Zmn-0816李鸿仪：实数不完全定理

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

实数不完全定理

李鸿仪

leehyb@139.com

张景中在科学网啄木鸟栏目里发表了一篇关于康托对角线的文章（zmn0726），我做了评论（zmn0736）.

在数学实践中，我们经常需要给出一个实数（例如给出3.14159…）而不考虑实数究竟是可数还是不可数的.也就是说，这个操作（我定义为列出）与可数与否是无关的。

但在对角线证明中，康托却把“列出”与可数（即可列）假定混在一起。这是他后续各种错误的根源。

为此，我在zmn0736中，首先对“列出”这个概念作了定义，以防止混淆“列出”与“可数”这两个概念。

然而，与康托一样，薛问天先生还是把这两个不同的概念混淆起来了，甚至还特地生造出了“可列（李）”这一概念来混淆它们（见薛先生的zmn0738，对zmn0738，我在该文的其评论区中做了反驳，同时在该评论区与戴㨗先生展开了相关的讨论；对评论区的这些评论，薛问天在zmn0751做了回应，林益的zmn0756则反驳了zmn0751）。

后来我发现，即使不用“列出”这个概念，也是可以清楚地揭示康托的错误的。下面就来叙述这个新方法，看能不能纠正康托在数学史上犯下的严重错误，并唤醒包括薛问天在内的康托的忠实粉丝们？

为了保证推导的严格性，本文不引用包括集合论公理在内的任何未加以证明的命题。

对区间[0，1）内的任意实数，只要其存在，都可以表示为无限小数的形式，例如0.1可以表示为0.1000……，而这些小数，只要不止一个，都可以表示成无限小数的形式：

0.1000…

0.2746...                                                          （1）

0.9736...

-------

定理1(实数不完全定理) 式（1）不可能包含区间[0，1 ）内的所有实数。

证明 假定式（1）已经包含了区间[0，1）内的所有实数，则可用对角线形成该区间内的一个不在式（1）内的实数，与假定矛盾。证毕

注：任何知道对角线方法的人都很清楚上述具体证明应该是怎样进行的，所以这里就不再详细叙述了。

为了讨论方便，以下将可数假定称为假定1，而把[0，1）内所有实数都包含于式（1）之内称为假定2。如前所述，由于只要存在多个或无限个实数，（1）就成立，而只要（1）成立，定理1就成立，即只要存在多个或无限个实数，假定2就必然不成立，与假定1是否成立无关，这就严格地证明了，假定1和假定2是两个独立的假定。

由于对角线法只能保证在区间[0，1）内找到一个不同于（1）内所有实数的一个数，因此，只有当假定2成立时，才能必然地形成证明实数不可数所需要的矛盾。这是康托的证明实际上离不开假定2的原因。不过，在康托的对角线证明中，由于他极其随意、“自由”、想当然地认为假定1必然导致假定2，所以这个假定2的引入过程是隐蔽的，他自己也未必知道，而被他的浪漫气质所深深感染、几乎完全失去辨别是非能力的主流数学界也没有发现这一点，以为他只引入了假定1。

但根据定理1及证明可见，不管可数与否，假定2都不成立，故用任何方法在该区间内找到一个不在式（1）内的实数都很正常，并不必然形成矛盾。区间套法也是如此。这就证明了：

推论1，对角线法和区间套法并没有证明实数不可数。

作为一个总结，表1给出了康托的对角线与本文定理1对角线的异同点。

表1康托的对角线与定理1的异同

显然，在反证法中，只能有一个欲推翻的假定。否则的话，即使产生了矛盾，也难以判断究竟是哪一个假定出了问题。然而，康托的对角线证明却引入了两个独立的假定，区间套法也是如此。再次证明这两个反证法都不成立!

定理1的结论不难推广到区间[z，z+1），其中z为任意整数, 因此定理1表明，实数轴总会有一些没有包含进去的实数。因此

推论2 不存在一个已经完成了的实数轴。

根据推论2

推论3若在实数轴中增加实数，则该过程永远无法结束和完成。

设“被包含在区间[0，1 ）”为一个性质，那么虽然区间[0，1 ）内的任何一个实数都具有该性质，但根据定理1，并不能认为区间内的所有实数都具有这个性质，即

推论4 对任意一个实数成立的性质并不意味着一定对所有实数成立。

推论 4 表明，仅有存在量词和全称量词是不够的，形式符号与数理逻辑应该把“任意”和“所有”用不同的符号区分开来。

关于这个问题，也可以看笔者的花瓶悖论一文：

从一些数学悖论看数学家思维的局限性（三）： 花瓶悖论

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294616.html

康托的对角线似乎很巧妙，可惜没有用对。康托用他的对角线建立了他的数学大厦，我则用他的对角线推翻了这座大厦。至于其他的数学家们，是被大厦的废墟所埋葬而被后人永远耻笑，还是为重建数学大厦而发热发光，在数学史上留下光辉业绩，那是他们自己的选择

数学界的问题其实很多，本文只揭示了冰山一角。

在热力学界，有的人对每一个概念或公式的推敲都会花费很长的时间，甚至一辈子，还不一定能够得出确切的结论（比方热寂说的相关概念和公式），哪里像急功近利、心浮气躁的数学家那么好骗，什么乱七八糟的东西都会相信。

逻辑要挑战相对可靠的直觉，至少必须保证逻辑体系的高度严格性。在悖论丛生的数学界，现代的数学家们有这个耐性和能力吗？

因此，当逻辑结果和直觉发生矛盾的时候，更应该检查的是逻辑是不是足够严格。

本文的推导是无懈可击的，应该能够成为拔乱反正的敲门砖！

返转到

   zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

• Zmn-0816 李鸿仪： 实数不完全定理   2022-1-11 08:50

• Zmn-0815 薛问天： 沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】根本不是【不需要极限概念的新微积分理论】，是谎言，必须揭穿.   2022-1-10 10:37

• Zmn-0814 侯小山： 三次致师教民先生的回信   2022-1-9 19:02

• Zmn-0813 侯小山： 为林益老师的公正之文点赞   2022-1-9 09:27

• Zmn-0812 薛问天： 幂集定理是严格证明的定理，不能说它是【猜想】，评林益先生《0806》   2022-1-8 09:02

• Zmn-0811 沈卫国： 回复 Zmn-0807 Thebeater   2022-1-7 17:48

• Zmn-0810  Thebeater：评zmn-0806 请教林益老师一个具体的问题   2022-1-7 09:20

• Zmn-0809 薛问天： 关键还是对数学的逻辑缜密性缺乏认识。评林益先生《0801》   2022-1-6 08:49

• Zmn-0808 侯小山： 评双木林先生的《Zmn-0799》   2022-1-5 14:54

• Zmn-0807  Thebeater：回复沈卫国先生Zmn-0802。具体的问题出错，那就不要谈大道理了   2022-1-5 09:00

• Zmn-0806 林   益： 幂集定理分析，回复《0798》   2022-1-4 16:57

• Zmn-0805 林   益： 请教双木林老师的一个问题   2022-1-4 08:52

• Zmn-0804 师教民： 03 给侯小山先生的请教信   2022-1-3 21:37

• Zmn-0803 薛问天： 对超穷基数要有正确认识，减1还是它自己。评新华先生的《0796》   2022-1-3 09:02

• Zmn-0802 沈卫国： 回复：《Zmn-0797，Thebeater：... 请沈卫国先生具体回复一下783中的问题》   2022-1-2 18:18

• Zmn-0801 林   益：  回复《0795》   2022-1-2 09:01

• Zmn-0800 吴文杰： 实数的演化——论相对⽆穷思想与三次数学危机   2022-1-1 17:24

• Zmn-0799 双木林： 康托尔《实数不可数（不可列）定理》是假定理吗？对侯小山先生Zmn-0789一文观点的评论   2022-1-1 09:35

• Zmn-0798 薛问天： 幂集定理是用反证法证明的，不能否定反证法的效用。评林益《0793》   2021-12-31 17:16

• Zmn-0797 Thebeater：回复Zmn-790: 请沈卫国先生具体回复一下783中的问题   2021-12-30 18:40

• Zmn-0796 新    华： 答复薛问天先生。   2021-12-30 10:05

• Zmn-0795 薛问天： 为什么【可列】有定义，而不需要定义【可列完】。评林益先生《0788》   2021-12-29 15:56

• Zmn-0794 沈卫国： 在新导数定义基于增量函数而非增量比值函数的三角函数最简求导法   2021-12-29 09:05

• Zmn-0793 林   益： 请教薛问天老师关于无穷集A的幂集具体构造   2021-12-28 09:13

• Zmn-0792 侯小山： 实数可数定理和等差数列法   2021-12-27 21:41

• Zmn-0791 薛问天： 答复新华先生的提问。评《0781》   2021-12-27 08:22

• Zmn-0790 沈卫国： 对“Zmn-0783 Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题”的回复—兼谈微积分求导   2021-12-26 10:56

• Zmn-0789 侯小山： 对角线法三大假   2021-12-25 14:08

• Zmn-0788 林   益： 回复《0782》   2021-12-24 19:13

• Zmn-0787 李鸿仪： 从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：芝诺悖论、贝克莱悖论，罗素悖论   2021-12-24 10:43

• Zmn-0786 双木林： 对侯小山先生Zmn-0768一文的评论   2021-12-23 13:23

• Zmn-0785 反对伊战： Piraha部落的数的系统及其加强版   2021-12-23 09:47

• Zmn-0784 薛问天： 必须纠正错误，才能认识正确。谈无穷集 A 的幂集构造。评林益先生《0780》。   2021-12-22 20:56

• Zmn-0783  Thebeater：对沈卫国先生的求导法的几点问题   2021-12-22 08:51

• Zmn-0782 薛问天： 数学讨论要认真细致和逻辑严谨，评林益先生《0778》   2021-12-21 10:08

• Zmn-0781 新   华： 质疑实无穷观为基础的康托尔集合论是很有意义的   2021-12-20 10:28

• Zmn-0780 林   益： 求教：关于无穷集A的幂集的构造问题   2021-12-19 19:14

• Zmn-0779 沈卫国： 有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调（三）   2021-12-19 09:28

• Zmn-0778 林   益： 评《Zmn-0775》   2021-12-18 08:54

• Zmn-0777 薛问天： 关键是当A是无穷集时论断错误。评新华先生的《0772》   2021-12-17 10:24

• Zmn-0776 沈卫国： 有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调（二）   2021-12-16 09:34

• Zmn-0775 薛问天： 讨论数学问题要认真细致，逻辑清晰，讲道理，不讲资格。评林 益先生《0767》   2021-12-14 20:02

• Zmn-0774 侯小山： 二次致师教民先生的回信   2021-12-13 15:59

• Zmn-0773 沈卫国： 有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调   2021-12-13 08:09

• Zmn-0772 新   华： 评《确实要改变连一些最简单的无穷集常识都不懂的状况》   2021-12-12 16:38

• Zmn-0771 Thebeater：回复Zmn-0765沈卫国先生的评论   2021-12-12 08:47

• 科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0800 期目录：