Zmn-0845 薛问天：道理想清楚，这里沒有矛盾，就不会感到奇怪了。评林益先生的《0843》。

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道理想清楚，这里沒有矛盾，就不会感到奇怪了。

评林益先生的《0843》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

林益先生说他【想到一个奇怪的问题】。其实主要是对其中的道理沒想清楚，把道理想清楚，问题解开了，其中沒有任何矛盾，就不奇怪了。

一、将区间[0,1]中的所有有理数都挖去，剩余的是不可数无穷多个无理数。

1，林先生问【将区间[0,1]中的有理数都挖去，剩余的是离散的开区间还是离散的无理数点集呢？】

正确地回答是要分有穷和无穷的的情况来说明。

如果挖去有穷个有理数。则剩余的是有穷个开区间的并集。自然【那么每一个开区间必然是连续开区间，必然包含无穷多个实数，按照实数的稠密性和有理数的稠密性，必然也应该包含有理数， 】因为你只挖去了有穷个有理数，所以在剩余的区间中还有未被挖去的有理数，这很正常，没有任何矛盾。

我们注意，区间[0,1]中的有理数有可数无穷多个。在挖去过程中，每挖去一个有理数的结果，实际上是挖去了有穷个有理数，剩余的是有穷个开区间的并集。

当我们考虑的是挖去所有的有理数，就要考虑所有以上的挖去一穷个有理数的动作。这样的动作有无穷多个。就如同我们说每个自然数都是有穷数，但是所有的自然数，就构成一个无穷集合。但所有自然数中没有最大数。从而在挖有理数的过程中，可以考虑挖掉所有的无理数。但并不存在挖最后一个有理数的情形。沒有最后一次的挖去。所以不存在挖去最后一个有理数剩下的区间。考虑的是所有的挖去动作剩下的区间。我们知道每次动作只产生有穷个开区间，所有的动作就产生了所有可能的可数无穷多个开区间。但是我们知道所有的区间都是在某次挖有穷个有理数时所剩下的区间，其长度不等于0，其中都有无穷个有理数和无理数。但是所有的这些区间有可数无穷多个。

请注意，当我们考虑挖去所有有理数动作完成后，知道每次在挖去过程中、剩余的所有这些开区间，有可数无穷多个。这些区间是挖去过程产生的剩余区间，并不是最后所剩余的点集。因为其中还包含有当时尚未被挖去的有理数。

所有的这些在挖去无理数的过程中所产生的剩余的区间，形成了很多个开区间套(可以证明这样的区间套的个数是不可数无穷多个)。而这些开区间套的交集(即属于这区间套中所有的区间的点)，才是挖去所有有理数后，最后所剩下的点集。

每个开区间套的交集是一个无理数 (严格点说，开区间套，如果从某区间开始，以后的左或右端点永远相等，则区间套的交集是空集。否则交集才是无理数)，而这些开区间套的交集才是最后所剩下的点集。所以将区间[0,1]中的所有有理数都挖去，剩余的是这不可数无穷多个无理数。

不过要注意，这无理数的无穷集合是「稠密的」，不是「离散的」。

2，林先生说【区间[0,1]中的有理数是离散的点集】，是不对的。

区间[0,1]中的有理数集合是「稠密的」，不是「离散的」。林益先生应对是「稠密的」，和是「离散的」的确切的数学定义有正确的认识和理解。「离散的」的确切的意思是「不是稠密的」。

3，林先生问【是否某个开区间都全部包含无理数呢？是否无理数能够构成连续区间呢？ 】

由于每个无理数都是某个开区间套的交集，并不形成开区间。所以不存在任何开区间【全部包含无理数】，也不可能【无理数能够构成连续区间】。

把这个道理想清楚了，这里没有矛盾，就不感到奇怪了。

二，要真正理解数学的逻辑缜密性。

1，要把理论的构建同在已构件好的理论基础上的讨论分清。

林益先生文中提出了一个非常有趣的问题，他说【现在问题是区间[0,1]中的有理数都被挖去，显然就不存在有理数构成的收敛的柯西基本数列，也不存在以有理数作为端点构成的闭区间，也就必然不存在闭区间套，那么也就必然不存在用有理数作为项收敛的柯西基本数列和以有理数作为闭区间端点的闭区间套，也就必然无法利用极限来定义无理数，那么挖去有理数后剩余的是否是无理数呢？ 】

这是典型地混淆了理论的构建和在构建好的理论的基础上讨论问题。我们举个简单的例子。例如在理论上讲，负整数是由正整数通过减法而构建出来的。在构建上讲，没有正整数就沒有负整数。但是在正负整数都构建好以后，我们讨论如下问题，问在整数集合中挖去正整数，剩下的是否是负整数。回答当然是肯定的，剩下的是负整数，没有任何问题。因为如果你说，负整数是由正整数通过減法构建的，没有正整数就没有负整数，从整数中挖去正整数，剩下的就不是负整数了，因为正整数被挖去了，无法构建负整数。这显然是一种错误的混淆，混洧了构建好的负整数的讨论和负整数的构建的区别。因为你所问的【问在整数集合中挖去正整数，】是在你所讨论的剩余集合中沒有正整数，并不等于在理论上就挖去了正整数。这个整数集合中的负整数是已经构建好的负整数，并不需要用正整数再去重建。

我们再举个更简单的例子，问在集合{1,2,3}中挖去1，剩下的是否是集合{2,3}。回答显然是肯定的。但是你说2是1+1得到的，3是1+1+1得到的，挖去了1，就没有了2和3，因而集合{1,2,3}中挖去1，剩下的不是集合{2,3}。这样的说法能说得过去吗？

用这个道理来分析林益先生的问题就很清楚。你所讨论的【区间[0,1]中的有理数都被挖去】，只是你讨论的一个集合，並不是在理论上挖去了所有的这些有理数，只不过是无理数不在你所讨论的集合中而已，现在不在这个集合中的有理数，理论上仍然是存在的，自然由它们所构建的无理数依然存在。

林益先生说的【有理数都被挖去显然就不存在有理数构成的收敛的柯西基本数列，也不存在以有理数作为端点构成的闭区间，】是不对的。收敛的柯西基本数列，以及以有理数作为端点构成的闭区间，依然存在，它是由从挖走前的有理数构成的。这些有理数依然存在，只不过不在你讨论的【区间[0,1]中的有理数都被挖去】的这个集合中而已。

2 ，数学中的公理，定义是数学逻辑缜密性的重要内容。

林益先生说【无理数是客观存在，如√2就是边长为 1 的正方形对角线的长度，是一个确定不变的定值，在数轴上表示一个确定的定点，是一个确定的实数， 完全不需要由有理数数列去定义。】

这种认为数学概念不需要定义的观念，显然是对数学的逻辑缜密性缺乏认识的错误。

要知道为什么要在初中讲平面几何，这绝不仅仅是让学生们学点平面几何的基本知识。作为一名数学老师一定要知道，这是为了让同学学习公理，定义，定理这些最基本的逻辑方法。使同学们了解逻辑的重要性。在有些情况下，确认两个线段的相等，两个角度的相等可以不用直尺和分角器去具体量，而是用逻辑的推理，就可准确判定。这就是逻辑的力量。数学就是要借此发挥它的重大作用。要准确判断，就要逻辑严密。要逻辑严密就要严格地使用公理，定义这些基本的严格方法。

因而我们对数学有严格的逻辑要求应有最基本的了解。数学理论中，每个数学概念都要有严格的数学定义。定义中用到的也只能是是已有定义的概念和原始概念。既使是少量的无定义的原始概念也要由有关公理来规定。数学中所有的为真的命题都要由公理用逻辑推理规则正确地推出，表示为得到证明的定理。这是对数学的最基本的认识。

因而认为√2这个无理数不需要数学定义的想法是绝对错误的，√2定义为满足其平方等于2的无理数。无理数有很多逻辑上等价的定义，如十进制(或其它进制)的无穷小数，柯西无穷序列，区间套，戴德金分割等。这些定义是等价的，在逻辑上可以相互推出。在这些定义的基础上对实数基础理论的研究已相当丰富和完整。这些基础理论不存在任何矛盾和不协调的问题。

正如林益先生所说，【我的问题之所以称为奇怪，是因为......推出矛盾感到奇怪。】现在道理想清楚了，这里沒有任何矛盾，所以就不会感到奇怪了。

参考文献

Zmn-0843 林   益： 一个奇怪的问题

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