《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0820 薛问天:要认清无穷序列概念的确切含义,评李鸿仪先生的《0816》

已有 255 次阅读 2022-1-15 08:51 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0820 薛问天:要认清无穷序列概念的确切含义,评李鸿仪先生的《0816》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对李鸿仪先生的《0816》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

要认清无穷序列概念的确切含义,

评李鸿仪先生的《0816》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg数学讨论,要对涉及的每个数学概念,都要要有严格的定义,明确它的确切含义。这对于数学专业的人员来说,那是习以为常的事。但是对于非数学专业的人员来说,就经常不注意这点,往往以自已主观的想像来替代有些概念严格的数学定义,从而在讨论中常常出错。我们来分析李鸿仪先生的文章。他的问题常出在这里,就是对讨论中的某些概念,不追究它的严格定义,不依照它的确切含义来作为依据,而是简单地凭他的主观想像来讨论。因而就常常出错。

我们来分析李鸿仪先生的《0816》,看问题出在哪里。

一,什么是式(1)?

李鸿仪先生提出如下定理。定理1(实数不完全定理) 式(1)不可能包含区间[0,1 )内的所有实数。

在这里【区间[0,1 )内的所有实数。】这个概念有严格的定义,大家都知道它的确切含义,但什么是式(1)呢?李先生却没有确切的说。哪怎么能形成数学定理呢?

李先生在文中是这么说的。【对区间[0,1)内的任意实数,只要其存在,都可以表示为无限小数的形式,例如0.1可以表示为0.1000……,而这些小数,只要不止一个,都可以表示成无限小数的形式:

0.1000…

0.2746..                                (1)

0.9736...

------

按照李先生这个说法,我完全可以把式(1)定义为一个无穷集合它是包括所有无穷小数表示的实数的集合。如果这样理解和定义式(1),定理1就是错的。因为式(1)这个无穷集合包含了区间[0,1 )内的所有无穷小数的表示的实数。

当然我也可以把式(1)理解和定义为,式(1)是人用手写在纸上的内容。如果这样定义,当然定理1是正确的。但是要注意这时不仅所有的实数不可能包含在(1)中。甚至在(1)中连一个实数的表示都没有。因为实数是无穷小数,有无穷个位,人用手写,一个实数都写不完。

那么式(1)到底是什么呢?李鸿仪先生,你能确切回答在你的定理1中,式(1)是什么吗?

二,式(1)是「无穷序列」

从李先生的定理1证明的简述中,他用到了关于康托定理证明中的结果,有实数b不在(1)式中。也就是说李先生用的(1)式是康托尔证明中的(1)式。那就清楚了,康托尔证明中的(1)式有严格的定义,(1)式是「无穷序列」。

在对角线证法中,实数b的构造b=0.b1b2b3...其中每位bi都同(1)式中的ai的第i位aii不相等。才使得b不等于(1)中的任何ai。可见(1)是由a1,a2,a3...构成的「无穷序列」。只有认为式(1)是无穷序列,才能证明不是有实数都在其中。

也就是说如果李先生的(1)式是 「无穷序列」。这样说则来李先生的定理1是正确的。因为康托尔的对角线法严格地证明了〖任何「无穷序列」式(1),不可能包含区间[0,1 )内的所有实数。〗

三,「无穷序列」有严格的数学定义。

什么是「无穷序列」,我们说a1,a2,a3,...,an,...。是无穷序列,那就是它必须同自然数能建立一一对应。无穷序列的每个项an,都有一个自然数n与其对应。反之,每个自然数n,都有无穷序列中的一个项an。

 

四,既然式(1)是「无穷序列」必须能同自然数一一对应,则集合可数,就等同于集合是可以构成「无穷序列」式 (1),集合的所有元素包含于式(1)之内。

也就是说,[0,1)内所有实数可数(假定1),就等同于存在无穷序列式(1),使[0,1)内所有实数包含于式(1)之内(假定2)

这很容易证明,我们用R表示[0,1)内所有实数。当假定1 成立时,R可数,即R同自然数一一对应,R的元素就可按这个对应形成无穷序列,即式(1)。R中任何元素都存在自然数n,使此元素an在式(1)中。即假定2成立。反之,如果假定2成立,存在无穷序列式(1),使R中所有元素都在(1)中,因为(1)是无穷序列,同自然数一一对应,则R也就同自然数一一对应,从而证明R可数,假定1成立。

当我们把式(1)的确切含义搞清楚后,就证明李鸿仪先生所说的【假定1和假定2是两个独立的假定。】是完全错误的。

李先生说【即只要存在多个或无限个实数,假定2就必然不成立,与假定1是否成立无关,】并不对。并不是【只要存在多个或无限个实数,】就存在「无穷序列」式(1),使所有实数学包含在式(1)之中。由于式(1)是同自然数一一对应的无穷序列,只有假定1成立才能假定2成立,假定2不成立就说明假定1不成立。

他所说的【由于只要存在多个或无限个实数,(1)就成立,而只要(1)成立,定理1就成立,即只要存在多个或无限个实数,假定2就必然不成立,与假定1是否成立无关,这就严格地证明了,假定1和假定2是两个独立的假定。其中的错误就是没有认清式(1)是必须同自然数一一对应的「无穷序列」。从而没有认清假定1同假定2是等价的。

后面就不用讲了,把康托尔定理的假定1可推出假定2,说成是两个假定,假定1并且假定2,后面得出的结论当然都是错的。因而,在此错误的论断下所作的推论,如

推论1,对角线法和区间套法并没有证明实数不可数】肯定是错误的。

另外定理1实际上说的是,〖不存在「无穷序列」式(1),使R中的实数都含在其中。并不是说不存在无穷集合(1),使R中的实数都含在其中。所以说李鸿仪先生后面的推论也都是错误的。如:

推论2 不存在一个已经完成了的实数轴。

推论3若在实数轴中增加实数,则该过程永远无法结束和完成。】

推论4 对任意一个实数成立的性质并不意味着一定对所有实数成立。

当然不用多讲,这些都是错误的推论。

 

结论。

式(1)是什么?,式(1)是「无穷序列」。「无穷序列」有严格的数学定义。我们说a1,a2,a3,...,an,...。是无穷序列,那就是说它必须能同自然数建立一一对应。既然式(1)是「无穷序列」必须能同自然数一一对应,则集合可数,就等同于集合是可以构成无穷序列,集合的所有元素包含于式(1)之内。

也就是说,[0,1)内所有实数可数(假定1),就等同于存在无穷序列式(1),使[0,1)内所有实数包含于式(1)之内(假定2)。这就说明李鸿仪先生的论断【假定1和假定2是两个独立的假定。】是完全错误的。当然由此论断所作出的推论也是错误的。

另外,定理1实际上说的是,〖不存在「无穷序列」式(1),使R中的实数都含在其中。〗并不是说【不存在无穷集合(1),使R中的实数都含在其中。】所以说李鸿仪先生后面的推论也都是错误的。

参考文献





返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       








https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1321148.html

上一篇:Zmn-0819 薛问天:正确理解极限概念,极限没有可达极限和不可达极限之分。评沈卫国《0817》
下一篇:Zmn-0821 林 益: 回复双木林老师的问题

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (7 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-5-19 01:24

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部