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Zmn-0829 林益：请教文清慧老师几个问题，及文清慧的回复。

已有 1275 次阅读 2022-1-29 11:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0829 林益：请教文清慧老师几个问题，及文清慧的回复。

【编者按。这是林益先生发来文章及文清慧的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

文清慧对林益先生的回复。

文请慧.jpg 不要说请教，我们相互交流对数学的认识。

一，在数学中没有抽象的【数】这个数学概念。所以没有【数】的定义。

只有具体的数系是数学概念，如自然数，整数，有理数，无理数，实数，虚数，复数，序数，基数，......。这些具体的数系都有严格的数学定义。

二，各种数都有它各自确切的含义，同时有它各有的属性。

如序关系，演算的规律，其它的各种属性，如稠密性，连续性等。不同的数系的属性有相同的，也有各不相同的属性。

三，是的。根据数形结合，任意一个实数都与几何数轴上某点的坐标构成等值(即实数等于点的坐标，即点距原点的距离)。

同时任意由两个实数构成的数对，都与平面上的点的坐标构成等值，......。

【而点作为几何中最基本的描述性概念，三度为0，点是否能构成连续的线段？】当然可以。在解析几何中，线段的方程就是组成它的点的坐标所满足的方程。自然认为该线段就是由这些点构成的。

【实数是否能构成连续的区间？连续的区间是否是由数构成？ 】是的。既然我们承认【根据数形结合，任意一个实数都与几何数轴上某点的坐标构成等值】当然几何上的区间[a,b]这个线段上的点的对应的坐标，就是所有满足a≤x≤b的实数x。实际上我们现在对区间[a,b]，和满足a≤x≤b的实数x已不加区分。整个的解析几何都是以这样的数形结合方式为基础的，这样的结合非常恰当，没有引起任何矛盾和冲突，从而这样的结合方法也为业界普遍接受。

四、【线段是否无限可分？是否有最终结果？分得的结果是线段还是点？】

要分有限分割和无限分割两种情况来研究。对于每个有限分割，结果是形成有限个区间，这很清楚。

所有的有限分割构成无限分割，由所有有限分割形成的无限个区间，形成不可数个区间套序列。每个区间套序列的并集对应一个实数。就形成不可数个实数，即结果是不可数个点。

五、【区间[0， 1]是否可以无限十等分，分得的结果是区间还是点？等分的过程能否结束？分点表示的数是否能是无理数？】

在四中已说清楚，无限的十等分，就是所有的无限个有限十等分，过程完成结果形成了不可数个区间套。每个区间套的并集是一个点，对应一个实数。如果区间套从某个区间起，区间套所有的区间左端点或右端点都相等，则区间套的并集是有连续无限个0或无限个9的有穷小数。如果区间套的端点总有不相同的，则并集结果是无穷小数，其中包括循环小数是有理数，不循环小数是无理数。注意最后所得之点即区间套的并集，並不完全是分点。分点是区间套中区间的端点。是分点的是有穷小数。其它的无穷小数皆不是分点。

六、【区间[0， 1]的实数集中实数的个数是如何统计出来的？】

是由康托尔的【实数不可数】定理严格证明出来的。证明实数集合的基数是不可数无穷，

七、十进制无穷纯小数应该对应无穷级数 ∑^∞_n=1 a_n (0.1)ⁿ， a_n∈{0,1,2， ⋯， 9}， 无穷级数的和就定义为部分和序列 0.a₁，0.a₁a₂，0.a₁a₂a₃，......的极限。当然承认这个序列是个确定的完成的序列，而且在含义中包括有无穷级数的和是此序列的极限。

八、【对于任意自然数n，都有10ⁿ> n，而10^∞= ∞，表明任意有限条件下得出的结论不能推广到无穷中去。而有10^ℵ0> ℵ₀，是如何根据ℵ₀推导出10^ℵ0来的，10^ℵ0> ℵ₀ 的理论依据是什么？】

首先说一句，因为∞不是数，不能参与乘幂运算，所以【10^∞=∞】这个式子是不对的，没有这个式子。而是当n→∞时，10ⁿ→∞，或写为lim_n_→∞10ⁿ=∞。不要写成【10^∞=∞】。

当然【任意有限条件下得出的结论不能推广到无穷中去】，这句话是对的。因为有些有穷对象的属性，相应的无穷对象并不具备。不能不加证明的随意推广。

不过有些有穷对象的属性，相应的无穷对象也具有。这就需要进行严格的分析和证明。不能根据对有穷自然数n有10ⁿ＞n，就直接推出10^ℵ0> ℵ₀ 来。10^ℵ0> ℵ₀ 的理论依据是根据基数乘幂运算的定义和康托尔的幂集基数大于原集基数的幂集定理，严格推导出来的。

这可用基数理论来证，基数的乘幂运算是这样定义的，集合X到集合Y的所有函数的集合是集合Z，若X的基数是α，Y的基数是β，Z的基数γ，则 γ=β^α。由10^ℵ0的乘幂定义可知，10^ℵ0就是由自然数N到个数为10的集合，如{0,1,2,...,9) ，的所有函数构成的集合，因为N的基数是ℵ₀。再根据幂集基数定理，当β>1时，β^α>α，即10^ℵ0＞ℵ₀。证毕。