Zmn-1161 沈卫国 : 对薛问天zmn-1152关于高阶无穷小问题对我的质疑的回复

【编者按。下面是沈卫国先生的评论文章。是对薛问天先生的《1152》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对薛问天zmn-1152关于高阶无穷小问题

对我的质疑的回复

沈卫国

       开宗明义，我一看什么人居然大谈特谈什么“无穷小”，并且极力维护这个概念，就知道此人的真实水准了。第二代的极限法微积分，是彻底地排斥无穷小概念的！因为其目的就是取代第一代的无穷小微积分（会产生的贝克莱悖论）的。所有严肃的数学专业的教科书，特别是国外的，比如美国的托马斯、普利斯顿等，还有国内王元的微积分教材，都是如此，里面根本就没有“无穷小”这个词条。这个我在文章中写的明明白白的，薛先生居然毫无所察或故意不提。不但著名的数学大家莫绍揆先生曾经说过极限法的第二代微积分是抛弃了无穷小概念的（其目的就是这个），这我在前文中引用了他的原话的（薛问天先生完全无视，故意不做评论）。就算是大数学家柯朗在其经典名著“什么是数学”中第447页说：“此外有一点可以再提一下，作为无穷小量的“微分”，现在是肯定地而且不光彩地被抛弃了”（原文照录）。大名鼎鼎的柯朗（即提出千禧七问题的所谓“克雷研究所”的创建者，克雷，柯朗也）比您薛先生来头大的多吧？因此，薛先生居然津津乐道于那些教科书的什么“无穷小”、“无穷小比较大小”、“无穷小的阶数”、“无穷小的趋0快慢”等等本该彻底摈弃的概念，还振振有词的摆出一副权威的架势，本身就反映了他的无知。要谈极限法第二代微积分，如果不是糊弄初学者，就请彻底闭嘴免谈“无穷小”这三个字，好么？因为这是第一代微积分中的概念，如果它成立，还需要极限法的第二代微积分吗？请薛先生找本严肃的教材好好恶补一下。

     此外，我那篇文章，就是指出按无穷小观点，会产生那些教师之间的分歧（见该文参考文献）和误解。我的意思很明确，就是无穷小的路数不通。既然承认第二代的极限法微积分，就理应彻底否定或起码不再提无穷小的第一代微积分，这是常识，否则还分什么第几代？结果我评论那些教师的关于无穷小的话，居然被薛先生当成我同意无穷小似的话来批，请问您薛先生，您的认知理解力没有出问题吧？简直可笑至极。薛问天批了半天，都不知道该批的究竟是谁、谁的观点是什么，一股脑地把那些教师的观点（我写文的目的就是指出他们的错误的！），无差别地全算到我头上了，您真好意思。

       还有一种可能，就是薛问天先生明明知道那些教师说的是什么，但就是不去得罪“同行”（这就是现今所谓的“同行评议”的极大讽刺），他历来如此，我几次请他去评论张景中、林群二先生的微积分观点，他从来不做任何响应，实际是不敢。对死人（当然是算不上“大名鼎鼎”的），他倒敢批，我记得他批过莫绍揆先生。呵呵，薛先生这个人啊，有意思。

       既然薛先生已经看不明白我文章的宗旨了，这里我不得不再简要复述一下：我文章的起因，是申兰珍2004年的一篇文章，是说导数概念就是速度，但按“高阶无穷小趋0速度就快”的教科书上的观点，二者会产生矛盾。然后一些教师对此提出异议，认为申兰珍搞错了，高阶无穷小本来就不是趋0的瞬时速度（导数）的快慢问题，而是离0点更近云云，是申老师对教材有误解，而教材没错。但又有教师指出，离0点近的，不一定是高阶的，完全可以是同阶无穷小云云。又把批申兰珍的人给否了（统见我上文参考文献）。总之，在无穷小的诠释下，问题多多。我的文章，就是指出这点的。认为用有关教科书中的“趋0速度”来解释高阶无穷小不妥，而如果趋0速度高不是高阶无穷小的唯一刻画，高阶无穷小又是什么？又有什么意义？这反映了这个理论本身的乏力与问题，根本上就是错的。薛先生如果真心想搞清问题，就应该直接针对上述那些教师的观点（他们的有关文章在我的参考文献中都有）来发议论：究竟是同意他们之中的哪一个的观点？还是他们的谁也不同意？您应该明确地、毫不含糊地指出来。结果他们这些教师的观点，却被薛先生冠以我之名而批之，全然不顾我是根本上就不同意他们观点的基本事实，究竟是薛先生糊涂透了，还是薛先生有意为之？除非对此文不再回复，否则薛先生如果还回答我，必须给个明确的说明！ 

     薛先生最可笑的地方，就是一切以教科书为圭臬，离开了教科书，简直寸步难行。可惜，这次他所依据的教科书，是在此问题上根本不靠谱的、基于无穷小的、本质上是第一代的、与第二代的极限法其实格格不入的、因此是有瑕疵的微积分教科书而不自知。其实，指出此点就足够了，按第二代微积分的极限法观点，薛先生所有关于无穷小的议论，全部失去价值、意义，因为其有悖于极限法观点，凸显出薛先生不管有着怎样的头衔，仅就微积分基础这点来说，也是一个真正意义的外行（也许是“行内外行”） 。但退一步，就是按第一代微积分无穷小的观点，他的观点也是错的。如薛先生说：“”设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小”。解释为“α比β趋于 0 的速度快”（引号部分摘之教材）。这个有关高阶无穷小的定义和直观解释是正确的，没有错误。 当然无穷小量指的是极限为0的变量。这里的α，β都是自变量x的变量，当x→x0时α(x)→0和β(x)→0。另外，解释要服从于定义。其中【α比β趋于 0 的速度快】。指的就是【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】不要作其它的错误理解。 怎样用【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】来解释【α比β趋于 0 的速度快】呢？这就要用极限的定义。按照ε-δ的极限定义，【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】的意思是，α是β的高阶无穷小当且仅当，对任意小的ε>0，都存在这样的δ>0，当|x-x0丨<δ时，有|α/β丨<ε。直观上讲，就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越快。对任意小的ε，都存在这样的δ，当x在x0的δ邻域中时，丨α丨比丨β丨小ε倍，丨α丨<ε丨β丨。这就是解释【α比β趋于 0 的速度快】的具体含义。丨α丨比丨β丨小ε倍，你说丨α丨比丨β丨是不是小的速度快。”  

     薛先生此段议论，充分暴露了其立论中的问题。首先，他又故伎重演，以为教科书中的结论就是金科玉律，就是铁定无误的。人家申兰珍就是针对教科书中的说法提出问题的，您薛先生一句“没有问题”、“完全正确”就人家提出的问题解决了？薛先生惯会如此：人家就某传统理论提出异议，他只是用传统理论的说法来反对人家，给人一种假象，似乎人家还不知道这个传统理论是什么似的。其次，薛先生下面说什么“丨α丨比丨β丨小ε倍，丨α丨<ε丨β丨。这就是解释【α比β趋于 0 的速度快】的具体含义。丨α丨比丨β丨小ε倍，你说丨α丨比丨β丨是不是小的速度快。”还说“直观上讲，就是越接近x0，丨α丨比丨β丨小得越快。”。这里必须首先更正薛先生：对丨α丨<ε丨β丨而言，不是什么丨α丨比丨β丨小ε倍，而是丨α丨是丨β丨的ε倍，或丨α丨比丨β丨小1/ε倍，因为ε是一个趋于0的数。

     当然这个不是主要问题，如果说速度，难道导数所表征的瞬时速度不是速度？而申老师正是指出了这个导数所代表的速度，和那些教科书中的速度之间的矛盾。薛先生不去针对此点发议论，而一概以书中的说法为准，那意思就是，导数所代表的速度不是速度（起码在此处），书中的速度才是。这是一个讨论问题的正确态度吗？回答不了就说回答不了的，不要仅仅以重复人家质疑的书中的说法了事。薛问天对此文不再回复则罢，只要还回复，请您必须明确回答都符合速度概念的这两个速度为什么冲突，哪个对，哪个不对，给个说法。

      既然两个速度都是速度，那么，教科书中如果只取其一，就算是个定义，也是不妥的。凭什么只取一个速度而舍弃另一个？申老师正是认识到此点，才提出这个问题的。我在上文中以十分鲜明且直观的方式解释了此问题（薛先生故意装看不见）：就像芝诺悖论中的阿克琉斯追乌龟悖论（此时当然可以直接把阿克琉斯和乌龟分别看成为两个有关联的“变量”，直接命名为通常常用的x、y，或干脆就用极限定义中的ε、δ，芝诺悖论的表述，不就真的成了极限的ε-δ定义了？（试试看）。等价地，或用阿克琉斯与乌龟分别替换极限定义中的符号ε、δ，看看那个著名的、被数学行中人吹的不要不要的极限的ε-δ定义，实质上是不是就是一个二千年前就有的芝诺阿克琉斯追乌龟悖论的表述？本质真是一回事（有学者居然说极限法解决了芝诺悖论云云，其实二者是等价的，不存在谁可以解决谁的问题。这是后话了）。此时的芝诺阿克琉斯追龟悖论，几乎就是极限的ε、δ定义的翻版，后者不过是分别用符号ε、δ代替了阿克琉斯和乌龟罢了），而运动速度，当然是阿克琉斯快。但乌龟虽慢，离二者会合的“终点”的距离却更近，对接近终点这个议题而言，谁更快地接近终点？其实二者是同时抵达终点的，换言之，二者是最终要会合的，而会合就有会合地点。这不是明摆着的吗？阿克琉斯的奔跑速度，就是申老师提出的导数。而乌龟具终点或会合点的距离，更近。而教科书的意思（并没有明说），就是乌龟离会合点更近（在二者会合前）且其与阿克琉斯之间的相对速度不是匀速，而是变速，这才会有什么“高阶无穷小”，所以它的接近会合点的所谓“速度”更快。而全然不顾阿克琉斯向着终点跑的更快也就是速度更快这一点。申老师提出这个问题，结果薛老师认为不是问题，薛老师一味地向着那个乌龟，只要阿克琉斯与乌龟间的相对运动速度是非匀速（非线性）的，比如呈现二次函数关系的。而只要二者之间的相对运动速度是匀速的（线性的），则就是趋于0的“同阶无穷小”，按教科书或薛先生的意思，就没有阿克琉斯比乌龟跑的快这一说了，因为二者之间的相对速度是匀速的，趋0速度是趋于“同阶无穷小”的，于是就不存在阿克琉斯比乌龟跑的快这一说了（按前面引用的教科书的“解释”和薛先生的观点），而只有在二者间的相对速度呈现变速运动时才有阿克琉斯比乌龟跑的快这一说，大家评评，能这么说吗？因此，按薛先生无限认可的教科书的意思，只有在阿克琉斯与乌龟之间的相对速度是非匀速的非线性的变速情况下，才可以说谁更快，仅仅因为这符合教科书的说法，而全然不顾此种说法究竟会不会产生问题，这就是薛问天解决问题的“传统套路”。当然，也是根本无效的。这就好比大夫说体温37度没病，而某个病人体温37度，但肚子疼的不得了。结果按薛问天的逻辑，37度就是没病，大夫说的，医书说的，因此再疼也不是病，是装病。有这么当大夫的吗？薛先生其实干的就是这等好事儿。

     关于芝诺悖论中的阿克琉斯追乌龟悖论与极限法的关系，不妨再多说几句。我认为，前者当然是形象化的表述，而后者涉及的导数、极限定义等，不过是等价事物的抽象化而已。其实二者没有本质区别。根本就谈不上谁把谁的问题解决了等等。

     薛先生又说什么“也就是解释必须服从于定义，【α比β趋于 0 的速度快】只能解释为【当x→x0时，α(x)/β(x)→0。】不能作其它的错误理解。”

       但薛先生竟然忘了他自己在前面引用的教材的说法“设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小”。解释为“α比β趋于 0 的速度快”（引号部分摘之教材）”

        问题来了，薛先生既然说什么“解释必须服从定义”，那么，究竟哪个是“解释”，哪个是“定义”？薛先生前面还认可的教材中的“解释”，居然变成了薛先生笔下的“定义”，而教材中的“定义”，却成了薛先生自己的“解释”，究竟谁服从谁？请问薛先生，您这里是不是“循环定义”或“循环解释”？（就算把教材中的说法与薛先生的说法中的“解释”二字换成“定义”二字，也是循环了这个“定义”）。既然是循环，还有意义吗？您这不是白说了吗？薛先生对我此文不回则罢，要回必须回答这个问题，你不回答就是等于承认回答不了。

     我的文章的起因，是申老师在其文章中实际是质疑教科书的高阶无穷小就是趋0速度快的无穷小这一点的。其立论就是我前面说的既然提到了速度，导数也是速度，二者怎么不一致的问题。而申老师是认可趋0速度快就是位置离0更近这一点的（薛问天居然把这个观点算到我的头上！）。因此，她认为教科书对趋0速度的说法没有说清问题，也就是没有具体指出趋0速度究竟指的是什么。教科书中没有澄清此点（本来当然应该澄清），因此教科书有瑕疵，这是完全有依据的，也是合理的，指出来，是教师乃至于任何人的权利甚至义务。薛问天以及其他任何人按自己的理解解释这个趋0速度，是你们自己的权利或自由，但代替不了教科书。不能说“按这个解释，教科书就无错”就算完了。因为就算是这么回事，但谁让教科书自己没有明说呢？没有明说，就是没有讲清。而没有讲清，就是教科书的问题，就是它的缺失。有缺失，就是有瑕疵。而有瑕疵，任何人（特别是教师）就有权利指出来，也完全应该指出来。任何人也不能说按你的解释，教科书可以解释的通，于是教科书就无错、无问题，问题反而是提出、指出这个问题的那个人的。这叫什么？这叫不讲理。因为显然，教科书并没有解释甚至提出这个问题。这就是它的问题。只有像薛问天这种离开教科书寸步难行的人，才会这么干。

     我前面已经说了，不妨再强调一次。事情的经过是这样的：申老师首先提出教科书趋0速度这个概念不妥。她认为趋0快的，实际是相对于0点，位置靠前的那个无穷小量。于是又有老师指出来（见我前文参考文献），位置离0点靠前的，完全可以不是所谓非线性导致的“高阶”无穷小，而可能是线性的同阶无穷小。因此两种说法都不行，都解释不了何为趋0速度大。于是我说，这个问题无解，只能说明所谓高阶无穷小、趋0速度什么的，有问题。结果薛问天居然把前面其他老师的观点，我并不同意的、认为无解的观点算到我的头上而大批特批，岂不是笑话？薛问天下结论说，用离0点更近来解释高阶无穷小，只是一个必要条件，而不是充分条件。这里，薛先生就把自己给“绕”进去了：无论导数（瞬时速度）数值大，还是离0点更近，客观上在某种意义上都是“趋近0点的速度更快”，但它们都可以不是高阶无穷小，那么好，用“趋近0点速度快”来解释高阶无穷小当然就不完备。对高阶无穷小而言，它既不必要，也不充分，根本就是两码事。如此，教科书的说法还有道理吗？是不是画蛇添足、狗尾续貂？尽管你可以说高阶无穷小的解释或定义就是趋0速度快，但这没有用，因为前面说了，同阶无穷小趋0速度也可以快（总在另一个无穷小的前面）。你硬说这个不是趋0速度快，只有高阶无穷小才可以趋0速度快，这就是个定义。既然如此，就请不要说什么它是个“解释”，因为定义就是没有道理可讲，不需要什么解释。而教材说的正是解释（也只有薛先生这种自以为忠于、其实是歪曲否定教材的人才非说是定义），反正还是教材有问题。打个比方：薛问天的这种不讲理的所谓定义，等于说（定义）只有吃肉才叫吃饭，于是吃素的人的吃饭就不叫吃饭，于是吃素的人就不吃饭。薛问天在这里，实际又陷入了逻辑循环（他自己认识不到，他没有这个逻辑水平）：离0点更近只是趋0速度快也就是高阶无穷小的必要条件而不是充分条件，而这个充分条件究竟是什么，薛先生说的出来吗？当然说不出，于是只能是高阶无穷小才是趋0速度快。于是论证高阶无穷小就是趋0速度快的理由，就是高阶无穷小就是趋0速度快。于是高阶无穷小就是趋0速度快的充分必要条件，就是高阶无穷小就是趋0速度快。几下子，我就彻底揭示了薛先生逻辑水准，请问，薛先生您是不是应该向我好好学习下？呵呵。

     总之，那几个教师对质疑教科书的讨论，就是把所谓高阶无穷小“解释”成趋0速度快。因为速度快的，趋0不一定快。而趋0快的，可能还是同阶无穷小（不是高阶无穷小）。而薛先生非说只有高阶无穷小才叫趋0速度快，其它的都不是。那么，导数（瞬时速度）大，也就是瞬时速度快，还不是速度快？总之趋0之路的前面，还不叫趋0速度快？不快怎么在前面的？难道您薛先生定义一个”坐汽车才叫快”，于是骑自行车就不比步行的快了，是同阶的了，行吗？薛问天的这种解决问题的方式，简直就是其惯用手法，其它问题，他也一样。有什么解决不了的问题，一定义了之，不再讨论，就算解决了。我们简直可以给此种解决问题的方式起个名字了，就叫“薛氏问题解决法”。

总之，再重复一遍。按教材（可能是复旦的）的说法，就是“设 α，β均为无穷小量，若lim α /β ＝0，则称 α较β高阶无穷小”。解释为“α比β趋于 0 的速度快”（引号部分摘之教材）”。此段前面的“则称”后面的内容，当然是可以的。这就是一个对“高阶无穷小”的定义。有什么不可以。但后面的“解释为”的说法就起码是不妥。为什么？因为“速度快”以至于“趋0速度快”早就有定义、说法了（见前面的讨论），无非是趋0的瞬时速度快或者离0更近两种，但这两种对解释高阶无穷小都不行，都有反例。这时候应该怎么办？显然就是放弃这种说法，以避免几种趋0速度的说法互相混淆，哪怕是教材说的（还是大名鼎鼎的复旦教材）。这个是一个老实的、实事求是的应该有的学术态度。偏说只有你这个趋0速度快才叫趋0速度快，完全无视其它的更直观的趋0速度快就不是趋0速度快，不妥。可薛问天这样的人怎么处理这个问题的？他居然反过来定义，明明是教材的所谓“解释为”不合适、不妥当，他却说没有什么不妥当，这里这个“速度快”就是个定义，完全不顾及“速度快”早就有相应的定义和说法了。薛先生的做派，好有一比：这就像某人偷了东西，明明犯罪了，但按您的所谓“定义”：偷东西不算犯罪。而且据此还说按您这个偷东西不算犯罪的所谓“定义”，别人指出该人偷了东西犯了罪倒是错的了？真有您的，薛先生。

  更何况“速度”、“趋0速度”本质上就是一个物理概念，它当然要有直观的运动学图像，谁叫它叫速度呢？按教材的说法，“解释为”是对的，人家没有说什么定义，虽然具体的解释内容不妥。而薛先生直接把物理概念“趋0速度”定义成数学概念“高阶无穷小”，等于反过来用一个纯数学的概念来定义实实在在的物理概念，您这叫什么定义？有您这么定义法的吗？

事实上，我们可以看出，这个所谓的“高阶无穷小”问题，涉及非线性函数关系（线性关系不会出现这种“高阶无穷小”），但线性关系的两个趋0变量，同样有趋0的前后问题，也就是离0的距离哪一个更近的问题，而且也同样有相对速度问题。因此，这个问题不限于非线性的两个变量之间的问题，不是非线性变量才特有的问题。于是仅仅由此得就出结论，把一个可以涵盖线性关系（没有所谓“高阶无穷小”）的趋0速度问题，仅仅用具有“高阶无穷小”的非线性关系来定义，当然不妥，当然会造成混淆、混乱。定义当然需要统一，无论线性时还是非线性时。同一个名词所表达的概念，不能线性时一个说法，非线性时另一说法。因此，定义也不是可以乱定义的，要顾及前后已有的定义。

仔细分析可以得出结论（这里不具体分析了，画张关于x、y变量的直角坐标图想想就可以明白），实际上涉及所谓“高阶无穷小”的非线性变量关系，表面上看（正如那些教师讨论分析的）与两个变量间的导数定义的瞬时速度与离0点更近的两个说法都无关，但实际上不是无关，恰恰相反，而是都有关，只不过前段是与导数对应的瞬时速度在起作用，当一个变量快速趋前到达某一位置后（此时刻前瞬时速度快于另一个变量），瞬时速度变慢了，但位置已经靠前很多了。我们可以想象，芝诺的阿克琉斯追乌龟悖论，那里二者间的运动速度关系是匀速的。如果我们想象乌龟的运动速度是变速的（比如二次函数关系），但这个乌龟起码一开始也是“神龟”，瞬时速度还快过阿克琉斯，它超过阿克琉斯后到达某一位置后速度开始慢过阿克琉斯了，而且越来越慢（非线性之故），但其已然超过阿克琉斯很远了，其后，就与经典的芝诺表述的阿克琉斯追乌龟悖论区别不大了，只不过比起匀速的乌龟，此时的变速乌龟瞬时速度变慢的更快，但其却离“0点”也即是二者的会合点更近（对比匀速时）。因此，实际上与匀速时的情况并没有本质区别。没有理由说只有这种非匀速的也就是非线性的情况才是趋0速度快，其它都不是。这个问题坦率而言大概超过薛先生的理解能力的范围，会很费薛先生的脑子，估计他弄不清楚也未必想弄清楚。

      薛先生在其文章的第三段中，说无穷小概念与第二代极限法微积分无冲突。我只能无语。老实说，我不知道薛先生究竟是干什么的。如果就是一个假冒内行，我也不说什么了。如果是个专业教师，甚至教授（看其说话派头倒很像），真得好好学学微积分的历史沿革。第二代极限法微积分产生的目的，就是为了消除会产生贝克莱悖论的第一代的无穷小微积分的。否则要第二代干什么？第一代足可以解决问题了：如果舍弃的是高阶无穷小，这不就是第一代微积分干的事儿？如果它行，还要极限法干什么？第一代足够了。连这个也搞不清楚，真真有辱数学教师身份！请快去本文前面看下大数学家柯朗的有关“无穷小不光彩地被抛弃”的论述，再好好恶补下极限法再来教训别人吧。薛问天还说什么废除的是定义为常数的无穷小。请问，无穷小什么时候可以定义成常数了？这反映了薛先生的无知。无穷小就是无穷小，什么时候它也不是常数，也没有什么人认为它会是常数（除了薛某人自己）。薛先生既然这么说，就请给个出处。别什么事儿大嘴一张就算完事儿。是牛顿把无穷小当成常数了，还是莱布尼兹？他们是如何说的。请薛先生给个说法。无穷小居然曾经被当做常数，亏你说的出口。除了您薛先生，恐怕再没有什么人会这么认为的吧？我与这种人论辩，我都自觉跌份！真是大言不惭惯了。而且我上文已经说了，美国普林斯顿、托马斯教材、王元教材中，根本连无穷小三个字都没有！薛问天居然完全无视。如果真的那么重要，他们会一句不提？连一些应该是最最最基础的东西，薛先生也不懂。您先生当年是怎么教您的？

     退一步说，就算曾经有人把无穷小真的当成一个常数了，那么，无穷小作为一个常数不该舍弃，无穷小只要不是0，作为一个趋0变量（不等于0。这个就是薛先生自己也一再强调的），就可以舍弃吗？而牛顿、莱布尼兹时代的第一代微积分的问题（贝克莱悖论），不就是舍弃了不该舍弃的所谓“高阶无穷小”（仍不等于0）吗？因此，第一代微积分与第二代微积分的区别，根本就不可能是无穷小是常数与非常数的区别。如果是，则所谓的第二代微积分也不第二代了，它就是第一代。薛问天先生如果仍旧著文回复此文，必须就此问题作出回答。也就是，不是常数的无穷小，该不该舍弃？薛先生竟然不知道，极限法的第二代微积分中，是没有什么“舍弃高阶无穷小”这么一说的。因为很简单，就以二次函数为例，最后令约分消去分母后剩下的那个2x + △x中的△x→ 0时，作为函数值△x是不能等于0的（这个薛先生自己也在不同场合一再强调），而只有作为极限值，它才可以等于极限值0，0当然可以不写，最后剩下导数2x。请问，如果第二代微积分中仍旧有无穷小概念，哪怕是非常数的，哪怕是“高阶的”，只要还不是0，就可以无端地被舍弃吗？如果可以舍弃，这不就是贝克莱大主教所质疑于第一代微积分的吗？薛问天先生只要还想回复于我（我并不要求），就必须老老实实地回答此问题，勿像其以往常做的那样，不好回答的东西就故意不回答。薛先生究竟是不是个老实人，仅此就足以看出。

        此外，按当过武汉大学校长的数学大家齐民友先生在其«重温微积分»一书中的说法，与所谓“高阶无穷小”密切相关的“线性主部”这个概念，根本就不对。仍以二次函数为例。当得到2x + △x这一步时，一般认为其中的“△x”对比前面的“2x”，就是高阶无穷小，由此它才不是整个增量中的“主部（主要部分）”。但如果此时x = 0呢（几何意义，此点的切线，是一条水平线）？难道 △x再小，还能小过0？也就是此点（x = 0点）的任何曲线，只要不在0点，其与水平线的差值，居然可以小过水平线自身？显然，这里△x根本就不是什么高阶无穷小。它比起0来，一点也不高阶（即“更小”）！主部现在是0，线性项就是一条水平线。此时非线性项也就是所谓的“高阶项”反而比所谓的“线性主部”大了。主部不主，还主什么？因此齐民友的意思，实际根本就不应该说什么非主部的高阶无穷小就可以舍弃之类的话，其实微分式只分线性项和非线性项，而不是什么线性的一般无穷小项（不能舍弃）和非线性的高阶无穷小项（一般认为可以舍弃。但更不用说其实就算“高阶”，也不能舍。这里可以说是个“双料错误”：它还根本就可以不是“高阶”的）。

     薛先生又说：“另外沈先生所说的【无穷小可以舍弃的理由完全不成立】，也是不符合实际的。在极限理论中根本不存在【舍弃】的问题。极限为0就是极限为0，并不是【舍弃】。”

     看来薛先生其实是很清楚的。只是他居然把两件事情混起来说。上面他的这段话的后半部分完全对，在极限法（第二代微积分中），根本就没有什么“舍弃高阶无穷小”这回事，因为这可以导致贝克莱悖论，而极限法创建的初衷，就是为了解决贝克莱悖论的。它当然不会有什么高阶无穷小。但薛先生居然拿这个来指责我说的“无穷小可以舍弃的理由完全不成立”，您薛先生怎么了，脑子不够使了？极限法不需要舍弃无穷小，和我说的“无穷小可以舍弃的理由不成立”，有矛盾？第一代的微积分（主要是莱布尼兹。牛顿后期实际转向极限说法（最终比）了）的无穷小概念，不就是为了把那个看似“多余”的所谓“高阶无穷小”产生后再舍弃吗？不舍能得到导数？薛先生一方面极力维护无穷小以至高阶无穷小概念，另一方面又说不能舍弃，说舍弃“不符合实际”，但紧接着就说“极限法中根本就不存在舍弃问题”，您薛先生玩儿了这么多年微积分，自以为也是个行家了，居然把无穷小的第一代微积分与极限法的第二代微积分中的不同东西混为一谈，分不清楚。

      薛先生在其文章的第五部分，基本上是重复前面的。估计文章不是一次写成，写了后面的，把前面的又忘了。但此段反映了薛先生甚至连反对我的是什么都搞不清。这是这种看人下菜的人的通病。因为他是看人来反的，不是根据观点来评论的。比如，我叫其去评论张景中、林群先生的观点，他可聪明着呢，从来不提他们二位。他们的观点，您薛先生究竟同不同意？您为什么不敢评论？我这里再一次提请薛先生就他们二位的观点进行评论，勿再回避。言归正传，薛先生的做派是：薛问天认为我提（实际是那些教师，我并不同意）高阶无穷小不对，他就说对，我说把高阶无情小舍弃无道理，他又说极限法没有什么舍弃。这哪儿是哪儿啊？谁说极限法第二代微积分舍弃高阶无穷小了？不是说的无穷小法的第一代吗？这就像我批评张三有像薛先生这样的胡说的毛病，可薛先生却说李四没有胡说的毛病啊，因此张三没有问题啊。微积分基本理论，第一、第二代微积分，在薛先生颅腔内被搅成一锅粥了。然后他一这锅粥，扣到别人脑袋上。

      薛问天先生最为津津乐道的，大概就是说我不懂什么“增量的极限比”（写为比如（lim△y）/（lim△x））与“增量比的极限”(写为lim（△y/△x））的区别。这其实根本就是个伪命题。一如“家庭里有夫妻”与“夫妻组成家庭”的区别一样。一个更贴切的比喻，是“张三与李四结婚组成家庭”与“张三结婚（对象当然是李四）与李四结婚（对象当然是张三）组成家庭”不是一回事？哪个书呆子非说不是一回事？无论增量比的极限还是增量的极限比，增量不都得趋于0？因为增量之比是贯彻整个过程始终的，最终都还是要增量比，极限的比与比的极限，要素“极限”、“比”二者都有，只是先后次序不同，这根本不影响二者是一回事的本质。如果非说不是一回事，我们请薛先生给一个证明出来。这个证明，我看薛先生不去先对增量比式进行约分消去分母这一步，是根本就给不出来的。而我在其它文章中早就指出了，第一，任何一个比式，只要还是比式，本质就是有分子、分母的。否则就不是一个“比”，哪怕分母为“1”，也是比式。没有任何一条数学公理或规则说凡是比式（有分子分母的），必须通过约分消去分母（但实际还是分母为1）的。因此，既然求的是增量比△y/△x的趋0极限，不消分母△x直接求趋0极限在逻辑上、数学规则上当然无问题。不但无问题，而且是第一位的。约分消去分母再求，是必须满足某些条件的，因此才只能是第二位的。第二，现在现实中消不消分母求出的增量比△y/△x的极限是不一样的，以二次函数为例，一个求出是0/0，无意义；一个求出是2x，有意义。本应该一致的不一致了，因此肯定有问题。第三，问题何在？对一个比式约分消去分母后，得到的那个已经没有了分母的式子本身实际可以有三种情况。1、仍旧是一个分母为“1”的比式；2、仍旧理解成比式，但分母上的“1”被省略，也就是所谓的“消去”了；3、原先就不是比式，它本就是一个没有分母的式子。这三种情况特别是后两种情况就式子的表达形式而言是不可区分的，除非特别说明。于是，既然对比式约分消去分母后比式与非比式不可区分，用这个式子求出的趋0极限，究竟是比式的趋0极限，还是非比式的趋0极限，还是二者共有的趋0极限，不得给出一个额外的证明才能下结论？怎么能一口咬定求出的就是那个原先的、消分母之前的也就是有分母的比式的趋0极限？数学的严谨性何在？而这个证明，谁给的出？4、那个比式可以被约分消去分母的前提，是分母不为0，也就是不能等于0。也就是这个函数的定义域不包括那个0点。而求导或求比式的趋0极限恰恰就要涉及0点。也就是要涉及定义域外的点。函数的任何运算，都要在定义域内才有效。难道极限运算，就可以在定义域外还有效吗？如果是，要不要实现给出一个证明来？而这个证明不事先约分消去分母，能给出来吗？本来就是要证明约分消分母后再求趋0极限（且处于定义域外）合理否的，却用约分消分母来证明？行吗？不是循环论证？于是，极限法是要用定义域内的（即）分母上的△x的定义域△x ≠ 0内的点的函数值，来求或逼近已在定义域外的△x = 0的极限值，可行否？是不是事先应该要给出可以这么做的证明来？这个证明，除非是循环论证，同样是给不出的。我们说，用定义域内的函数值来求定义域内的极限值，是无问题的，当然是可以的。但涉及定义域外的极限值，却要用定义域内的函数值来得到，没有任何道理。除非就是那么给定的，也就是不讲道理地规定定义域外的极限就是如此。但这个还有意义吗？如果能规定出个数学结论，还要数学家干什么？5、退一步说，所谓“约分消去分母”实质上是分母为1，如果有人非说不必为1，直接消去不写。那我非写一个“1”在分母位置行不行？任何一个数或变量，无论乘以1还是除以1，数值是不是不变？更何况人家本来就是有分母的一个比式△y/△x。而一旦这个比式△y/△x的分母为“1”了，是不是应该由在分母上的△x → 1（当然此时分子上也必须有一个△x → 1）得到的而不是由分母上的△x → 0得到的？否则两个式子“△x → 1”和“△x → 0”居然会得到相同的结果“1”，是不是要一个解释？

      此外，同理我们不是也可以说，在x = 0点，y/x中的x与y的函数值之比（为0/0）与y/x的比之值究竟一样不一样（其实也都为0/0。说在x ≠ 0时约分消去分母再求出非0/0的函数值，那是x ≠ 0时的，而不是x = 0点的）？。如果非说不一样，岂不是笑话？极限问题下如果经过了约分消分母一步，再求极限，也只能求x ≠ 0的定义域内的极限，而一旦涉及定义域外的极限，其实一定还是0/0，这与上面函数值的情况其实是一致的。

      在薛先生的第七部分，他没有提出任何一点有价值的东西来。而且基本回避我文章中的观点、诠释。我没闲工夫再重复我的东西。只问薛先生一句：你说高阶无穷小很对，很有用。又说根本就没有什么舍弃它的问题。那么好，你的这个无穷小，是不是0？如是，自然没有什么可以舍弃的，它本身就是0。如果不是0，你说没有舍弃的问题，那么请问薛先生，这个高阶无穷小哪里去了？怎么样，您就顾着反我了，反了半天，把您自己绕进去了吧？这个问题，您不回复我则罢，您如果要回，非回答不可，我盯着呢。

      其它琐碎的细节，我就不一一回复了，跟薛先生这样的人，坦率地说，不值得太过浪费时间。这次本来是几个数学教师就高阶无穷小的所谓趋0速度快的问题展开讨论，什么离0点近的为快等等，都是人家的观点，有同意的也有不同意的，我是指出他们的讨论无解，因整个无穷小理论不对。薛问天不去针对这些老师的观点讨论，却反而把老师们（当然有些是我直接引用的，有些是复述的）的观点安到我的头上，大批而特批了一气，反映出此人为了反我，连事实也没有弄清就上手，真可谓急不可耐慌不择路。您倒是先把谁是什么观点搞搞清楚再批呀。老师们的观点也不一样，互相抵触，您倒好，全算的我头上了。我的是我的，不是我的还是我的？因此，我必须发此文，以正视听，不许薛先生瞎搅和，误导博友。

                       参考文献

沈卫国， 国内微积分教材中关于所谓无穷小比较大小问题引出的争论以及反映出的问题，知乎网何许博客、道客巴巴

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