Zmn-1159 薛问天： 结论太明显，没有必要再为这三点简单错误辩解了，评师教民《1157》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1157》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

结论太明显，没有必要再为这三点

简单错误辩解了，评师教民《1157》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，师教民先生还在坚持他对函数概念认识的错误。

他是早在《1038》中就说了这样的简单错话。师教民当时公开说【据极限理论或第二代微积分的函数的定义：变量 x，y 的取值在一定的范围内变化时，按照一定的法则一一对应，则称变量 x，y 的关系为一元单值函数关系，记做 y=f(x)，其中 f 表示变量 x，y 的一一对应的‘法则，叫做函数关系．本来，变量 x，y 地位相同，权力均等，谁也不比谁更突出、更优越、更特殊．所以它们的取值完全同时，根本不分先后，只是一一对应！】

我随及在《1041》就作了批评〖对函数概念的理解上有错误。要知道函数y=f(x)，变量y是随变量x的变化而变的。x称为自变量，y称为因变量。y同x的关系是【映射关系】不是【一一对应】。〗

也就是说，指出了他对函数y=f(x)概念理解的两点错误，一是函数的x和y分别为自变量和因变量，不是【地位相同】，二是函数关系f是【映射】，不是【一一对应】。

现在看来，他对这两个错误都没有承认。

1)，关于函数的两个变量分为自变量和因变量不是地位相同的错误。

师教民先生这次在《1157》中仍坚持他的这个错误，坚持认为函数中的【 所谓自变量和因变量都是为了方便而人为的假设，且既可假设 x 为自变量或因变量，又可假设 y 为自变量或因变量．这就证明了变量 x 和变量 y 地位相同、权利均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越。】

而且说【 我说的“这种【如果…】”和“另个【如果…】”是两个【如果…】，我认为：它们可以同时存在，更可以都正确，它们的地位相同、权利均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越．】

还说【 你薛问天先生应该明白，人家中名著是先【如果…】即先【假设…】后才【则称…】的，并不是“【则称…】确定后”再去“【如果…】”的．你薛问天先生把你编造的观点强加给中名著后再回应我，这就是说瞎话了！】

显然这些论断都错误的。用【 查现代汉语字典，看看“如果”是否就是“假设”．】辩解不了你的错误。说什么【你根本就没有说理由】，我对你错误的理由说得清清楚楚。那就是我说的〖 要知道【如果】后面说的条件就是【则称】后面所定义的函数必须满足的必要充分条件。〗〖 条件不同所定义的函数y=f(x)和x=g(y)当然是不同的函数。〗〖 定义中的【则称...】确定后，前面的【如果...】就不能随意假设了〗。意思是说 尽管【如果】可以作为假设的用语。但是在【如果...则称...】的定义用语中，只在定义中有假设的含义，当定义确定后，就不能随意假定了。

当函数确定后，己经确定【 称y是x的函数，记作y=f (x)．x叫做自变量，y叫做因变量．】或者 【 称x是y的函数，记作x=g(y)．y叫做自变量，x叫做因变量．】就不能【 为了方便】再去进行【人为的假设】，就不能【既可假设 x 为自变量或因变量，又可假设 y 为自变量或因变量．】就不能【 它们可以同时存在，更可以都正确，】因而这就证明不了当函数确定后，【变量 x 和变量 y 地位相同、权利均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越。】

真没想到师先生在《1157》的4中还在拿函数的定义为他的错误在作辩解。要知道对于确定的【y是x的函数】或【x是y的函数】，就不能用【如果】再来任意改变x和y的地位了，

这么浅显的道理，还说什么【 先【如果…】即先【假设…】后才【则称…】的，并不是“【则称…】确定后”再去“【如果…】”的。】作这种毫无逻辑的辩解，有何意义？

2)，关于师先生认为函数关系f是【一一对应】的错误。

师教民先生这次在《1157》中仍坚持他的这个错误，甚至为他所说的【我从来都未说过“函数关系 f 不是【映射】”】作辩解。关于这点我上次己说得一清二楚， 因为【一一对应】不是【映射】。你说函数关系f是【一一对应】就是在说函数关系f【不是映射】！还在抵赖什么。

要知道我根本不相信师教民这样的大学数学老师，他怎么可能不知道【一一对应】不同于【映射】， 怎么能不知道【一一对应】要求双射，不知道双射要求满足单射和满射两个条件呢？他知道得一清二楚，是故意在这里装糊塗，故意装作不知道数学上对【一一对应】有严格定义。错了就是错了。不要在这里作这些毫无意义的狡辩。

师教民先生说【我说的“函数关系 f 是【一一对应】”中的【一一对应】，是中名著第 4 版里的【对应】内的【一一对应】】。然后狡辩说【所以我说的“【一一对应】”就是映射，】

还说什么【其中的【对应】包括两种情况：】【两个或两个以上的 y 值对应于一个 x 值时的对应叫做【多一对应】，一个 y 值对应于一个 x 值时的对应叫做【一一对应】。】

这一切都是在故装糊塗的一派胡言乱语。 在中名著第 4 版的函数定义中哪有【一一对应】这个词，数学中哪有这样的【一一对应的定义】？装作不知道数学中对【一一对应】有严格的定义，哪能容忍你这样随意乱讲！

其实你装作不知道是一点用处都没有。就是过去你真的不知道，通过讨论，现在知道了，就应该老老实实地道歉並承认错误。应该这么说，非常抱歉，我过去不知道【一一对应】有严格的数学定义，把允许有多个x对应一个y的【映射】错当成只允许一个x对应于一个y的【一一对应】了。不知道 【一一对应】是【双射】，是满足【单射】和【满射】条件的【映射】，现在知道了。函数关系要求的是【映射】，不是【一一对应】。特在此纠正。

二， 师先生仍在坚持y=f (x)是显函数的错误。

师先生仍在顽固地坚持【x=g (y)或y=f (x)是显函数】的这个错误。

对于我说的这句话〖单说函数x=g (y)或y=f (x)是显函数是错误的，只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y)或y=f (x)才说它是显函数．〗师先生说他已经认可了后半句。这句话的前半句和后半句是一个意思，认可了后半句就必须认可前半句。因为单说函数x=g (y)或y=f (x)，这个x=g (y)或y=f (x)，我们知道它只是函数的记号，并不是【明显的解析表达式】，而且并不是所有的函数都能表示为【明显的解析表达式】，因而说与不说能表示为【明显的解析表达式】，不是一回事。不说就是错的，说了才正确。

其实，师教民先生並没有真正认可后半句。并没有认清 【明显的解析表达式】对于显函数的重要作用。

他在《1157》中竟然反对 “x=g(y)或 y=f(x)”是“函数的记号”的说法。他说【如果你薛问天先生承认“x=g(y)或 y=f(x)”既是“函数的记号”，又是“函数的本身”正确，那么你薛问天先生说的“只是函数的记号”就错了．】

当然函数的记号是代表函数本身的。我们说【单说函数x=g (y)或y=f (x)是显函数】是错误的，就是因为这个记号代表的是所有的函数本身。而并不是所有的函数都能表示为【明显的解析表达式】，都是显函数。

教科书上明明白白清清楚楚讲对于【解析表达式】，必须是【当自变量取定义域内任一值时，由这个式子能确定对应的函数值．】请问师先生你能从x=g (y)或y=f (x)这个式子中的f和g，求出对应的函数值来吗？f和g，它只是个函数记号，你求不出来，它不是解析表达式。必须表示为明显的解析表达式才能求出【 由这个式子能确定对应的函数值】。所以当函数 y=f(x) 的自变量 x 在其定义域内取定一个 数 a 或 6 时，则对应的函数值为 y=f(a)或 y=f(6)，按照定义肯定是存在的，但是如果不是表示为【明显的解析表达式】时，【 由这式子】是不能【确定对应的函数值】的。所以 【单说函数x=g (y)或y=f (x)是显函数是错误的】，只有当 函数x=g (y)或y=f (x)【表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y)或y=f (x)才说它是显函数．】

师先生问【 请你好好想想：难道 f 不是你上述的那几种函数中的任何一种的函数关系吗？】【 难道字母f 不是你薛问天先生上述的代数函数，三角函数，初等函数或其它能求出 具体函数值的函数中的任何一种的函数关系吗？】

当然不是，f代表的任何函数，并不是任何函数都可表示为解析表达式。存在着非显函数的函数f。这么浅显的道理还要争论吗？

至于师先生问的几个问题，我们早已回答清楚。

① 什么是一般的显函数表示式？

早已说清了。当函数x=g (y)或y=f (x)【表示为明显的解析表达式】时，这时的函数x=g (y)或y=f (x)就是显函数。当然显函数表示式就是解析表达式。解析表达式可以解释为【当自变量取定义域内任一值时，由这个式子能确定对应的函数值．】

②方程 x+y^3-1=0和 y=³√(1-x)里，谁是显函数、谁是隐函数？

这也相当清楚，函数 y=³√(1-x)既是方程 x+y^3-1=0给出的隐函数，它本身又是显函数，因为 y=³√(1-x)是解析表达式。另外，函数 x=1-y^3也是方程 x+y^3-1=0给出的隐函数，它本身也是显函数。

关于可以化为显函数的隐函数，师先生也是认可的，他承认【 凡是真正懂得函数的人，都不会把隐函数和显函数看作是绝对矛盾互斥的概念，都一定会认为“它们既是由未解的方程给出的隐函数，又是由解析表达式表达的显函数．它们可以是同一个函数．”】

但方程 x+y^3-1=0不是函数。把方程本身认为是函数是师先生错误的认识。

③世名著说的“直接关系”是什么？

很清楚，在显函数定义中说的“直接关系”，就是能 【表示为明显的解析表达式】的函数关系。中外名著的说明是统一的，和谐一致的。

④方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0和y=±(b/a)√(a^2-x^2)，谁是显函数、谁是隐函数？

前面已说清，函数 y=±(b/a)√(a^2-x^2)，既是方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0给定的隱函数，又是显函数。因为 y=±(b/a)√(a^2-x^2)是解析表达式。但方程本身不是函数。

⑤问题本身有错，既使有些隐函数不能化为显函数，但仍然是可用 y=f(x)表示的。因为任何函数都可用 y=f(x)标记。因此不存在形式上无法满足恒等式 F(x，f (x))=0的问题。

⑥世名著的“直接关系”是什么样？显函数记做什么样才合适？一般的显函数表示式是什么？隐函数记做什么样才合适？一般的隐函数表示式是什么？

关于“直接关系”和显函数，前面己说过了。隐函数也由定义讲清楚了，如果函数 y=f(x)代入方程 F(x,y)=0后，使 F(x，f (x))=0成为恒等式，则称函数 y=f(x)是由方程 F(x,y)=0所给定的隐函数。如果函数x=g(y)代入方程 F(x,y)=0后，使 F(g(y)，y)=0成为恒等式，则称函数 x=g(y)是由方程 F(x,y)=0所给定的隐函数。当然也说隐函数可由方程 F(x,y)=0  表示。由于方程给出的隐函数可能有多个。所以具体说，每个隐函数都是由方程 F(x,y)=0的解，即代入方程使方程恒等的函数 y=f(x)和x=g(y)来表示。

师先生问什么隐函数的【 隐函数表示式】，这也是一种莫须有的无理要求，事实上没有，也没有这种需要去写什么隐函数表示式，

另外，师先生认为y=f(x)和x=g(y)是显函数，不能用来表示隱函数，说名著用它来表示隐函数是【毛病】。这是师先生认识的错误。 y=f(x)和x=g(y)是函数的记号，可以表示任何函数，当然可以用来表示方程给出的隐函数。

师文认为世名著中有关显函数的说明存在毛病。那根本不是什么毛病，而是在数学分析中，只需要对显函数这个概念作直观说明，没有必要给出严格的数学定义。

其实我早在《1068》就己指出〖 我要请师先生关注的是隐函数只是说的函数的一种给定方式，它仍然是函数，並没有也不是定义了一个新的数学对象。而且对显示式也只是概括地说是【显的解析表示式】并未给出严格的数学定义。请仔细读读书中的这段话【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】而且后面又明确地说【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】

要知道这里所说的【显的解析表达式】，【直接关系】，以及师先生所引用的解释【当自变量取定义域内任一值时，由这个式子能确定对应的函数值．】所有的这些都是直观地概括说明，谈不上是严格的数学定义。我们学习和研究微积分的读者只需作直观的理解即可。因为这里只涉及表示方式，並不涉及数学概念的性质。并不用显函数这个概念来进行数学中的其它推理。所以在微积分中没有必要化费精力来严格追究和进行这些严格定义和证明推理。要知道构造性的算法理论，用图灵机来定义【可构造性函数】，那己是另一门数学学问。在微积分中对此只作直观说明並不深入讨论。

因此我认为不必在显函数和非显函数的区别上去严格讨论，它只是对函数的表示方式上的一种描述，不涉及函数的本质属性。

师先生说【 世名著的“直接关系”是××样！显函数记做××样才合适；一般的显函数表示式是××！隐函数记做××样才合适；一般的隐函数表示式是××！不要用书上的观点来搪塞！】

应该说教材名著的直观说明己相当清楚，对于学习和研究微积分的读者来说，正确地了解了这些直观的含义己经足够，不必再去追究了。

三，师先生还在坚持他认为方程是函数的错误。

师先生在《1059》中就曾明确说【 只要两个变量x和y由一个方程式彼此联系起来，那么这个方程式就是隐函数。】【按照上述世名著隐函数的定义，方程本身叫做隐函数。】【 方程本身就是隐函数】

在《1092》中师先生正式承认，他所说的【 F(x，y)=0既是隐函数，又是方程，】以及【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】的这些话，【世名著的原文中确实〖没有这样的语句〗】，这只是他的理解和推理。但是他要为他的这些错误理解来辩解。

实际上，关于方程和函数，在概念上这是很清楚的。在数学上方程和函数是两个不同的数学概念，笼统地说【方程就是函数，函数就是方程】完全是错误的。

当然还要认识到方程和函数有密切的关系，它们之间的有些情况也应考虑到。如教材中的y=f(x)，通常指的都是函数，不是方程。但由于y=f(x)是等式，所以有时也可以把它看作是方程。但把y=f(x)看作函数和看作方程时，含义不完全相同。如果把 y=f(x)看作函数，则x是自变量，y是因变量。如果把 y=f(x)看作方程，变量 x， y 的取值可以不分先后， 可以研究它给定的函数y=f(x)，x是自变量，y随x的变化而变化， y是因变量。也可以研究方程给定的函数x=g(y)，y是自变量，x是因变量。总之， 一定要明确，函数 y=f(x)和x=g(y)中的自变量和因变量是由函数的定义规定好的确定的，不可随意改变。

实际上师先生自已所举的例子，就说得清清楚。对于函数y=2x，当你把它看作是方程时，它等价于方程 y-2x=0。变量x和y可以不分先后，地位相同。但你把它作为方程给定的函数考虑时，x和y的地位就不相同了，对于方程给定的函数y=2x，x是自变量y是因变量。对于同一方程给定的函数x=y/2，y是自变量x是因变量。地位並不相同。

对这些观点，师先生都无法反驳，却在《1157》中拿《看作》来说事。说【 世名著说的 y=f(x)就是函数，就是方程，不是看作函数，看作方程．】

要知道你说【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】明显有错误，因为函数 y=f (x) 不一定是显函数，但因为〖 y=f(x)是等式，有时也可以把它看作是方程〗，所以对你认为【 y=f(x)......是方程】作了一定的认可。要知道【认为是】就是【看作是】，你把A 认为是B就是把A看作是B。怎么把认可的话也当作反对的话来反对。

不过要注意，我对你认为【 y=f(x)......是方程】作了一定的认可，是因为y=f(x)是等式。但我对你说方程F(x，y)=0本身是隐函数，是坚决反对的。 F(x，y)=0是方程，不是隐函数。

关于方程和隐函数的关系，书中也说得清清楚， 隐函数y=f (x)是由方程F(x，y)=0【给出】和【表示】的，它们的关系是【给出】和【表示】的关系，而师先生却认为它们是等同的【是】关系，还在坚持说方程F(x，y)=0【是】隐函数的错误。

师先生在《1157》中仍坚持这种错误。他明确说【 世名著在第 183 页说“x 的函数 y 用方程(1)[即 F(x，y)=0]的表出法也并不劣于任何别的表出法”．所以薛问天先生理解的隐函数 y=f(x)可用方程 F(x,y)=0 表出，于是就成了我说的【F(x，y)=0 既是隐函数，又是方程】．】明明白白【 隐函数 y=f(x)可用方程 F(x，y)=0 表出】，是【表示】关系，师先生却硬错误地说 方程F(x，y)=0【是】隐函数。

总结

师教民先生，你是否还要继续为你坚持的上述三点错误再作辩解？我认为没有必要了，结论太明显了还辩论什么。

第一，无论什么函数，要么是y是x的函数，要么是x是y函的函数，在函数中变量x和y一个是自变量一个因变量，怎么可能【地位相同】。另外，函数关系是【映射】，不是【一一对应】。还有什么可说。

第二，由于y=f(x)可以表示任何函数，并且不是所有的函数y=f(x)都可表示为显函数，当然说【y=f(x)是显函数】就不对，要说y=f(x)表示为解析表达式时才是显函数。

第三，方程和函数是两个不同的数学概念。说【方程F(x,y)=0本身就是隐函数】显然不对，由于函数y=f(x)的表达式是等式，所以y=f(x)可以看作是方程，但当你把它看作是函数和看作是方程时，含义不完全相同。这一切都非常清楚。 

对于以上三点，我认为没有必要再争论下去了。特别是为此写这种三十多页的长文，一点意义都没有。如果你不同意这个结论，可以保留你的意見，放在这里。以后有时间再说。

我还是再次重申在《1068》中说的那段话。〖关于我们讨论的问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。但师先生对此并未做出认真的回复。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。〗因为解决【问题(3)】就是要纠正dx1=dx2的错误。《1050》对此做了全面的分析。解决【问题(3)】就是必须要对这些问题，一个个做出正面的回答。

我的这个申明是为了集中精力尽快解决我们讨论的主要问题。不要被一些不相干的问题实际上起到了【转移視线或目标】的作用。当然，如果师先生实在对《1050》给不出回答，从而不愿回复，我也不能勉强，只是大家就心中明白，是怎么回事了。

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