Zmn-1160 薛问天： 直观说明和严格论证。评一阳生《1158》

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直观说明和严格论证

评一阳生《1158》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，关于直观说明和严格论证。

在数学的讨论中，要注意有些是严格的数学论证，包括公理，定义，定理及其证明等。但有些只是直观的说明，算不上证明。这些直观的说明可以做为理解的帮助，但不能作为论证的依据。例如集合这个概念本身是没有定义的原始概念，但什么是集合，有不少解释，这些解释只能算作是直观的说明，算不上严格的数学定义和论证。

关于无穷集合的【存在】，自然数集合的【存在】，这都是有严格的数学论证的命题。但无穷集合，自然数集合的【生成过程】及其及完成的情况，这只是直观的说明，谈不上严格的数学证明。当然直观说明有时也要作一些逻辑推理。

 1、一阳生问【在该命题成立的假设下，在一次演算中，后继运算为什么不能遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算为什么不能得到全部的自然数？请给出证明过程！】

这是由你的一次演算的定义决定的。你的定义【 ......得到新的一个或多个自然数的过程称为一次演算。】说的是【一个或多个】，说的不是【全部自然数】，如果你把演算就定义为【得到全部自然数】的生成过程，那当然不成问题。所以按照你这个定义得不出 【在一次演算中，后继运算可遍历全部的有穷次后继运算，和后继运算可得到全部的自然数】。问题是你的论证应要由你来提出证明的理由，不是要求我来【 给出详细的论证过程进行反驳，】

2、要看清我说的是：“只有在生成过程中使用无穷次一次演算，即无穷次后继演算，才能得全部自然数。”要注意这里的【 无穷次后继演算，才能得到全部自然数】，並不是【由0经无穷次后继演算】得到了什么数，这样的数是不存在的。要非常清楚，生成每个自然数都是由0经有穷次后继演算而得到的。由于生成的自然数有无穷多个，所以在生成过程中使用了无穷次后继演算。并没有由0经无穷次后继演算生成什么数！一阳生你搞清楚了吗？

3、【有穷次】(有穷步)是靠长期实践总结和认识到的，是没有定义也不用定义的原始概念，然后这个概念定义了自然数。

实际上我们应该承认人类是经过长期的实践经验总结出逻辑推理的规律的，人们认识到可以通过推理和证明来认识真理。如果承认公理是真的，那么就承认由公理经逻辑规律推论出来的命题即定理也是真的。这个【承认】是由人类长期的实践经验甚至教训中得来的。

在逻辑规律中有没有提到【有穷】这个要求。可以说一般的逻辑的书中没有明确提出这个要求，但是实际上是隐含了这个大家习以为常的【约定】，那就是推理次数必须是【有穷次】。因而在严格的数理逻辑的书中，就要提出这个要求，如对证明的定义，就是说证明必须是有有穷个命题的序列。序列的最后一项是要证明的命题，而且序列中每一项或者是公理，或者是可由前面某些项正式推出。就提出了有穷次的要求。

例如集合论中自然数是由下述三条定义的。

①空集是自然数，②若x是自然数，则x的后继x`=xU{x}是自然数，③所有自然数皆由①或②构成。在这个定义中并未明确提及有穷。但是由此定义来推论皮亚诺的第五公理【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】时，要隐含着用到逻辑的推理只能有穷次，所以在论证n是自然数时，要由定义进行有穷次推理。第一步由①论述空集0是自然数，第2步由②论述0的后继1是自然数，第3步再由②论述1的后继2是自然数，余此类推，在第n+1步由②推出n-1的后继n是自然数。于是推出【任一自然数都是由0经有穷次后继演算得到的】。明显看出这个【有穷】就是逻辑推理的【有穷次】。

另外一阳生先生说 【【有穷次】(和有穷步)必然是极其少的极其有限的次数。】这个认识是不对的。【有穷次】并不是【极其少】，也不是【有上限】的，而是可以【任意大】，要知道任何的自然数都是有穷数，但是【无上限】，可以任意大。这是一阳生先生对有穷的认识错误。另外请一阳生先不要胡编乱造地乱说别人【 胡编乱造】。

二、关于小球的运动。

1、要知道，小球可经开区间[0,1)之中的所有位置为ε的点，其中0 ≤ ε <1。那么小球在开区间经过的点就是所有[0, ε]的并集，你说它不是[0,1)是什么。这个并集就是[0,1)。也就是说 小球经过了所有的[0,ε]，其中ε<1，即小球经过了开区间[1,0)中所有的点。这是一个多么【简单且容易判断对错的问题】。

类似的，设n是任一自然数，尽菅每个[0,n]之内并未包括 (n,+∞)中全体自然数。但所有[0,n]的并集，就是[0,∞)，它包括了所有的自然数。

因而设ε是[0,1)中任一实数，尽菅每个[0,ε]之内并未包括 [0,1)中全部的数，在它后面还有(ε,1)中无穷个数未含在其中。但我们所说的是所有[0,ε]的并集，它就是[0,1)，它包括了开区间中所有的数。小球经过所有的[0,ε]，就是小球经过所有的[0,ε]的并，就是经过[0,1)。对此一定要想得清楚。

2、既然数学可以严格精确地讨论不包含端点的开区间，而且一阳生先生承认【区间[0,ε]为第一子过程，区间(ε,1)属于第二子过程。两个区间[0,ε]和(ε,1)的并集为半开区间[0,1)。】那就说明，当小球经过了半开区间[0,1)后，要求经过的序列的无穷个点己全部经过了，所说的【小球经过序列的无穷个点的无穷过程】己经整个完成。在这种情况下，你还要规定1点是【我所说的与无穷等价对应的位置】，以及规定该无穷过程的【第二子过程是一个包含(ε,1)的区间(ε,1]】。还要把1这个端点包含进去，这究竟有何意义？

三、关于潜无穷过程的定义问题。

1、问题不是我对你定义的【歪曲曲解】。而是你的定义的【当且仅当】的两端就是这么写的。你仔细看看你的定义。甲当且仅当乙就是用乙来定义甲。你说：“【x趋向于x0】为潜无穷过程，当且仅当，函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。”

甲说的就是你要定义的 【x趋向于x0】为潜无穷过程。乙说的就是你这次后面3中说的A∧B， 让A 指代【函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义】，B指代【对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε。】。

不是我的曲解，你就是用A∧B即极限的ε-δ定义来定义潜无穷过程和 【x趋向于x0】的。

我理解你的意思，你是想用极限所定义的【当x趋近于x0时，f(x)的极限是A，】中的前半句【x趋向于x0】来定义潜无穷过程。我可以如实地告诉你这是不可能的。因为极限所说的【当x趋近于x0时，f(x)的极限是A，】分成这样两句，只是对极限的一个形象的比喻和直观说明，不能把 【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】作为两个单独的命题分开来定义。你试试用ε-δ来描述，你是做不到的，因为极限是个统一的概念，你不能将其分开。也就是说你想用严格的数学语言来定义 其中的前半句【x趋近于x0】是不可能的。因而你想用 【x趋近于x0】来作为潜无穷过程的定义也是不可能的。

2、一阳生说【要知道极限定义中有0<|x-x0|，也就是说无论x如何的无限趋近x0，都是达不到x0。所以总是有区间(x,x0)中的值是x永远遍历不到的。所以把x趋向于x0 ，看成是x能遍历x0的邻域内所有值的实无穷过程，是完全错误的！】

说明一阳生先生逻辑不严密， 0<|x-x0|<δ，只是说x不等于x0，它指所有除x0以外在区间(x0-δ,x0+δ)中所有的值。也就是x必须遍历x0的邻域内除x0以外的所有值。实无穷观在这里起到重要作用。不允许潜无穷观所说的还有除x0以外未达到的值。0<|x-x0|<δ表示x可以取邻域内除x0以外的所有值。

当然在小球运动中同样，可以认为经过开区间[0,1)中不包括右端点的所有的点。在数学上可以讨论严格准确的不包括端点的开区间中所有点的集合。

3、定义的标准形式是一阳生上次所说的当且仅当，即甲当且仅当乙，表示由乙来定义甲。即甲←→乙。而不能用这次一阳生讲的用 （A ∧ B）→（C → D）来进行定义，

定义的标准形式是 甲←→乙。 因而要定义【x趋向于x0】，必须写出X，使【x趋向于x0】←→X。问题是你写不出Ⅹ。你定义不出 【x趋向于x0】，当然也就定义不出【潜无穷过程】.

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