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Zmn-0809 薛问天：关键还是对数学的逻辑缜密性缺乏认识。评林益先生《0801》
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Zmn-0809 薛问天：关键还是对数学的逻辑缜密性缺乏认识。评林益先生《0801》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林 益先生的《0801》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
关键还是对数学的逻辑缜密性缺乏认识
评林益先生《0801》
薛问天
同林益先生的多次讨论。我发现关键还是林益先生对数学的逻辑缜密性缺乏认识。他不太了解数学要求有高度的逻辑缜密性。不太了解任何一个数学概念都要有严格的数学定义，要靠定义去掌握数学概念的确切含义。而且数学定义中用到的概念还必须是已经定义的概念，或由公理决定的原始概念。不能应用未曾定义的概念。任何的数学理论都要有一个公理系统，所有承认的的数学命题都必须根据公理和定义严格地推导和证明。而林益先生他常常是根据他对概念的主观想像，不用定义，不用公理，不用证明。而是用一些不严格的自然语言去描述，不讲任何道理，不作任何逻辑推理，然后贴上一个标签，说他的主观臆想就是【客观事物发展规律】，符合【唯物辩证法】。当然，用这样的方式来讨论数学问题，是毫无价值也毫无意义的。下面我们来具体分析。
一，林益先生说【"可列"当然集合的元素一个一个的列出来】，这是林益先生用含义模糊的自然语言描述，来替代严格数学定义的典型实例。
什么叫一个无穷集合是【可列】(即可数)的。这有严格的数学定义，那就是当且仅当该集合能同自然数集合一一对应。所谓【一一对应】就是存在一个双射。所谓双射就是满足单射和满射条件的映射。映射也叫函数，是滿足单值条件的关系。什么是关系，在数学上就是两个集合的笛卡尔乘积的一个子集。所有这些数学概念，如上述的一一对应，双射，映射(函数)，关系，子集，...等都有严格的数学定义。它们都有确切的含义，这些含义都由严格的定义所确定。定义中用到的未作定义的原始概念如集合和属于等概念，都由相应的公理所约定。我们所有的推理都要符合这些公理和定义。
而林益先生说的【集合的元素一个一个的列出来】是什么意思，这是自然语言的描述，根本说不请它的确切含义。什么是一个一个列出来，是指由你用眼晴㸔着，用你的手一个一个地摆出来吗？对无穷集合，你能做到吗？根本做不到，人只能作有穷次的动作，你能做无穷次的动作吗？这些统统不是无穷集合可列的含义。是你的不恰当的描述和解释。而且用这样的描述根本无法进行数学推理。所以林益先生还应对数学的逻辑的缜密性，有进一步的认识，才能真正学懂数学的真知。
林益先生说【一一对应规则： f: x↔y是双射，而x和y都是任意确定的一个元素，只能是任意有限的，因此一一对应只是一种两个有限元素之间的对应关系，】集合A同集合B一一对应的正式数学定义是在A和B之间存在一个双射。那么就要根据双射的定义来理解什么是双射。不要用它的表示f:x↔y来错误地理解什么是双射。双射是满足单射和满射条吽的映射，因而双射是涉及A和B中所有元素的，如果A和B是无穷集，则集合中的这些无穷个元素都在对应之中，因而说【只能是任意有限的，因此一一对应只是一种两个有限元素之间的对应关系，】这种说法是完全错误的，不符合一一对应的正式数学定义。林益先生的这种推论一点根据都不讲，你是怎么能得出这样的结论，数学推论是要讲逻辑讲推理的。
例如什么是你所谓的【可列完】的定义，你怎么判定【可列完】和【不可列完】，为什么一一对应也要求【可列完】，你这些没有定义没有根据的推理根本不是数学，纯属你的主观想像。
二，林益先生说【薛问天老师在《0791》引出教科书原文中连一个“全称量词∀” 都没有出现，证实了薛问天老师对“全称量词∀”的不懂。 】
林益先生质疑的是全称量词的含义，我在上次的引文中已经说清〖「所有的」是全称量词，它表示论域的全体。〗为什么还没解决所提的的疑问，那我在《0803》中又引入了教科书的一段原文〖∀x是x的全称量词，读作"对于所有的x(论域中的值)"〗，你又该如何说呢？现在你来说究竟是何人【对“全称量词∀”的不懂】？是薛问天老师，还是林益和新华先生【的不懂】？你现在还坚持认为【全称量词∀的含义就是任意的一个元素，不是所有元素， 】这种错误看法吗？要知道全称量词是数理逻辑中的词，它的含义是由数理逻辑规定的。不是你林益先生想说什么就是什么！
三，关于数学中的符号“⋯”，我已说过多次，它的含义是由它所表示的数学概念的含义来决定的。
並不是按照林益先生的主观臆想的含义【用在一层含义的中间部分表示省略有限内容，用在一层含义的末尾表示省略无穷多。】请问你这个含义从何而来？在哪个语文的教科书中有这样的规定。完全没有。省略号"..."用在中间不一定表示有限，用在未尾表示的不一定都是无穷。我在网上随意找了语文中省略号的用法，是这样写的。
完全沒有林益先生所说的规定。
在数学中也并沒有按林益先生所说的规定应用。例如0333...+0.333...+0.333...=1。其中"..."在式子中间应用，但都表示无穷位小数。再例如，序数ω+1={0,1,2,...,n,...,ω}。中的"..."都在中间应用，但前面的表示有穷个数，后面的表示无穷个数。另外，在序数的表示中，ω，ω+1，ω+2，...，ω+n，...，2ω，...。其中的第一个"..."，表示的是有穷个超穷序数，后面两个"..."表示的都是无穷个超穷序数。也就是说，"..."的含义是由它表示的数学概念的含义所决定的。是由概念的含义来决定符号的含义，而不是给符号一个统一的含义，由符号来决定他表示的概念的含义。
四，林益先生说【 在康托尔集合论中， 无穷集合是存在的，但是不是确定的，】
林益先生说错了。在集合论中，只要承认是集合，就是确定的。所有存在的集合，无论是有穷集合还是无穷集合，它们的元素都是确定不变的的。不能再增加，增加后就成为另外的集合了。这是由集合论的外延公理所决定的。换句话说，集合论研究的集合，它的元素是相对稳定的。它的构造过程是已经完成的。而把元素的变化，㸔作是不同集合之间的变化。例如集合的并，交等，这些演算就是研究由元素的变化引起的集合的变化，例如形成的集合的有穷序列，无穷序列等。集合论当然也研究集合的变化。但是每个集合，它的元素都是固有的、确定的和不变的。
林益先生说康托尔实无穷观【违反客观存在的事实， 不仅违反唯物辩证法， 也违反逻辑规则，绝对是错误的无穷观。 】只是林益先生的主观臆想，是在没有提出任何事实，任何理由和根据的情况下，所作出的判断和贴出的标签 。这样武断不讲道理的断言是不会被业界理睬的。
五，林益先生这里说了很多错话。
他说【薛问天老师给出的《§4 序数的定义》， 是皮亚诺自然数定义的翻版， 是自然数的属性，不是定义，】说明他缺乏学数学的基本认真态度。根本就没有认真学，当然就没有学懂。
我们数学老师常常给学生讲，读文学书可以一页一页地读，但数学书只能一个字一个字地读，而且还要反复地读。就是说学数学要下苦功，认真地学而不能粗技大叶，雾里㸔花。林益先生把序数的定义看作是自然数的【皮亚诺公理的翻版】，就说明他学习不认真。没有认真读皮亚诺公理和序数定义的细节。只要稍微仔细地读，就会发现序数定义中的⑶，是皮亚诺公理中所沒有的。序数定义中的⑴和⑵是第一生成原则，和自然数的构造原则相同，但⑶是皮亚诺公理所没有的。⑶规定，若S是序数的集合，则这些序数的并集∪S是序数。当这个集合S是可数集合时，是序数的第二生成原则，当这个集合是不可数集合时，就是序数的笫三生成原则。从而使序数是自然数集合的扩展，而自然数集合作为有穷序数，成为整个序数的一部分。
林益先生说【自然数概念已经有几千年历史， 不需要定义，】说明林益先生对数学的缜密逻辑，为什么要作数学定义，根本就不了解。要知道任何一个数学概念都要有严格的数学定义。
林益先生还说【自然数具有序数的功能， 根本不需要重新定义序数。】说明林益先生根本没有学懂序数。序数是表征良序集的序型的。自然数能表达无穷良序集的序型吗？自然数根本就不具有这种序数的功能。真没想到林益先生能说出这么低级水平的错话。
六，林益先生说【“<”是数学符号，表示数学的顺序关系， 当然也是逻辑判断符号，】显然也是错误的。
数学和逻辑学是两个学科。数学符号是数学符号，逻辑符号是逻辑符号，各有不同。林益先生还说【现代数学包含逻辑， 也包含∧,∨,乛,→,∀,∃等的推理规则。 】当然也说得不对。现代数学只是【使用和应用】了逻辑，而不是【包含】了逻辑。逻辑学是独立于数学的另一门单独的学科。
七，林益先生不摆任何亊实，不讲任何道理，不作任何推论。就给认为无穷集合【是有限的不断延伸， 有始无终， 不能完成，不能结束。】的潛无穷观，无理地贴上【这是从客观事物发展规律抽象出来的，经得起唯物辩证法、逻辑、和实践的检验。】的标簽。这是严重的错误。
林益先生不能无视这个客观事实。那就是数学的发展史已充分说明，在现代实无穷观的基础上，百年来集合论得到了巨大的发展，已为广大业界所接受，作为整个数学学科的基础。而持潛无穷观则无法研究集合论。到处踫壁，一事无成。没有取得任何研究成果，不得不被广大学者所抛弃。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0802 沈卫国： 回复：《Zmn-0797，Thebeater：... 请沈卫国先生具体回复一下783中的问题》
Zmn-0790 沈卫国： 对“Zmn-0783 Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题”的回复—兼谈微积分求导
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