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Zmn-0798 薛问天：幂集定理是用反证法证明的，不能否定反证法的效用。评林益《0793》

已有 1165 次阅读 2021-12-31 17:16 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0798 薛问天：幂集定理是用反证法证明的，不能否定反证法的效用。评林益《0793》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《0793》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

幂集定理是用反证法证明的，不能否定反证法的效用。

评林益先生《0793》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，对于A是有穷集和A是无穷集，幂集的基数是不同的。

林益先生对A是n个元素的有穷集合的幂集的讨论，是完全正确的，可以用组合法证明，幂集的基数等于2ⁿ大于原集的基数n。

对于A是可数无穷集时，林益先生说【我相信薛问天老师一定能构造无穷集 A={a1,a2,...,an,... } 的子集，一定能够给出无穷集 A 的幂集来，我很期望薛问天老师能给出幂集 A的的子集类具体的元素，并且根据幂集A的子集类所含元素的数目进行对幂集的势的统计。康托尔认为如果无穷集A={a1,a2,...,an,... } 的势为 μ，其幂集 A的势为2^μ ，并没有推导过程，只能是一种猜想，而且证明也没有用推导法，而是用备受争议的反证法，】

对此，我要发表如下意见

1，幂集的定义是清楚的，正如林益先生所说，一个集合的幂集，是指这个集合所有子集构成的集合。幂集定义己讲清楚，幂集的存在是由幂集公理所决定的。所以幂集并不需要由我来【给出】。我们讨论幂集的构造是为了对幂集作进一步的研究，不涉及幂集的定义和存在。

2，我们讨论幂集的构造是为了对幂集作具体的研究，並不是【根据幂集 A的子集类所含元素的数目进行对幂集的势的统计】.林益先生想用此构造来证明幂集定理。实际上做不到。用此构造的方法可以证明幂集A=ANUAμ。只能证明其中有穷子集类Ak(k∈N)的并集AN可数，但求不出类Aμ的基数。根本证明不了幂集定理，而幂集定理，是由康托尔用反证法严格证明的。

3，幂集定理，即幂集的基数大于原集的基数，是由康托尔用反证法进行了严格地证明。我在《0742》四中己经叙述了证明的概要。我们不是直觉主义和构造主义者，我们承认反证法的证明是正当的证明。因而林益先生认为幂集定理【并没有推导过程，只能是一种猜想，】的论断是错误的。而且他把公认有效的反证法说成是【备受争议的反证法】也是完全错误的。反证法利用推出矛盾推翻反命题的假定而使命题得证。这是严格的逻辑推导和有效的证明。

二，对于无穷基数，不能使用【组合方法】。

看来林益先生对我的这个意见还未理解。我的意思是说u个元素中取n个的组合公式C_uⁿ=u!/n!(u-n)!，其中的u和n都必须限制是自然数而不能是超穷基数。而林益先生还继续错误地令其中u=μ来使用。μ是超穷基数时，组合公式已不能用，用就是错误的。林益先生还在错误地写C_μⁿ和C_μ^μ。请问你知道μ的阶乘μ！等于多少你怎么使用组合公式。

三，不要用【全集类】来偷换Aμ类。

林益先生问【不知薛问天老师认为全集类包含多少个元素？】

我们知道集合A的幂集A=(A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...)∪Aμ=ANUAμ。
我们讨论的是Aμ。林益先生应该关心的是Aμ类包含多少个元素，而却把Aμ类偷换成【全集类】，显然这是不对的。全集就是它自己集合A，当然【全集类】只含有它自己一个元素。关于这点我已讲过多次。对于A是有穷集来说，Aμ类同【全集类】是相同的，类中只有一个元素就是A自己。但是当A是无穷集时，由于A可以同它的真子集一一对应，因而同A的基数相等的子集就很多很多。Aμ起码不止一个元素。以后可知，根据幂隼定理的结论，可证明Aμ是不可数的。

林益先生说【由于 A 可以同它的无穷多个真子集一一对应， A 必然存在其真子集不包含的元素，也必然形成不同的子集类，完全可以用不同Ai表示， 】

林益先生，你的类Aμ的定义是什么？我查了一下林益先生的《0780》，林先生是这么讲的【显然无穷集 A 的子集应该从包含元素个数为 0， 1， 2 到μ构成的集合，如果无穷集 A 的幂集为A，如果按照子集所包含元素个数进行分类，显然无穷集 A 的幂集A可分类为：A0, A1, A2,..., Ak,..., Aμ。】

那显然Aμ是包含元素个数为μ的子集构成的类。请问林益先生，那些同A一一对应的真子集的基数是否等于μ。是否应该属于Aμ。你说它不属于Aμ有什么理由？同时你说它属于Ai，这个Ai在哪里，要知道在你的子集类序列中，除了Aμ以外的类Ak都是有穷子集的类，可这些真子集都是无穷子集，怎么能属于这些有穷子集的类中呢？

四，关于A集的幂集的构造，回答林益先生的提问。

1，这个问题问的很奇怪，我说的【Ak={ t|t是 A 的子集，且t的元素个数等于k }】，这是子集类Ak的正确定义，一点错误都没有，不知为什么林益先生举了A0中的子集个数为1，A 1中的子集个数为μ，就说这个定义有错。请具体说清你认为错在哪里？不知林益先生是否把「t的元素个数等于k」理解错了，这里的t的元素个数指的子集t中含有的元素个数，不是Ak中的子集个数。要知道在定义中只定义Ak是什么，并没有回答Ak的基数是多少。

M2，林益先生的第2个问题，是由于他不仔细，竟然看错了我的原文。我的原文是这样写的〖幂集A=(A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...)∪Aμ。由于所有的Ak都是可数的，则A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...是可数的。〗注意这个可数的并集中不包括Aμ。而林益看错了，以为Aμ也包括在内(见他的引文)。这是个严重的引文错误。我反复讲我只证明了当k是有穷自然数时Ak是可数的，由于Ak只有可数个，所以有穷子集类的并集AN=A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...是可数的。并沒有证明Aμ是可数的。实际上由于幂集A=ANUAμ。根据幂集定理证明的结论，幂集A不可数。由AN可数，即可判定Aμ不可数。

3，关于Ak可数的证明。

我是这样写的：〖我们把Ak中的子集再按其所含最大元来分类。我们令Bn表示元素个数为k而且其中所含最大元素是an的A的子集的类。即

Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。其中

Bn={ t丨t是A的子集，且t的元素个数等于k，并且子集t中所含的最大元素是an。}

显然对任何n∈N，Bn都是有穷集，其个数为C_n-1^k-1。同时知可数个有穷集的并集是可数的，这就证明了对任何自然数k，Ak可数。〗

林益先生对k=1,2的情况想不清，我来具体解释一下。

k=1，A1=B1UB2UB3U...。因为A1中的所有Bn，都是只含1个元素的子集类，而且子集中所含的最大元素就是那一个元素是an。所以其中B1:{a1}，B2:{a2}，B3:{a3}，...。所以A1:{a1},{a2},{a3},,...。A1是可数个有限集(每个Bn只含1个元素)的并集，基数为可数无穷。

k=2 。A2=B2UB3UB4U...。因为A2中的所有Bn，都是含2个元素的子集类，而且子集中所含的最大元素是an。所以其中

B2:{a1,a2}。每个子集都以a2为最大元素，子集个数为C₁¹=1。

B3:{a1,a3}，{a2,a3}。每个子集都以a3为最大元素，子集个数为C₂¹=2。

B4:{a1,a4}，{a2,a4}，{a3,a4}。每个子集都以a4为最大元素，子集个数为C₃¹=3。

......

为了使林先生再了解得清楚，我们再列举一下A3。

k=3。A3=B3UB4UB5U...。因为A3中的所有Bn，都是含3个元素的子集类，而且子集中所含的最大元素是an。所以其中

B3:{a1,a2,a3}。每个子集都以a3为最大元素，子集个数为C₂²=1。

B4:{a1,a2,a4}，{a1,a3,a4}，{a2,a3,a4}。每个子集都以a4为最大元素，子集个数为C₃²=3。

B5:{a1,a2,a5}，{a1,a3,a5}，{a2,a3,a5}，{a1,a4,a5}，{a2,a4,a5}，{a3,a4,a5}。每个子集都以a5为最大元素，子集个数为C₄²=6。

......。

Bn是A的子集类，当然不是A的子集，不是幂集A的元素，但是Bn的元素却是A的子集，是幂集A的元素。而且Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。这里所有的Bn都是有限集，这就说明了Ak是由可数无穷个有限集的并集构成的，这就严格地证明了每个Ak都是可数的。

由每个Ak可数就证明了有穷子集类的并集AN=A0∪A1∪A2∪...∪Ak∪...是可数的。

也就是说用我们所研究的幂集的构造，证明了可数无穷集合A的幂集A=ANUAμ。其中AN是可数的。但并没有证明Aμ的基数是多少。只是通过康托尔的幂集定理，用反证法证明了幂集A不可数。于是从此我们知道Aμ也是不可数的。也就是说，通过其子集的构造实际上推导不出A 的幂集的势来，必须用反证法的证明，才能证明可数无穷集合A的幂级的势大于A的势，是不可数的。