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Zmn-0803 薛问天：对超穷基数要有正确认识，减1还是它自己。评新华先生的《0796》

已有 1155 次阅读 2022-1-3 09:02 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0803 薛问天：对超穷基数要有正确认识，减1还是它自己。评新华先生的《0796》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《0796》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对超穷基数要有正确认识，减1还是它自己。

评新华先生的《0796》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，关于可数无穷子集类Aμ。

同新华先生讨论，觉得他对集合论的知识了解太少，我们知道所有的超穷基数都是没有前趋的，即任何超穷基数μ，都不存在一个不是μ的超穷基数τ，使τ+1=μ。因为任何以μ为基数的集合，从中去掉1个元素的集合基数仍然是μ，基数不变。不仅去掉1个元素如此。就是去掉有限个元素，甚至可能去掉可数无穷多个元素，所剩的集合的基数都同它原来集合的基数相等。这是基数理论中的最基本的知识。

现在我们来㸔新华先生在《0796》中的错误。新华先生知道而且也承认【Aμ类子集就是基数为μ的 A 的子集】，但是却说【从 A 中去掉 a1，剩下{ a2, a3,⋯}⊂A，显然比 A 少了一个元素，是Aμ-1的一个元素。......，也只有这样，才能形成 A 的子集类，A0,A1,A2, ⋯,Aμ-3 ,Aμ-2 ,Aμ-1 ,Aμ .】新华先生在他原来说的子集类中，又增加了Aμ-1,Aμ-2,Aμ-3,...这些子集类。完全是错误的，因为没有μ-n这些基数，它们的基数都是μ，所以这些子集全属于Aμ。

另外，新华先生也承认【C={ an | n是偶数}， D={ an | n是奇数}， ...... 。显然有 C⊂A， D⊂A， ⋯，康托尔通过一一对应推出这些 A 的子集的基数都等于μ。 】从而他提不出任何理由能说明这些子集C，D，......不属于Aμ。于是又拿出他的潛无穷观出来反对基数的确定性来了。说什么基数【μ不是一个确定的数值而是一个变化的量，】【μ是无穷大量，同∞含义是相同的，康托尔定义μ为超穷数，是采取偷梁换柱的手法，完全违反客观世界事物发展变化规律。】

新华先生，你既然不承认无穷集合有确定的基数，为什么还要讨论幂集的基数，为什么还要说【Aμ类子集就是基数为μ的 A 的子集】，你这些反对基数确定性的观点，完全不可能解脱你说Aμ中只有一个元素的错误，把属于Aμ中的这些子集统统不承认属于Aμ的错误。新华先生在《0781》中不是说得很清楚【关于μ类子集，显然含有μ个元素，也就是基数为μ的无穷集合A。不知薛问天先生能构造出μ类子集有多少个，希望薛问天先生按照子集构造方法能构造几个出来，用事实来说话，让我心服口服。】现在你不得不承认这些基数为μ的子集属于Aμ的时候，找不到理由解脱你的错误，又反对开基数的确定性了。难道这些事实还不能让你心服口服吗。

其实我前面所说Aμ的子集，进一步说明了Aμ的结构。当对任何k∈N，令βk是从A中去掉任意k个元素所剩的子集构成的类，显然βk⊆Aμ。而且βk同Ak的基数相同，都是可数的。令βN是从A中去掉任意有穷个元素所剩的子集构成类，则βN=β0Uβ1Uβ2U... 。由于对任任k，βk可数，则βN是可数无穷的。

另外令βμ表示从A中去掉可数无穷(μ)个元素而且所剩基数仍是可数无穷(μ)的子集构成的类。显然我们举的C，D，E，F，...等都属于βμ。可证Aμ=(β0Uβ1Uβ2U...)Uβμ=βNUβμ。由于我们知Aμ不可数，βN可数，所以我们知βμ不可数。

关于证明Ak可数，我在《0784》中说〖我们把Ak中的子集再按其所含最大元来分类。我们令Bn表示元素个数为k而且其中所含最大元素是an的A的子集的类。即

Ak =Bk U Bk+1 U Bk+2 U ...。其中

Bn={ t丨t是A的子集，且t的元素个数等于k，并且子集t中所含的最大元素是an。}

显然对任何n∈N，Bn都是有穷集，其个数为C_n-1^k-1。〗

我说的是Ak，其中k是有穷自然数，但是新华先生读文不仔细，把Ak误看成Aμ(见新华先生《0796》原文)，以为我证明了Aμ可数。这显然是大错特错的。我反复说你直接证明不了Aμ的基数等于多少。只有根据用反证法证明的幂集定理才可推出Aμ不可数。

新华先生问【薛问天先生能给出幂集A的基数的具体推导过程吗？】我可以明确地告新华先生，康托尔的幂集定理就是幂集基数的具体推导，证明了它大于原集A的基数μ。根据基数乘幂的运算定义，幂集A的基数它就等于2^μ，按幂集定理可推出2^μ>μ。

按照基数乘幂运算的定义，如果集合A的基数为μ，B的基数为τ，则所有函数f:A→B的集合的基数是乘幂τ^μ。因为A的幂集A相当于所有A到2元集合{0,1}的函数的集合，所以幂集A的基数等于2^μ。

新华先生说【关于A2类，显然是可列的，可惜，康托尔证明可列都是用有限几个带有有向箭头表示一一对应关系，从来不给出具体的一一对应法则，】新华先生竟然不懂证明的作用。证明一个集合可列，就是证明此集合同自然数集合N间存在一个双射。就是能给出这个双射。如果不能给出双射，怎么能证出双射的存在呢？

新华先生还问【不知薛问天先生是否能给出具体自然数与区间[0,1]中有理数的一一对应法则f(x)，翘首以待。】实际上仔细查㸔证明，证明就是在给出这个双射。就是在给出相应的一一对应法则。我估计新华先生可能对什么是【对应法则】的理解存在偏见，法则不一定要表示成为一个【数学公式】。用严格的语言描述，同样是严格地给出映射发则的方法。在有理数可数的证明中，详细地，严格地描述了这个对应的法则。并不是新华先生所说的【用有限几个带有有向箭头表示一一对应关系】。说明新华先生的学习还不够认真和细致。要把证明拿来一句句仔细地读。这个一一对应是明确给出了的。

二，新华先生说【引入书中三段原文，白纸黑字，连一个全称量词∀都没有出现，不知是否是薛问天先生的疏忽，这怎么能让人心服口服呢？。】新毕先生太有意思了。你质疑的是全称量的含义，在引文中已经说清〖「所有的」是全称量词，它表示论域的全体。〗还不能让你【心服口服】，因为【连一个全称量词∀都没有出现】。好吧！我不可能把全书都引用在这里。我再给你引用一段。这段是在讲完量词的概念以后，第2节讲一阶逻辑，引入量词的符号。

怎么样，这时有了∀出现，可以【心服口服】了吧！

三，新华先生讲【幂集定理是否正确，只有通过具体问题的正确推导和严密的逻辑推理证明才能保证是正确的。康托尔的集合论中并没有从μ到 2的推导，】

幂集定理是证明幂集的基数大于原集的基数。我已在《0742》四中给出了证明的具体描述。你如果对它的【正确推导和严密的逻辑推理证明】有质疑，你可以针对此证明，说出你认为哪一步推理有问题，不能不针对证明的具体内容，在这里空洞地议论。正如新华先生自己所说【公开地，坦诚布公的质疑，让事实说话，不是比空话更有效吗？】

至于幂集的基数等于2^μ。我刚才说了，这要用到基数的乘幂运算的定义。因为A的幂集A相当于A到2元集合{0,1}的所有函数的集合，所以幂集A的基数等于2^μ。幂集定理证明的是2^μ>μ。希望新华先生从概念上把这些问题，从逻辑上搞清楚，不要含糊。