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Zmn-0819 薛问天：正确理解极限概念，极限没有可达极限和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

已有 1301 次阅读 2022-1-14 08:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0819 薛问天：正确理解极限概念，极限没有可达极限和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生的《0817》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确理解极限概念，极限没有可达极限

和不可达极限之分。评沈卫国《0817》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 我在《0815》揭穿了沈卫国先生的【新导数定义】，不是【不需要极限概念的微积分理论】。因为他必须说明切线是割线的极限。必须要求那个用函数值作为导数定义的，割线斜率函数的拟等函数是连续函数。用到了连续函数的极限等于函数值的这一重要的极限性质。沈卫国先生在《0817》对此作了回复。但他对我批评的主要内容，提不出任何辩解的理由，说不出他必须用到的这些极限概念为什幺是他所【不需要】的。他说不出任何道理来。

但我从他的反驳的文字中，却看出他实际上对数学分析中的极限概念有很多错误的认识。必须首先把这些错误认识纠正过来，才能正确地讨论。

一，必须对极限概念有正确的认识。函数G(Δx)在Δx→0时的极限，是函数G(Δx)在Δx=0点附近，接近Δx=0点，但是Δx≠0点的函数的性质。极限是否有，以及极限等于多少，同Δx=0点的函数值没有关系。

两个函数G(Δx)和F(Δx)是「拟等函数」，就是对于所有Δx≠0的点有G(Δx)=F(Δx)。一般地讲，拟等函数可能并不全等，因为对Δx=0这个点两个函数的函数值可能不等，甚至可能没有定义。「拟等函数」不一定是同一函数，但是对于除Δx=0外的所有其它点，即Δx≠0的点，两个函数的函数值却是完全相同的，有G(Δx)=F(Δx)。既然函数当Δx→0时是否有极限，以及极限等于多少，同Δx=0点的函数值没有关系，只与函数在Δx≠0的点有关。所以两个拟等函数当Δx→0时的极限自然是相等的。这就是我们的【定理】所叙述的内容。证明当然很简单，只要叙述一下极限的定义，以及说明这些定义所用到的是Δx≠0的函数值，而这些值是两个拟等函数相等的值就完全可以了。像这样简单的证明，还需要把它写出来吗？没想到沈卫国先生水平竟然低到如此程度，连这样的简单的证明都写不出来，甚至怀疑起这个定理所断定的，拟等函数极限相等的这个正确结论。还说这是【未经证明、也给不出证明的所谓“定理”】。沈先生更进一步说【我的整个理论或诠释，就是基于您薛先生的所谓的“拟等函数”与其原函数在0点的极限不一样的。也就是我理论的基础就是您薛先生的所谓的“定理”的不能成立上的，】

这就决定了沈先生的观点完全错误。因为此定理成立。拟等函数的极限是完全相等的，不可能不相等。

二，极限概念没有【可达极限】和【不可达极限】之分。

沈卫国先生错误地认为极限有【可达极限】和【不可达极限】两种不同的极限。他说【极限法微积分（第二代微积分）的导数定义，就是增量比值函数在0点的不可达极限值，而绝对没有求什么其“拟等函数”在0点的可达极限值这回事。任何一本书中也没有这个东西。您薛先生连这个居然也不清楚。按极限法微积分，二者在0点的极限值一样，但这并不意味中二者是一回事。因为在极限法微积分那里，这个增量比值函数的在0点的极限，是不可达极限，其函数值为0/0，而薛先生的所谓的不再是增量比值函数的“拟等函数”，在0点是有非0/0的函数值的，因此其在0点的极限是“可达极限”，也就是与其函数值一样的极限。薛先生怎么能说拟等函数在0点的可达极限，就是增量比值函数在0点的不可达极限呢？您凭什么可以这么说？谁给您的权利？】

这是沈卫国先生认识上的一个严重错误。函数在某点的极限值等不等于该点的函数值，这是区别函数在该点【连续】还是【不连续】的特征标志。这是函数的特性而不是极限的特性。在极限理论中，并没有因此把极限分为【可达极限】和【不可达极限】。因为在某点的极限的定义中根本同该点的函数值没有关系，求极限是Δx无限接近于0而不允许Δx=0。无论函数在该点连续还是不连续，函数在该点的极限是完全一样的。其实沈先生也知道极限值是一样的，却说【按极限法微积分，二者在0点的极限值一样，但这并不意味中二者是一回事。】这就是沈先生的错误，毫无道理的把极限分为不同的两种，认为不是【一回事】。这是沈卫国先生对极限概念认识上的一个严重错误。实际上是应该问沈卫国先生，把极限分为可达极限和不可达极限，【您凭什么可以这么说？谁给您的权利？】要知道在任何书中，导数的定义都是增量比值函数在0点的极限值，哪有什么【不可达极限值】的说法。

也就是说，极限并没有分成两种不同的【可达极限】和【不可达极限】，两个拟等函数的极限是完全相同和一样的。

沈卫国先生说【您薛先生请给我听好了：我说的不需要极限，是指的微积分求导，也就是增量比值函数所要求的在0点的不可达极限！您薛先生敢在这里说一句，极限法微积分求的不是这个增量比值函数的不可达极限吗？而是什么您凭空杜撰出来的“拟等函数”的增量函数的非比式的可达极限吗？】

我当然可以明确地说，极限根本不分可达和不可达，作为极限是一样的。导数定义的增量比函数G(Δx)的极限，同增量比函数G(Δx)拟等的函数F(Δx)的极限是相等而且是一样的极限，如果函数F(Δx)在Δx=0点连续。则导数就等于函数F(Δx)在Δx=0点的函数值。因为这里用到了拟等函数的极限相等，用到了连续数的函数值同极限值相等。所以用F(Δx)在Δx=0点的函数值定义导数，是离不开极限概念的。说它【不需要极限概念的微积分理论】是完全错误的，是骗人的谎言！

三，沈卫国先生关于分式中公因子的消去法的错误认识。

我们知道，函数G(Δx)=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx只要在Δx≠0 的条件下，就可消去分母和分子的公因子Δx，使其G(Δx)=2x+Δx=F(Δx)。並不需要令Δx=1。

可沈卫国先生却说

【最后，我之所以敢说薛先生的所谓“定理”不能立，也不可能被证明，其实我的文章中早就有论证了。这是因为如果要证明增量比值函数在0点的不可达极限值与其薛先生所谓的“拟等函数”非比值的增量函数在0点的可达极限（也就是函数值）就是一个东西，只能通过约分消去分母上的自变量之一途。而一旦进行消分母“操作”，按约分的定义，只能是先令分母为“1”，才可以再去拿掉也就是消去这个分母。只有式子中的“1”，才可以不写。而一旦有了这个“1”在分母上了，还有什么分母上的自变量趋于0吗？那不是等于1或趋于1？我之所以说极限法微积分求0点的不可达极限有问题，就在于此。】

本来在Δx≠0时就有G(Δx)=F(Δx)，即G(Δx)和F(Δx)拟等，它们的极限是相等的。而沈先生却独出心裁地说什么【只能是先令分母为“1”，才可以再去拿掉也就是消去这个分母。】而且说只有这样极限才一样【就是一个东西】。这些论断毫无逻辑，讲的一点道理都没有。

四，非常有趣的是沈卫国先生拿院士等专家来作为接受批评的挡箭牌。他说【提醒一下薛先生，别忘了批下张景中、林群院士的“不用极限的微积分”！】

要知道【新导数定义】是沈卫国先生的创作，不是院士们所为。说它是【不需要极限的微积分说理论】也是沈卫国先生所说而不是院士的评语。我干嘛要去批评院士？

五，关键是切线的斜率，不是引入的Δx1。

沈文最后谈到他引入了Δx1。我又看了一下他《0422》中引入的Δx1。由于割线的斜率为k=Δy/Δx=2x+Δx，所以割线的直线方程可以写成Δy1=kΔx1=(2x+Δx)Δx1。这是没有问题的。引入直线方程的变量为Δx1，也很正常。对于割线和切线这些直线来说，Δy1/Δx1就是它们的斜率，根本不需要沈卫国先生设计的什么【Δx1 = 1或→ 1】的情况。

但这都不是关键所在。问题是沈先生根据什么来求切线的斜率。沈先生说割线【该直线的斜率（系数）为k=2x+Δx，其中的这个Δx仍旧为两个曲、直线交点的横坐标差。显然，当Δx=0时，是切线。Δx=0时，是切线，此时k=2x，即切线的系数，也就是切线斜率。即新定义下的曲线导数。】

为什么【Δx=0时，是切线】？实际上，在这里说割线斜率函数2x+Δx，当Δx=0时的函数值2x是切线斜率。它的真正理由和根据，应该是切线斜率是割线斜率的极限，而且割线斜率函数2x+Δx，是初等函数，在Δx=0奌连续，因而割线斜率的极限，就是割线斜率函数2x+Δx，在Δx=0点的函数值2x。

沈卫国先生的错误就在于没有说明导数切线斜率是割线斜率的极限，没有说明这里用到的函数2x+Δx是割线斜率的拟等函数，因而极限相等，而且是连续函数。所求的函数值就就是极限值。要知道这一切都离不开极限的概念。所以说沈卫国先生提出的所谓【新导数定义】并不是【不需要极限概念的新的微积分理论】，说它不需要极限概念是严重的错误，是哄人的欺骗和谎言。

参考文献