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Zmn-0844李振华：炮轰现代数学！长线段不能与短线段一一对应的数学证明。把积分推广到集合。
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Zmn-0844李振华：炮轰现代数学！长线段不能与短线段一一对应的数学证明。把积分推广到集合。
【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
炮轰现代数学！长线段不能与短线段一一对应的数学证明。
把积分推广到集合。
李振华
今天这篇文章是李先生最精彩，最重要的文章。
我在以前的文章指出，不可数无法相加是自相矛盾的讲法、而今天，李先生就要做不可数相加这件事。李先生将进行一系列神奇的操作，把不可数个点加起来。把不可数条线段加起来，把不可数相加转化成积分。
康托长线段的点与短线段一样多的观点，长期占据着学术界，李先生将彻底推翻这个观点，从而证明这个观点是荒谬绝伦的，蕴含着矛盾。今天在这里的证明，将是最有力的反击。证明支持了一个直觉上毋庸置疑的观点：长线段就拥有更多的点。
李先生还成功地将积分理论推广到集合，允许被积函数中出现集合，允许积分变量为半开半闭区间，并因此而发展出集空间的概念。我会向大家展示如何对集合进行积分，及其对应的几何意义。
基本定义：
a:x元素a的重数是x。
A+B={x:(A(x)+B(x))|x:A(x)属于A，x:B(x)属于B}
A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={(x+y):(A(x)*B(y))|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}={x:(A(x)*B)|x:A(x)属于A}
B^{x}={{x:y}:B(y)|y:B(y)属于B}
A^(B+C)=A^B*A^C，A^(BC)=(A^B)^C 运算律，非定义。
减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
自然数集合定义：n={0:n}。
一、长线段无法与短线段一一对应。
为了帮助读者理解这个证明，我会先列出一些基本的公式和记号。
当分母为集合时，也可以进行通分。
若n是正整数，众分母{0,n,2n,3n,.....}可通分为{0,1,2,3,.....}。若x是正实数，众分母{0,x,2x,3x,....}可通分为[0,∞)。
1/{0,x,2x,3x,...}={0}-{x}。
{x}=1-(0,x]/(0,∞)=1-[0,x)/[0,∞)。
积分上限为b，下限为a，被积函数为f(x)的积分记为∫f(x)dx|[a,b]。
我们以(0,1]不可通过y=2x与(0,2]一一对应为例子。
定理1 当x取遍(0,1]中的所有实数时，2x无法取遍(0,2]中的所有实数只能取遍(0,2]/2中的所有元素。即x∈(0,1],∑{2x}=(0,2]/2。
注：(0,2]/2是元素重复度为0.5的模糊集，是(0,2]的子集。
(0,1]可通过y=2x与(0,2]一一对应，这是印在课本上的结论，但是这里指出，这是办不到的。
李先生会给出两种证明方法，第一种是通过几何来理解，第二种使用了集合积分。
证明：
x∈(0,1],∑{x}=(0,1]。这个是显然的。
x∈(0,1],∑{x}-∑{2x}=x∈(0,1],∑({x}-{2x})=x∈(0,1],∑{x}*({0}-{x})=x∈(0,1],∑{x}/{0,x,2x,3x,.....}=x∈(0,1],∑{x}*[0,x)/[0,∞)=x∈(0,1],∑[x,2x)/[0,∞)
现在的问题是：x∈(0,1],∑[x,2x)等于什么？
(0,1]*[0,1)是正方形，x∈(0,1],∑[x,2x)就是那个斜边是正方形对角线，直角边等于正方形边长，面积为正方形一半的等腰直角三角形，所以x∈(0,1],∑[x,2x)=(0,1]*[0,1)/2。
所以，原式=(0,1]*[0,1)/2/[0,∞)=(0,1]/2-(1,2]/2=(0,1]-(0,2]/2。即x∈(0,1],∑{x}-∑{2x}=(0,1]-(0,2]/2，又因x∈(0,1],∑{x}=(0,1]，所以x∈(0,1],∑{2x}=(0,2]/2。
部分等于整体对部分可数集是可以成立的，但对线段则不可以，假设可以，将蕴含一个正集合等于负集合的矛盾。
更一般地，有x∈(0,1],∑{kx}=(0,k]/k。
二、把积分理论推广到集合。
我们以∫[0,x)d(0,x]|[0,(0,1]]为例子。一是使用定积分的定义进行计算。二是使用牛顿公式进行计算。
基于定义的计算：
会用到的极限：
当x趋于0时：
[0,x)+[2x,3x)+[4x,5x)+.....=[0,∞)/{0,x}趋于[0,∞)/2。2的集合论定义是{0,0}。
[0,x)+[2x,3x)+[4x,5x)+.....+[1-2x,1-x)趋于[0,1)/2
这说明变化的传统集合可以模糊集合为极限。
会用到的规律：
写n行数，第n行有n个从n开始的连续自然数，那么共有(n+1)/2组连续的自然数，分别从1,3,5,...,n开始，每组n个，n是奇数。
(1/n,2/n]*[0,1/n)+(2/n,3/n]*[0,2/n)+(3/n,4/n]*[0,3/n)+....+(1-1/n,1]*[0,1-1/n)=(0,1/n]*([1/n,2/n)+[2/n,4/n)+[3/n,6/n)+.....+[1-1/n,2-2/n))=(0,1/n]*{1/n,2/n,3/n,.....,1-1/n}*([0,1/n)+[2/n,3/n)+[4/n,5/n)+.....+[1-2/n,1-1/n))=(1/n,1]*[0,1)/{0,1/n}
当n趋于无穷大时，原式趋于(0,1]*[0,1)/2=∫[0,x)d(0,x]|[0,(0,1]]
用牛顿公式计算：
∫[0,x)d(0,x]=∫((0,x]+{0}-{x})d(0,x]=∫((0,x]+1/{0,x,2x,3x,....})d(0,x]=∫((0,x]+(0,x]/(0,∞))d(0,x]=∫((0,x]*(1+1/(0,∞)))d(0,x]=∫((0,x]*[0,∞)/(0,∞))d(0,x]=(0,x]^2*[0,∞)/(0,∞)/2
把x=1,0代入上限，下限，得(0,1]^2*[0,∞)/(0,∞)/2=(0,1]*[0,1)/2
用集合积分证明定理1：
求和函数*{-x}=被积函数
x∈(0,1],∑{2x}=∫{x}d(0,x]=∫(1-(0,x]/(0,∞))d(0,x]=(0,x]-(0,x]^2/(0,∞)/2
把x=1,0代入上限，下限，得(0,1]-(0,1]^2/(0,∞)/2=(0,2]/2
从这里可以看出，如果被积函数是一个点，那么积分结果是线段，如果被积函数是线段，那么积分结果是平面区域。
思考题：
积分变量可以是全开区间和全闭区间吗？
当x趋于0时，[0,∞)和{0,x,2x,3x,.....}的极限谁大？
[0,1)所有重复度的和是无穷大，这个无穷大的性质是超实数还是康托式的超限数？
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