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Zmn-0834 侯小山：三谈开区间(0,1) 共有多少个小数，及文清慧对此文的评语(5)。

已有 982 次阅读 2022-2-28 10:50 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0834 侯小山：三谈开区间(0,1) 共有多少个小数，及文清慧对此文的评语(5)。

【编者按。这是侯小山先生发来文章及文清慧对此文的评语(5)。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

文清慧对本文的评语。对侯小山先生的第5次评语。

一，关于定理1的错误。

侯小山先生用数学归纳法所证明的是

「对于所有非0的自然数n，全部n位非0有穷小数{0.a1a2a3...an}的个数等于10ⁿ-1。」

这从他用数学归纳法证明中 n=1，n=m-1和n=m时所论证的内容可以看清，他证明的是「全部n位非0有穷小数 {0.a1a2a3...an}的个数等于10ⁿ-1」，并沒有证明，而且也证明不了【开区间(0,1)中的所有小数的集合…，共有 10ⁿ −1个小数。】因为开区间(0,1)中的所有小数的集合，是除对所有的n，令所有n位有穷小数构成并集外，还要同所有的无穷位小数集合构成并集。我早已指出侯小山的错误关键在于，他没有认清，小数不仅仅有n位有穷小数，还有无穷位小数。

另外，此定理的叙述【开区间(0,1)中的所有小数的集合…，共有 10ⁿ −1个小数。】本身就有问题，这个n是多少？要知道，任何自然数n都是有穷数，10ⁿ-1也是有穷数。难道你认为【开区间(0,1)中的所有小数的集合】是有限集合吗？

所以他说的【所以 n 等于非0的任意自然数时，定理都成立】是错误的。他证明的是「全部n位非0有穷小数 {0.a1a2a3...an}的个数等于10ⁿ-1」，并沒有证明【开区间(0,1)中的所有小数的集合，共有可数无穷多个。】从而他的推论:【开区间(0,1)的全体小数是可数的】，【实数集 R 是可数的】，【康托尔的实数集不可数定理是假定理】，也完全是错误的推论。

另外，在符号表示上，侯先生并未说清他的符号{0.a1a2...an}_n=1^∞，确切地表示的是什么？是所有n位有穷位小数的集合吗？是否还包括无穷位小数？

二，说【康托尔的实数集不可数定理是假定理】是错误的。

侯先生说【为什么说康托尔的实数集不可数定理是假定理？是因为它的对角线法是假证明。为什么说对角线法是假证明？是因为对角线法使用了假等式：有限小数等于无限小数，如0.5=0.4999...。0.5是有限小数，0.4999...是无限小数， 0.5=0.4999...就是自相矛盾的违反小数定义的假等式。】

说明侯先生对有限小数的两种等值的无穷小数的表示缺乏最基本的认识。我们知道所有的有限小数，在表示成无穷小数时，都有两种等值的表示，例如0.5可以表示为0.5000...，也可以表示为0.4999...这样的无穷小数，一个以无穷个0结尾，一个以无穷个9结尾。而且它们的值是相等的。无穷小数可以由无穷级数的和来定义它的值，即等于部分和序列的极限。显然0.5000...的值是序列0.5，0.50，0.500，... 的极限，等于0.5。而0.4999...的值是序列0.4，0.49，0.499，0.4999，...的极限，也等于0.5。因而侯先生说这【是自相矛盾的违反小数定义的假等式】是完全错误的，是他根本不了解无穷小数的值的定义是什么。把真正的定义说成是【假等式】。

侯先生所列的不等式链

其中的前半段是正确的

后半段是错误的，应是

侯先生所谓的【开区间(0,0.5)的无穷大小数列 B】，根本就不是什么数列，就是一个值0.5 。因而侯先生所说的【把无穷数列......全部漏掉了】，完全是虚构的谎言。

另外侯先生用有限小数的双重表示来否定康托尔的实数不可数定理本身就是错误的。因为有限小数只有可数无穷个，它对实数的不可数不会有丝毫的影响。

另外侯先生在推导0.5＞0.4999...的推理中用到了这样一个错误的推理【如果对所有的n，数列an>bn，则lim_n_→∞an＞lim_n_→∞bn。】正确的结论不是大于 "＞"，而是大于或等于"≥"，即应是【如果对所有的n，数列an>bn，则lim_n_→∞an≥lim_n_→∞bn。】因而推不出0.5＞0.4999...。

再有，侯先生说【假如 0.5=0.4999... 成立，就会使每一个实数 E 都不是唯一的和确定的，都成了多码和多值的，这是很荒谬的，】这又是侯先生认识上的错误，在无穷小数的表示中只有有限小数存在一数两码的表示，其它的无穷小数都是一数一码，不存在一数两码的问题。对于有限小数的一数两码问题，可以用无穷级数的和等于部分和序列的极限来定义无穷小数的值，用此定义可以证明虽是两码但其值相同，很好地解决了这个问题。这里已不存在任河矛盾。

三，对回复的三点意见的评论。

侯先生说【第一文主《Zmn-0825》评论中的定理：“(0,1)中包含的无穷小数的集合，它的基数是不可数的” 是错误的；】于是他给出了一个非常荒唐可笑的可数的证明。他说【因为任意一个无穷小数的集合都是可数的】；【 因为任意 n 个无穷小数的集合是可数的】; 【 因为任意 n +1个无穷小数的集合是可数的】，【所以根据数学归纳法可知：任意多个无穷小数的集合都是可数的。】

是的，我们可以证明对任意自然数n，由任意n个无穷小数组成的集合都是可数的。而且是有限可数的，不是可数无穷的。这能说明什么？这能说明(0,1)中全体无穷小数可数吗？没想到侯先生的逻辑竟然连「(0,1)中包含的全部无穷小数的集合」和「对任意自然数n，包含n个无穷小数的集合」都分不清楚。这样的逻辑水平，怎么讨论数学问题？

关于第二点，侯先生把无穷位小数集写成 {0.a1a2...a_∞}就是个错误。无穷位小数0.a1a2...没有最后一位，把最后一位写成是a_∞就是个严重的错误。

另外用无限乘积，用极限来求所有无穷位小数的个数(基数)，就是毫无理论根据的错误作法。更何况把此极限用所谓的无穷位编码数(无穷小数的镜面反射)来表示，以及认为无穷小数有最小位数(如所谓无穷小小数)，和无穷位编码数有最高位数，这些则更是错上加错。这不是数学理论，而是侯先生的主观臆想。说【这些就是我的根据】，当然是不对的。因为论述的根据必须是可靠的经过论证的理论，而不能把没有经过任何论证的主观臆想作为根据来使用。

关于第三点，侯先生谈到他给出的一些定义。要知道给出定义不允许产生矛盾，产生矛盾的定义就是错误的定义。

定义1的问题，①既然把无限′小小数定义为0.1的无穷乘积，无穷乘积定义为有穷乘积序列的极限，而0.1的无穷乘积等于极限是0，lim_n_→∞(0.1)ⁿ=0。所以你定义的无限小小数等于0，你说你的无限小小数大于0就产生矛盾。②无穷小数没有最低位，可你的无限小小数有最低位，该位的值等于1，这也是矛盾。

定义2的矛盾是由定义1的问题引起的，定义1定义了无限小小数等于0 ，所以超限小小数也是等于0。

定义3和定义4的问题是由定义1定义2的问题引起的，可知无限大小数和超限大小数都等于1，没有任何意义！

把无限小小数看作0，不是别人的看法，是由你的定义推出的。是你的定义有矛盾，是错误的定义。要么改变你的定义，无限小小数不用无穷乘积来定义。无穷乘积是部分乘积的极限，(0.1)ⁿ的极限是0的事实，是已有的定义，你也改变不了。

所以说侯先生给出的定义是产生矛盾的定义，而产生矛盾的定义就是错误的定义。把错误的定义献给理解你的人，你认为还有意义吗。

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