 297 次阅读 2022-1-22 16:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0825 侯小山:开区间(0, 1) 共有多少个小数,及文清慧评语

【编者按。这是侯小山先生发来文章及文清慧评语。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。

 

 


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文清慧评语。


文请慧.jpg因为这个问题太简单了。我对此文给出如下评语。

一,此文的结论【所以开区间 (0,1) 共有 (10n − 1) 个小数,n ≥ 1。】是完全错的。

理由很简单。因为对于任何自然数n,(0,1)中共有10n-1个n位十进制小数,这是正确的。但是我们知道小数包括有穷小数和无穷小数。区间(0,1)中不仅只含有对任何n的n位有穷小数,还含有无穷位的无穷小数。应该证明下述两个定理。

定理1 。(0,1)中包含可数无穷个有穷小数。

定理2。(0,1)中包含的无穷小数的集合,它的基数是不可数的。

因而,侯小山问题【开区间(0, 1) 共有多少个小数】的正确答案,应是【(0,1)中包含的无穷小数的集合的基数是不可数的】。

 

二,定理1的证明。

对于任意给定的n,所有n位有穷小数的个数是10n-1,是有穷的。但我们可以严格证明,对于由所有的n构成的有穷小数的集合A={ 0.a1a2a3...an丨n>0,ai∈{0,1,...,9},an≠0 },是可数无穷的。

我们令Ai表示真n位小数,所谓真n位小数,是指它的第n位an不等于0,从而它不包括更少位数的小数。

A1={ 0.a1丨a1∈{1,...,9} }

A2={ 0.a1a2丨a1,a2∈{0,1,...,9},a2≠0 }。

......

An={ 0.a1a2a3...an丨ai∈{0,1,...,9},an≠0 }。

......

显然对任何n,An的个数等于10n-1·9 ,是有穷数。而且A=A1UA2UA3U...UAnU...。这是可数无穷个有穷集的并集,因而可证A的基数是可数无穷。

 

三,定理2的证明。

可证(0,1)中的无穷小数构成的集合B={0.a1a2a3,... |ai∈{0,1,...,9},ai不全为0也不全为9 },是不可数的。

这可用基数理论来证,基数的乘幂运算是这样定义的,集合X到集合Y的所有函数的集合是集合Z,若X的基数是α,Y的基数是β,Z的基数γ,则γ=βα。由B的定义可知,B就是由自然数N到集合 N10={0,1,2,...,9) 的函数构成的集合。由于N的基数是אo,N10的基数是10。所以B的基数等于10אo。再根据幂集基数定理,当β>1时,βα>α,即10אo>אo。从而知B的基数不可数。证毕

 

 

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