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Zmn-0798 薛问天:幂集定理是用反证法证明的,不能否定反证法的效用。评林益《0793》

已有 325 次阅读 2021-12-31 17:16 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0798 薛问天:幂集定理是用反证法证明的,不能否定反证法的效用。评林益《0793》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对林 益先生的《0793》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

幂集定理是用反证法证明的,不能否定反证法的效用。

评林益先生《0793

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,对于A是有穷集和A是无穷集,幂集的基数是不同的 。

林益先生对A是n个元素的有穷集合的幂集的讨论,是完全正确的,可以用组合法证明,幂集的基数等于2n大于原集的基数n。

对于A是可数无穷集时,林益先生说【我相信薛问天老师一定能构造无穷集 A={a1,a2,...,an,... } 的子集,一定能够给出无穷集 A 的幂集来, 我很期望薛问天老师能给出幂集 A的的子集类具体的元素,并且根据幂集A的子集类所含元素的数目进行对幂集的势的统计 。康托尔认为如果无穷集A={a1,a2,...,an,... } 的势为 μ,其幂集 A的势为2μ ,并没有推导过程,只能是一种猜想,而且证明也没有用推导法, 而是用备受争议的反证法,

对此,我要发表如下意见

1,幂集的定义是清楚的,正如林益先生所说,一个集合的幂集,是指这个集合子集构成的集合。幂集定义己讲清楚,幂集的存在是由幂集公理所决定的。所以幂集并不需要由我来【给出】。我们讨论幂集的构造是为了对幂集作进一步的研究,不涉及幂集的定义和存在。

2,我们讨论幂集的构造是为了对幂集作具体的研究,並不是【根据幂集 A的子集类所含元素的数目进行对幂集的势的统计】.林益先生想用此构造来证明幂集定理。实际上做不到。用此构造的方法可以证明幂集A=ANUAμ。只能证明其中有穷子集类Ak(k∈N)的并集AN可数,但求不出类Aμ的基数。根本证明不了幂集定理,而幂集定理,是由康托尔用反证法严格证明的。

3,幂集定理,即幂集的基数大于原集的基数,是由康托尔用反证法进行了严格地证明。我在《0742》四中己经叙述了证明的概要。我们不是直觉主义和构造主义者,我们承认反证法的证明是正当的证明。因而林益先生认为幂集定理【并没有推导过程,只能是一种猜想,】的论断是错误的。而且他把公认有效的反证法说成是【备受争议的反证法】也是完全错误的。反证法利用推出矛盾推翻反命题的假定而使命题得证。这是严格的逻辑推导和有效的证明。

二,对于无穷基数,不能使用【组合方法】。 

看来林益先生对我的这个意见还未理解。我的意思是说u个元素中取n个的组合公式Cun=u!/n!(u-n)!,其中的u和n都必须限制是自然数而不能是超穷基数。而林益先生还继续错误地令其中u=μ来使用。μ是超穷基数时,组合公式已不能用,用就是错误的。林益先生还在错误地写Cμn和Cμμ。请问你知道μ的阶乘μ!等于多少你怎么使用组合公式。

三,不要用【全集类】来偷换Aμ类。

林益先生问【不知薛问天老师认为全集类包含多少个元素?

我们知道集合A的幂集A=(A0A1A2∪...∪Ak∪...)∪Aμ=ANUAμ
我们讨论的是
Aμ。林益先生应该关心的是Aμ类包含多少个元素,而却把Aμ类偷换成【全集类】,显然这是不对的。全集就是它自己集合A,当然【全集类】只含有它自己一个元素。关于这点我已讲过多次。对于A是有穷集来说,Aμ类同【全集类】是相同的,类中只有一个元素就是A自己。但是当A是无穷集时,由于A可以同它的真子集一一对应,因而同A的基数相等的子集就很多很多。Aμ起码不止一个元素。以后可知,根据幂隼定理的结论,可证明Aμ是不可数的。

林益先生说【由于 A 可以同它的无穷多个真子集一一对应, A 必然存在其真子集不包含的元素,也必然形成不同的子集类, 完全可以用不同Ai表示,

林益先生,你的类Aμ的定义是什么?我查了一下林益先生的《0780》,林先生是这么讲的【显然无穷集 A 的子集应该从包含元素个数为 0, 1, 2 到μ构成的集合,如果无穷集 A 的幂集为A,如果按照子集所包含元素个数进行分类,显然无穷集 A 的幂集A可分类为:A0, A1, A2,..., Ak,..., Aμ

那显然Aμ是包含元素个数为μ的子集构成的类。请问林益先生,那些同A一一对应的真子集的基数是否等于μ。是否应该属于Aμ。你说它不属于Aμ有什么理由?同时你说它属于Ai,这个Ai在哪里,要知道在你的子集类序列中,除了Aμ以外的类Ak都是有穷子集的类,可这些真子集都是无穷子集,怎么能属于这些有穷子集的类中呢?

四,关于A集的幂集的构造,回答林益先生的提问。

1,这个问题问的很奇怪,我说的【Ak={ t|t是 A 的子集,且t的元素个数等于k }】,这是子集类Ak的正确定义,一点错误都没有,不知为什么林益先生举了A0中的子集个数为1,A 1中的子集个数为μ,就说这个定义有错。请具体说清你认为错在哪里?不知林益先生是否把「t的元素个数等于k」理解错了,这里的t的元素个数指的子集t中含有的元素个数,不是Ak中的子集个数。要知道在定义中只定义Ak是什么,并没有回答Ak的基数是多少。

M2,林益先生的第2个问题,是由于他不仔细,竟然看错了我的原文。我的原文是这样写的〖幂集A=(A0A1A2∪...∪Ak∪...)∪Aμ。由于所有的Ak都是可数的,则A0A1A2∪...∪Ak∪...是可数的。〗注意这个可数的并集中不包括Aμ。而林益看错了,以为Aμ也包括在内(见他的引文)。这是个严重的引文错误。我反复讲我只证明了当k是有穷自然数时Ak是可数的,由于Ak只有可数个,所以有穷子集类的并集AN=A0A1A2∪...∪Ak∪...是可数的。并沒有证明Aμ是可数的。实际上由于幂集A=ANUAμ。根据幂集定理证明的结论,幂集A不可数。由AN可数,即可判定Aμ不可数。

3,关于Ak可数的证明。

我是这样写的:〖我们把Ak中的子集再按其所含最大元来分类。我们令Bn表示元素个数为k而且其中所含最大元素是an的A的子集的类。即

Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。其中

Bn={ t丨t是A的子集,且t的元素个数等于k,并且子集t中所含的最大元素是an。}

 显然对任何n∈N,Bn都是有穷集,其个数为Cn-1k-1。同时知可数个有穷集的并集是可数的,这就证明了对任何自然数k,Ak可数。〗

林益先生对k=1,2的情况想不清,我来具体解释一下。

k=1A1=B1UB2UB3U...。因为A1中的所有Bn,都是只含1个元素的子集类,而且子集中所含的最大元素就是那一个元素是an。所以其中B1:{a1}B2:{a2}B3:{a3},...。所以A1:{a1},{a2},{a3},,...A1是可数个有限集(每个Bn只含1个元素)的并集,基数为可数无穷。

k=2 A2=B2UB3UB4U...。因为A2中的所有Bn,都是含2个元素的子集类,而且子集中所含的最大元素是an。所以其中

B2:{a1,a2}。每个子集都以a2为最大元素,子集个数为C11=1。

B3:{a1,a3},{a2,a3}。每个子集都以a3为最大元素,子集个数为C21=2。

B4:{a1,a4},{a2,a4},{a3,a4}。每个子集都以a4为最大元素,子集个数为C31=3。

......

为了使林先生再了解得清楚,我们再列举一下A3

k=3A3=B3UB4UB5U...。因为A3中的所有Bn,都是含3个元素的子集类,而且子集中所含的最大元素是an。所以其中

B3:{a1,a2,a3}。每个子集都以a3为最大元素,子集个数为C22=1。

B4:{a1,a2,a4},{a1,a3,a4},{a2,a3,a4}。每个子集都以a4为最大元素,子集个数为C32=3。

B5:{a1,a2,a5},{a1,a3,a5},{a2,a3,a5},{a1,a4,a5},{a2,a4,a5},{a3,a4,a5}。每个子集都以a5为最大元素,子集个数为C42=6。

......

Bn是A的子集类,当然不是A的子集,不是幂集A的元素,但是Bn的元素却是A的子集,是幂集A的元素。而且Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。这里所有的Bn都是有限集,这就说明了Ak是由可数无穷个有限集的并集构成的,这就严格地证明了每个Ak都是可数的。

由每个Ak可数就证明了有穷子集类的并集AN=A0A1A2∪...∪Ak∪...是可数的。

也就是说用我们所研究的幂集的构造,证明了可数无穷集合A的幂集A=ANUAμ。其中AN是可数的。但并没有证明Aμ的基数是多少。只是通过康托尔的幂集定理,用反证法证明了幂集A不可数。于是从此我们知道Aμ也是不可数的。也就是说,通过其子集的构造实际上推导不出A 的幂集 的势来,必须用反证法的证明,才能证明可数无穷集合A的幂级的势大于A的势,是不可数的。

参考文献






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