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Zmn-0853 薛问天: 概念要清晰，谈无穷集合的给定。评林益先生的《0851》
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Zmn-0853 薛问天: 概念要清晰，谈无穷集合的给定。评林益先生的《0851》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0851》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
概念要清晰，谈无穷集合的给定。
评林益先生的《0851》
薛问天
读了林益先生的《0851》，我感到最重要的就是要求我们在思考数学问题时，概念要非常清晰。而这正是数学的特点，也正是我们学习数学，重点要训练和培育的思维能力，概念要清晰，逻辑要严密。
1，关于区间序列极限的定义。
我们知道关于序列的极限，说的是实数序列的极限。实数序列an，当n→∞时，它的极限是a，(记作当n→∞时an→a)是有严格定义的。如果对任意的实数ε>0，都存在自然数N，当n>N时，|an-a|<ε，则称n→∞时an的极限是a。这里是说的实数序列的有限极限。
不过我们可以很容易把它推广到区间序列的极限上来。因为区间是由它的端点决定的，它的端点是实数，因而我们可以用端点序列的极限来定义区间序列的极限。
【定义。区间序列的极限】，设有区间序列Cn=[an,bn]，n=1,2,3,...。如果n→∞时有an→a，bn→b，则将区间C=[a,b]称为区间序列Cn的极限，记作当n→∞时，Cn→C。当然在此定义中也可以是开区间或半开半闭的区间。
有了这个定义，我想就容易解释林益先生的例子。
2，A∞和B∞是n→∞时An和Bn的极限。
区间是由端点决定的集合。区间[0,1]=An∪Bn，An∩Bn=∅。要说清其中的区间An和Bn是由其端点定义的。An＝[0, 0.99...9(n个) )， Bn=[0.99...9(n个),1]。n=1,2,3,...，这都是区间的序列。它们是由左端点0，右端1，和中间端点序列0.99...9(n个),n=1,2,3,...，所决定的。
林益先生说【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞， [0,1]=A∞∪B∞， A∞∩B∞=∅，】
我在《0847》中说的是〖如果中间端点取的是无穷小数0.999...，当然这也可以将[0,1]分成两个集合A和B，[0,1]=A∪B，A=[0,0.999...) ，B=[0.999...,1]，A∩B=∅。〗林先生把我用A和B表示的区间，另用了两个符号，用A∞和B∞表示，当然也是可以的。因为这只是个符号，说清楚就行了。但是我要提醒以下几点。
①，这个符号是林益先生提出的，所用的符号，在数学分析中并无A∞和B∞这种符号。
②，要明确说明A∞和B∞的定义是由它的端点所决定的两个确定的区间，A∞=[0,0.999...) ，B∞=[0.999...,1]。
③，由于端点0和1是常数是它自己的极限，而中间端点的无穷小数0,0.999...，是有穷小数的无穷序列0.99...9(n个),n=1,2,3,...，的极限，所以A∞和B∞是当n→∞时区间序列An和Bn(n=1,2,3,...)的极限。即当n→∞时An→A∞，Bn→B∞。
④，A∞和B∞并不是序列An和Bn中n=∞的成员，当然也不是序列的最后的项，或序列达到的项。
林益先生说【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞，】显然没有说清楚。应当说清楚是「A∞=[0,0.999...) ，B∞=[0.999...,1]。」「A∞和B∞是林益先生给这两个符号，它表示确定的两个由端点决定的区间。」「A∞和B∞是当n→∞时，区间序列An和Bn(n=1,2,3,...)的极限。即当n→∞时An→A∞，Bn→B∞。」「A∞和B∞并不是序列An和Bn中n=∞的成员，」
林先生说【可惜按照构建步骤过程中没有极限运算过程， A∞和 B∞都只能按照原来的延伸规律延伸，不可能出现改变延伸规律的过程，因此也 就不可能出现A∞和B∞改变属性的过程，】
这里不是【没有极限运算过程】，而是 「当n→∞时An→A∞，Bn→B∞。」
A∞和 B∞都是确定的区间，当然不能【延伸】，而【按照原来的延伸规律延伸】的是区间序列An和Bn，而不是确定的区间A∞和B∞。
区间序列An，Bn和确定区间A∞，B∞是不同的区间，它们的属性是由它们各自的条件决定的，可以有相同的属性，例如[0,1]=AnUBn，An∩Bn=∅，同时也有[0,1]=A∞UB∞，A∞∩B∞=∅，这个属性是相同的。但也有不相同的属性，如所有的区间An的长度<1，但A∞的长度=1，所有Bn的长度>0，但B∞的长度=0。
3，要分清无穷序列An和Bn的构造过程，同这两个确定的区间A∞和B∞的属性沒有直接关系。
林先生说【因此A∞还是半闭半开区间， B∞还是闭区间，尽管长度无限逼近于 0，极限为 0，但是不会定义等于 0，否则，如果长 度等于 0，操作步骤的延伸必然完成结束，不在延伸，处于相对静止的状态，只能是有限过程，与连续区间可以无限等分矛盾。】
要知道A∞是半开半闭区间，和B∞是闭区间是由它的定义: 「A∞=[0,0.999...) ，B∞=[0.999...,1]。」所决定的，同An和Bn的构造没有关系，而不是【因此】而推出的。
【长度无限逼近于 0，极限为 0，】指的是Bn，当然【不会定义等于 0，】。但是长度【定义等于1】的指的是A∞，因为￣A∞的长度定义为它的端点差: 0.999...-0=1。长度【定义等于0】的指的是B∞，因为B∞的长度定义为它的端点差: 1-0.999...=0。
区间B∞的长度等于0，同无穷序列An和Bn分别形成的两个确定的无穷区间集合{An|n∈N}和{Bn|n∈N}的构造过程，没有絲毫的关系。这两个无穷集合的构造过程已经完成，集合的构造过程【不在延伸，处于相对静止的状态。】无穷序列An和Bn中的区间构成的是无穷集合。无穷集合的构造过程可以【完成结束】，但它不是【有限过程】。构造的是无穷集合，这同区间[0,1]无限可分不存在任何【矛盾】。
4，从概念上要分清无穷序列An和Bn同区间A∞和B∞的不同。
林先生说【因此只有B∞还是闭区间，才能保证操作步骤继续进行，这样一来B∞还是包含A∞的部分，因此客观上，不包含 A∞的部分的真正意义B∞是不存在的，当然B∞就是用自身元素无法表示的集合。】
这段话说得不对，区间A∞和B∞是由它的确定的实数端点所决定的确定的区间，不存在什么需要【保证操作步骤继续进行】。它的定义「A∞=[0,0.999...) ，B∞=[0.999...,1]。」完全肯定了B∞中不会保含A∞中的任何部分，A∞∩B∞=∅。它的定义保证了它的客观存在而且是可以用它自身的元素表示的集合B∞=[1,1]={x|1≤x≤1}={1}。
林益先生说【按照区间用变量和运算符号的表示法则，区间A∞=[0， 0.999⋯)应该表示为 0≤x<0.999⋯，区间B∞=[0.999⋯， 1]应该表示为 0.999⋯≤x≤1。 从这个具体实例可以得出结论， 0.999⋯<1 是合理的， 0.999⋯=1 是不妥的，】这是林益先生的逻辑推理的错误，要知道从【0.999...≤x≤1】推不出这个结论: 【0.999⋯<1 是合理的， 0.999⋯=1 是不妥的，】。因为由0.999...≤1推不出0.999...<1，而且在0.999...=1的条件下，也滿足0.999...≤1。
林先生说【在没有极限运算过程的条件下，直接取极限是不符合极限运算规则的，没有理论依据。 [0,0.999⋯) 的长度应该是极限 1，不是真正的意义上的 1， [0.999⋯， 1]长度应该是极限 0， 不是真正的意义上的。】
我们在前面已经说过，林益先生说【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞，】显然没有说清楚。说清楚就是极限，就是〖A∞和B∞是当n→∞时，区间序列An和Bn(n=1,2,3,...)的极限。即当n→∞时An→A∞，Bn→B∞。〗依据极限的理论根据，A∞=[0,0.999⋯) 的长度应该是当n→∞时序列An长度的极限，是真正的意义上的 1。B∞= [0.999⋯， 1]长度应该是当n→∞时序列Bn长度的极限， 是真正的意义上的0。用极限的理论推出的长度和用它们的端点算出来的长度完全一样，可见极限理论的正确性。
林益先生说【无穷小的极限是 0，但是无穷小真正的意义(定义)是大于 0 的。 因此区间B∞=[0.999⋯， 1]绝对不会是只含一个元素 1 的闭区间，因为只含一个元素 1 是单点集，不构成区间，更何况任何分得点 1 的呢？这不符合正 常人的思维，也不符合事实。如果说有理论依据，这个理论依据也可能存在不妥之处，这也是正常的。】
在这里说的是B∞是Bn的极限，刚好这里Bn的长度>0，但它的极限B∞的长度=0，同无穷小的情况完全一样。因为0.999...=1，所以区间B∞=[0.999⋯， 1]=[1,1]。要知道[1,1]就是只含一个元素 1 的闭区间，只含一个元素 1 的单点集。[1,1]={x|1≤x≤1}={1}，构成长度为0的特殊闭区间。这完全符常人的思维，符合事实，也符合有关闭区间的数学定义。这很正常，不存在任何不妥之处。
林益先生说【有穷小数的序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯确实不可能最后完成，否则就是有限，因为无穷是有限的不断 延伸，不能完成结束，不过小数的位数是趋向无穷的。】
这是一个基本观点的问题，必须讲清楚。林益先生说的【确实不能完成】指的是什么？如果说的【完成】是指序列An，能达到最后一个项Ax，在Ax后沒有项了，当然这样的【完成】，是不可能的。因为无穷序列并无此最后一项。有穷小数的无穷序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯并不存在位数最多的有穷小数。但是我们说的【完成】不是这个意思。现代实无穷观的观点并不认为无穷序列有最后一项，而是认为由无穷序列中所有项构成的集合是存在的确定的无穷集合。这个无穷集合的构造是【完成】的。也就是说无穷序列中的所有项都属于此集合了，此集合的元素不能再增加了，再增加元素就不是此无穷序列的项了，因而不能再增加元素了。元素是确定的，不能再增加。
也就是说，我们说有穷小数的序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯确实可以完成，是指这个无穷序列可以完成，是指这个序列中的所有有穷小数构成的集合是个确定的集合，这个无穷集合的构造是完成的。要特别注意，这个无穷序列的完成，无穷集合的存在，并不意味着无穷序列存在最后一项。更不意味无穷小数0.999...属于此集合。当然也不意味着这个集合【是有限的】，它是无穷集。
5，概念清晰地对待无穷集的给定。
林益先生最后提出了一个有趣的问题，我把它归结陈述如下。有穷小数的序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯中的所有这无穷个有穷小数，确实可以构成一个由这些有穷小数构成的无穷集合，但它并沒有构成无穷小数。无穷小数0.999...並不在其中。但是，在定义无穷小数b=0.b1b2b3...时，构造了由b1，b2，b3，...构成的无穷位集合。为什么就说此构成了无穷小数。这不是同样的吗，为什么是不同的结论。
要解决这个问题，最重要的就是要求我们在思考数学问题时，概念要非常清晰。而这正是数学的特点，也正是我们学习数学，重点要训练和培育的我们思维能力，概念要清晰，逻辑要严密。
我们知道无穷集合，不可能同时把它的所有元素同时呈现在我们的面前。那我们怎样给定一个无穷集合呢？人类想出了一种办法，就是说给定一个无穷集合，并不要求把它的元素全部呈现出来，而是只要能给出一个方法，通过我们思维的判断推理可知，集合中的任何元素都可以用这种方法产生，而用这种方法产生的都是集合的元素，那么我们就承认给出了这个无穷集合。
例如，序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯。我们承认这是一个给定的无穷序列。但我们并沒有给出它所有的元素，为什么我们承认它是给定的确定的无穷序列呢，因为我们给出了一种方法，说这个序列是由每个小数位都是9的n位有穷小数构成的，n是所有的大于0的自然数。也就是说我们并没有直接给出这个无穷序列的所有项，但是给出了一个方法，由这个方法可以(而且只能)产生这个序列所有的项，只要给出了这个方法，我们就认为，就承认给出了这个确定的无穷集合。
再例如无穷小数b=0.b1b2b3...，这里涉及小数位这个有序的无穷集合{b1,b2,b3,...}。只有给定了这个无穷集合，才能说给定了这个无穷小数。同样我们不可能把这无穷个bi全部直接给出来，但是只要给出一种方法能(且只能)产生所有这些bi，我们就承认给出了这个无穷小数。例如「令对所有的i有bi=9」，就承认产生了无穷小数0.999...，因为这给出了产生所有位数bi的方法。「令对所有的i有bi≠aii」，给出了产生所有位数bi的方法，就产生了康托尔定理证明中不等于序列(1)中所有实数的实数。
通过上面的例子可以㸔出序列0.9， 0.99， 0.999， ⋯，和无穷小数0.999...都可以用给出它的产生方法，来给出。但是无穷小数0.999...，并不在序列0.9， 0.99， 0.999， ⋯，之中。这说明无穷小数并不是由此序列形成的，给定的。无穷小数不是由有穷小数序列的延伸而生成的，而是由给定「产生所有无穷个位数的方法」给定的。无穷小数不是由序列生成的并不能说无穷小数就不能给定。
所以说林益先生文中所说的【康托尔在对角线证明中构建小数b的步骤与构建小数的序列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯的步骤完全相同， ...而因此b也只能为有限小数，这就是说康托尔的证明是无效的。】这种说法是错误的。要理解这个道理，就需要思维的概念清晰和逻辑细致和严密。
M6，正确理解极限概念。
由以上分析我们得知无穷小数0.999...，并不在序列0.9， 0.99， 0.999， ⋯，之中。这说明无穷小数并不是由此序列形成的，给定的。但是由极限理论可知，无穷小数0.999...，是序列0.9， 0.99， 0.999， ⋯，的极限。在数学分析中认为无穷小数是无穷级数，即0.999...=0.9+0.09+0.009+...。按无穷级数的定义，无穷级数的和定义为部分和序列的极限。即刚好此无穷小数0.999...等于部分和序列0.9， 0.99， 0.999， ⋯的【极限】。
可林益却在文中说【应该承认无穷小数 0.999⋯，它不过是无穷数列 0.9， 0.99， 0.999， ⋯的缩写而已。】【极限】怎么能说成是【缩写】呢，这需要概念更加清晰，而不容混淆。
林益先生说的对，【数学是严密的学科，实践是最好的判断标准，稍微不慎就会犯错误。】关键是理论要联系实际，确确实实照此理论行事。
参考文献
Zmn-0851 林 益：非常感谢薛问天老师的评论
Zmn-0847 薛问天: 无穷小数并不是相应的有穷小数的无穷序列。评林益先生的《0846》
Zmn-0846 林 益： 用自身元素无法表示的集合
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