Zmn-1248 薛问天: 【未涉及未提起】绝不等于【不允许】。把【未涉及未提起】就作为【不允许】得出结论当然是错误的。评师教民《1247》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1247》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

【未涉及未提起】绝不等于【不允许】。把【未涉及未提起】

就作为【不允许】得出结论当然是错误的。评师教民《1247》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，我批评师所说的【在极限理论的微分定义中是不允许 Δx=0 的】是错误的。

1)，师说【薛问天先生只是喊了【是师教民先生的认识错误】、【是错误的认识】的口号和『【不是不允许 Δx=0】，而是允许 Δx=0』的口号，】

这是师教民先生在通常用语和逻辑上犯的一个明显和简单的错误。把我们所说的【当Δx≠0时，函数具有某种特性】，师教民先生就下结论论说这是【不允许此函数有Δx=0】。这种推论当然是错的。因为我们所说的是【当Δx≠0时的情况】，未涉及未提起Δx=0时的情况。【未涉及未提起】绝不等于【不允许】。师先生把【未涉及未提起】就作为【不允许】得出结论当然是错误的。

例如我们说函数f(Δx)当Δx→0时的极限等于0，是无穷小量。这个性质说的当Δx≠0时函数的特性。未涉及未提起Δx=0时的情况。绝不能由此就得出结论说此函数f(Δx)【不允许Δx=0】。

道理很简单，当我们说张三发育很健康，当他年龄小于3岁时，身高接近1米。由此得不出结论说【不允许张三年龄大于3岁】。

同理，Δx的函数β(Δx)，在Δx≠0时，当Δx→0，β(Δx)/Δx→0，称β(Δx)是Δx的高阶无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)。对于β(Δx)只是说当Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)。并无规定【不允许Δx=0】。

要知道可微的条件所列的条件Δy=AΔx+o(Δx)指的就是，当Δx≠0时β(Δx)=Δy-AΔx=o(Δx)，是Δx的高阶无穷小。未涉及未提及Δx=0时的情况，得不出【不允许Δx=0】的结论。

至于师先生所说的【薛问天先生在你自己的这段话中说的微分定义里，根本就没有 β(Δx)，只有 o(Δx)，】显然不对，我明确指出β(Δx)=Δy-AΔx，难道没有Δy和AΔx吗？要知道o(Δx)说的就是β(Δx)在Δx≠0时，是Δx的高阶无穷小。师先生你说这个o(Δx)说的是哪个函数变量是比Δx高阶的无穷小？当然这个函数变量就是β(Δx)=Δy-AΔx。

师先生所说的【在极限理论的微分定义中是不允许 Δx=0 的，不允许的理由是：在 Δx=0 时o(Δx)=o(0)就不是比 Δx=0 更高级的无穷小了，】这是师教民的认识错误。要知道这里的o(Δx)说的正是函数变量β(Δx)在Δx≠0时是Δx的高阶无穷小。在Δx=0时函数变量的函数值是β(0)=0,不是o(Δx)=o(0)。请师先生认清，高阶无穷小的这个记号o(Δx)，中的o不是函数符号，不能用o(0)来表示在Δx=0时的函数变量的函数值。用它来表示函数值是严重错误。

关于【微分定义的前提】。要知道可微的条件所列的 Δy=AΔx+o(Δx)指的就是，当Δx≠0时β(Δx)=Δy-AΔx=o(Δx)。

也就是说可微的前提只涉及Δx≠0时的情况，未要求Δx=0的情况，所以师所说的【薛问天先生说的微分定义的前提 Δy=AΔx+o(Δx) 在 Δx=0 时就错了，或者说该前提就变为 0=Ax0+0 而没了．在 Δx=0 时的微分定义的前提不论是错了还是没了，在 Δx=0 时的微分就定义不出来了。】师教民先生的′这个所谓在 Δx=0 时的【微分定义的前提的错误或消失】全是无中生有多此一举的无理要求。由此得不出【不允许Δx=0】的结论。

2)

①师先生问【你薛问天先生突然冒出的 β(Δx)，与【师先生说〖在 Δx=0 时，o(Δx)=o(0)〗】又有什么关系呢？】

师先生竟然不知道Δy=AΔx+o(Δx)，说的就是β(Δx)=Δy-AΔx，是在 Δx≠0 时，比 Δx 更高阶的无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)。即β(Δx)就是式中o(Δx)所说的那个函数变量。

师先生所说的〖在 Δx=0 时，o(Δx)=o(0)〗，错误如此明显，竟然不知错在哪里。既然β(Δx)是式中o(Δx)所说的那个函数变量。因而这个函数变量当Δx=0时的函教值当然是β(0)=A*0=0，怎么能是o(Δx)=o(0)呢？更何况〖高阶无穷小的这个记号o(Δx)，中的o不是函数符号，不能用o(0)来表示在Δx=0时的函数变量的函数值。用它来表示函数值是严重错误。〗

②.要知道可微的前提只涉及Δx≠0时的情况，即在Δx≠0时β(Δx)=o(Δx)，未对Δx=0的情况提出要求，师先生所说的什么【微分定义的前提...... 在 Δx=0 时就不能同时都正确了】 ，完全是无中生有的胡言乱语，毫无道理。

2 关于 Zmn-1242 

1)我为什么说师教民先生所说的【极限理论或薛问天先生在求极限或导数时的实际操作是先加上极限符号、后去掉极限符号】不全对．应说全面，说清楚。

①就是因为【先加上极限符号、后去掉极限符号】，这个【符号】只是个表面现象，它不是求极限或导数时的实际操作的本身，操作不是加上和去掉符号，而是根据极限理论去求出极限值即导数值来，这才是操作的本身。只有薛先生说的【用极限求出导数的真正操作】，才真正说对了，把加上和去掉符号说成是真正的操作才是【答非所问、画蛇添足】。

②导数定义为【增量比的极限】即当Δx→0时Δy/Δx的极限。根据极限理论求极限时不用Δx=0时的值，即【增量比的极限】与Δx=0时增量比的值无关。由于Δx≠0 时有 Δy /Δx=2x+Δx．从而增量比Δy/Δx的极限等于函数2x+Δx的极限。由极限理论的求极限法则求出当Δx→0时2x+Δx→2x。所以求出导数等于2x。这里根本同Δx=0无关。根本不存在同时要求Δx=0又要求Δx≠0的矛盾。

师先生问【你薛问天先生强调的【求导数就是用极限理论去求出它的极限值】中的【极限值】到底是什么？你薛问天先生真的知道上述这些问题吗？】当然知道，极限概念定义得一清二楚，人人皆知。

我己说过多次，对于连续函数G(Δx)，由于Δx→0时的极限值等于Δx=0时的函数值，即lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，而且只对连续函数成立，这是证明了的定理，在Δx≠0时极限值等于Δx=0时的函数值。这个Δx≠0同Δx=0没有矛盾。因而对连续函数可以采用这个求极限的方法。这就是师先生所举的过程。【因为后边的函数 2x+Δx 是连续函数，而前边的函数 Δy /Δx 是 非连续函数．对于连续函数 G(Δx) 求极限时，已严格证明lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)。”薛问天先生的这句话，说明薛问天先生在求 y=x^2的导数时，是用令他认为的连续函数 2x+Δx 中的 Δx=0 的方法求出导数 2x+0=2x 的．】没有错，对于连续函数完全可以用这种方法求极限。把这种由连续函数的定理求的极限方法，认为是【在上述这些论述中，前、后出现了 Δx≠0 的条件，中间出现了 Δx=0 的方法．这说明，薛问天先生在【用极限理论去求出它的极限值】时，也产生了与莱布尼茨、牛顿的无穷小量分析法或第一代微积分中存在的 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾，即出现了贝克莱悖论或第二次数学危机或微分之谜或微积分之谜．】这种说法是完全错误的。这是证明了的定理，在Δx≠0时极限值等于Δx=0时的函数值。这个Δx≠0同Δx=0没有矛盾。因而对连续函数可以采用这个求极限的方法。

至于对一般函数求极限的方法。师先生把它总结为这样：【那么极限理论把上述函数的导数或增量比的极限又定义成什么值了呢？其实就是定义成了把恒不等于 0 的 Δx 造假成 Δx=0 时或是强行令本来≠0 的 Δx=0 时的值.】这纯粹是师先生的胡言乱语，我们求2x+Δx的极限，完全是根据求极限的三条原则求出2x+Δx的极限等于2x+0= 2x。根本不是师所说的【强行令本来≠0 的 Δx=0 时的值。】

师先生明目张胆地说【我曾多次狂妄地(薛问天先生语)警告极限理论或薛问天先生，如果你胆敢说函数 y=x^2 的导数或增量比的极限不是这个造假成的值 2x+0=2x，那么极限理论或薛问天先生定义的函数 y=x^2 的导数或增量比的极限值肯定错误！你薛问天先生始终不敢说我的这个警告错误及其错误的理由，】

我己说过多次，我们求2x+Δx的极限，完全是根据求极限的三条原则求出2x+Δx的极限等于2x+0= 2x。根本不是师所说的【强行令本来≠0 的 Δx=0 时的值。】当然【不是这个造假成的值 2x+0=2x，】师先生的【造假成的值】当然是错误的。

2)，在求函数 y=x^2 的导数的例子中，有这个等式:  (2xΔx+ΔxΔx)/Δx=2x+Δx，当然求约分的条件是Δx≠0，因而这个等式成立的条件是Δx≠0。但是这绝不是指等式中等号两端的两个函数的定义域是Δx≠0。师先生的错就错在这里，把等式成立的条件错误地当成是等式两端函数的定义域了。

当然，通常也是用等式来作函数的定义的。例如我们如果写出等式F(Δx)=2x+Δx(Δx≠0)。就表明此函数F(Δx)的定义域是Δx≠0。但是我们并没有这样写。

要注意很多等式並不是在定义函数，而是在表明等式的成立和成立的条件，在这种情况下，就不能认为它表明了定义域。例如我们要表明绝对值函数的特性，写出|x丨=x. (x≥0)，只是说明x≥0是此等式成立的条件，而绝不是指绝对值函数丨x丨和一次函数x的定义域是x≥0。因而由等式(2xΔx+ΔxΔx)/Δx=2x+Δx，(Δx≠0)，就说函数2x+Δx的定义域是Δx≠0是错误的。

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