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Zmn-0848-1 许寿椿:我怎样走上四色问题“数学实验或计算实验”之路-向专门家及读者汇报.

已有 260 次阅读 2022-3-23 09:32 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0848-1 许寿椿:我怎样走上四色问题“数学实验或计算实验”之路-向专门家及读者汇报.

【编者按。下面是许寿椿先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

许寿椿:我怎样走上四色问题“数学实验或计算实验”之路

-向专门家及读者汇报:我怎样写出关于四色定理证明的几篇文字

  (三篇文章:1.四色定理数学归纳法证明的一个新尝试2.五轮图可约性的证明  3.非退化树都是极大平面图四着色之Gk特性树

 

一、        两个激励因素,大环境的影响

1.      1976年美国人四色定理计算机证明的发表

美国·阿佩尔(K. Appel)等人1976年发布了、花费1200个机器小时得到的含1936个可约构形的不可避免集,宣布证明了四色定理。这是用计算机证明数学定理的第一个最广为人知的成功案例。它的宣传形成的舆论是:计算机的使用将大大促进数学学科研究深度、广度;开辟新时代。同时,也产生了关于它的激烈争论。普遍的不满意处是:它没有给出广大读者关心的许多问题的“所以然”(如:具体例图的具体四着色;一个例图有多少四着色;四着色什么样?有什么属性;……)。只是用“蛮力地机算”宣布获得了1936个可约构形的不可避免集。有的反对者甚至说:这是用“坏方法毁掉了一个好问题”。但总的说来:数学界还是承认了这个结果。可约构形不可避免集的证明思路,是自肯普起(1879年)一直延续到1976年(近百年,实为97年),几代数学家接力式地、持续研究的成果。我借阅过阿佩尔(K. Appel)等人的论文,基本没有读懂,没有发现我感兴趣的东西(具体例图、具体四着色,……)。我自愧我自己数学没有学好。但看到计算机对数学研究的重大意义,又增添了一份希望:我毕竟是中国最早那几届计算数学专业毕业生(1957年北京大学招生简章第一次出现计算数学专业名字时,我考入该专业),我受到过难得的算法及编程训练,我或许还有点机会吧。

2.      吴方法诞生(数学定理计算机证明中国学派的形成)

只比美国人四色定理计算机证明的发表晚一年,吴文俊先生那划时代文章发表,它标志了数学定理计算机证明中国学派的产生。吴文俊先生具体谈及阿佩尔(K. Appel)等人的计算机证明时说:它只能说明计算机作为定理证明的辅助工具有巨大潜力,还不能认为这样的证明就是一种真正的机器证明。……这个四色定理的证明是一种使用计算机的特例机证,他只适用于四色这一特殊的定理。这与能够适用于一类定理有别(吴文俊文集,283页)。吴方法给出了用电脑符号处理软件,求解多项式方程组的通用方法(能够解决一大类、只要能够归结为多项式方程组的问题)。熟知地:多项式(泰勒级数)能够逼近任何函数。 近代许许多多、复杂、繁难的科技问题都归结为非线性方程或方程组;吴方法就是破解这许许多多难题的利器。吴方法受到国际学术界、技术界广泛好评。吴方法是他研究、发掘中国传统数学,特别是四元术时获得创造灵感的。吴文俊先生本来专攻拓扑学,他以拓扑学成果获得第一届国家科学一等奖(另外两位是钱学森、华罗庚;吴最年轻)。他在发现计算机对数学有巨大价值后,在当爷爷的年纪才开始学习计算机使用。他曾经是他所在单位计算机房中最常见、使用机时最多的人。他的团队自然要有计算机专业人员。我读大学时我的老师吴文达,是当时计算数学教研室实际负责人,他曾经作为吴文俊先生的合作者或副手(副主任)。我读书时的系领导程民德先生,被吴文俊先生称之为“项目组的灵魂”,申请以定理机器证明为主题的攀登项目时,程民德先生筹划,操作起到关键作用(参见《一棵挺拔的大树》508页)。我的几位学长是吴先生团队中的骨干。吴文达老师告知我“第一届数学机械化讲习班”消息,我全程听了该一周的讲座。吴文俊、程民德两位分别做开幕词、闭幕词;主讲人是高我一届的学长石赫。就在这一次讲座后,我终于拿起“电脑+软件”工具开始了自己的四色问题计算实验研究。吴文俊先生在开幕词中,论述了西方数学的公理化及中国古代数学的算法化、机械化。他说元朝之前中国的算学远远高于欧洲,那时的欧洲还是黑暗的中世纪。他说:

“在不久的将来,电子计算机之于数学家,势将与显微镜之于生物学家,望远镜之于天文学家那样不可或缺”。“计算机还提供了一种有力的工具使得数学有可能像其他自然科学那样,跻身于科学实验的行列”。他还引用恩格斯的话:“枪炮的出现消除了体力的差别,使得中世纪的骑士阶层销声匿迹,为欧洲从封建社会进入资本主义时代准备了条件”。接着吴先生说:“枪炮使得人们在体力上难分强弱,而个人计算机将使得人们在智力上难分聪明与愚鲁”。我自己可能就是拿起工具“电脑+Maple”而成为有所进步的‘愚鲁者’而已。程民德先生明确地指出:中国数学的历史应该区分为“筹算、笔算与机算”(此处“机”指计算机)三个时代。在当今的“机算时代”,数学研究及教育应该普遍以“电脑+软件”为工具。张景中、杨路两位,是我一入北大就崇敬的学长。他们二位,在极其艰苦环境下刻苦钻研。张景中学长在新疆兵团中学教授几何时,重新梳理了欧式几何的公理系统,发现了面积不变量,把繁难、必须智慧地解答的几何定理代数化,这使得他接触到吴方法后迅速地推出“几何定理计算机可读性证明”。在那之前,国内外的计算机证明都是“黑箱式”的,人无法读懂、明白、理解。杨路则把被吴文俊先生称之为比等式型定理更艰难得多的不等式型定理的计算证明,精彩地破解了。张、杨二位还对多项方程组求解的吴方法做出了重要补充、推广;使得数学定理计算机证明中国学派的成果更加多彩纷呈。吴文俊、吴文达、程民德、张景中、杨路五位是我的引路人;我是他们的追随者。上述五位中只有吴文达是我的授业老师,我还曾经在他领导的教研室工作数年,其他四位仅仅是‘一面之缘或数面之缘’而已。是他们的业绩,品格及他们学术主张(关于数学历史及数学方法论)引领了我,使得我能够坚持了以“电脑+软件”为工具的四色问题的实验研究,使得我成为有所进步、有所收获的‘愚鲁者’。

本来,美国人的那个四色定理计算机证明,和吴方法比起来,应用范围狭窄得多,功能贫弱得多;但即使在中国,知道四色定理计算机证明的人,却远远多于知道吴方法(特别包括张景中的几何定理可读性计算机证明,及杨路不等式型数学定理的计算机证明,这两个精彩结果)的人。此事值得深思。一大遗憾是:具有显著国际优势的中国学派的众多成果没有能够转化为商业软件,没有把学术优势转化为软件优势及商业优势。张景中院士主持开发的面相中学数学教育的软件已经获得可喜成果,但由于没有得到充分支持而未能发挥应有的效果。这其中缘由,与被西方卡脖子的芯片类似的政策、体制方面深层次障碍。


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 上图留下老年的吴文俊在电脑前专注地工作着的身影。他是在当了爷爷的年纪才开始学用计算机的。当今的大学生,在高中时大都学过计算机,大学中都有相当多的电脑软件课程。当今的每一位理工科大学生,都应该拿起“电脑+软件”工具,为振兴中华数学及科学技术,通过开展数学实验做出自己的贡献。这种实验研究是自己随时、随地都能够进行的。某些电脑软件是终生伴随你的知识丰富、能力强大、诲人不倦的老师。

 

二、  一个重要思想:研究四色问题不能只想着“四色定理证明”

       -----一个项目规划、实施中的关键的具体现实问题

1吴文俊先生的一段名言

吴文俊先生有如下一段话:“数学,无论是学习还是创新,最耗时费力的劳动,往往消耗在定理证明上,而不是在真理的发明、发现上。事实上,一个定理即使对其证明在逻辑上经历了严格细致的逐步检验也无非是说明知道了定理正确无误而已,还不足以说明真正地“懂得”了这个定理。自然,证明是完全必要的,证明的严密性也是完全必要的,但更重要的应该是定理之为何发明,如何发明,起何作用等这一类问题“(参见吴文俊文集,118页)。吴先生这段话,写出于1986年,我在起步的1976年实际上就遵循了吴先生这段话。原因不是因为我高明、早悟,而是因为我起步时水平很低,根本无法进入创新阶段,必须首先从头学习起。我的低水平使得我自然地、不得不从远离四色定理证明的外围、甚至远外围、大外围‘侦察、观察、搜索’做起。事实上,我是从头再学习的。比较而言,1976年美国人的那个证明,是几代高水平数学家们接力式地、不断、持续研究的结果。它恰恰是吴先生论述中的一个生动实例:它有必要的严格性(为主流学术界,包括当时权威大家塔特(Tutte)等人认可),它基本获得公认是一个成功的计算机证明。但证明者团队及广大读者真正地“懂得”了这个定理吗?四色定理之为何发明,如何发明,起何作用等这一类问题,有什么反映吗?没有。就连一个具体例图、具体的一个四着色也见不到,更不要说四着色的属性、全部四着色的数量、结构等相关问题了。1976年产生于美国的这个证明,是几代数学家“一门心思”、“专心致志”于四色定理证明的结果。这种“一门心思”、“专心致志”就难免丢掉了“定理证明”之外的许许多多东西。不过应该承认,1976年的这个证明尽管不甚理想,但其对于数学定理的计算机证明还是产生了积极地推动,有某种首创之功。

2 我的四色问题的实验研究主要是在“做例图”;而没有专注于“定理证明”

在了解了吴方法是求解多项式方程组的通用方法后,我明确地知道:我自己没有资格、能力像五位先行者那样解决一类问题;甚至我没有资格参与他们团队的做一些辅助工作;因为我的高等数学确实没有学好。我只能按照他们的主张,选择单个的、不太复杂、不太繁难的问题;以“电脑+软件”为工具,重新体验一下“机算时代”应该怎样学习数学、研究数学;这也是对我大二时丢失、放弃数学兴趣的荒唐行为的一次改过、救赎。起步时我对四色问题知之甚少,但有兴趣。我其实是从头再学习开始,边学、边思考、边研究。我预定的目标主要是:“做例图”;做一批例图(包括已经提出的著名例图如希伍德反例,以及一批四连通图,一批五连通图)。尽量求出它们的一批四着色;争取求出全部四着色;并同时研究四着色的各种属性:…..。这种目标,我有把握完成。我知道四色问题是世界著名难题,许多优秀数学家在它这里碰过壁。我自知自己的能力平庸。我先把四色定理证明排除在计划之外。我相信:像吴先生所说:四色定理之为何发明,如何发明,起何作用等这一类问题 应该是有许多可研究的。我实际上,95% 的时间、精力都在“做例子”。2008年出版小书《图说四色问题》(北京大学出版社)书中没有涉及四色定理证明。到2019年,得到小书可以修订再版时,我才开始认真考虑定理证明问题。上述三篇文章产生于此后。我“做例子”花费的机器时间,可能数百倍于美国学者那1200小时。因为新世纪前后,1976年的1200个机时,不过仅仅折合微电脑的两个小时左右而已。由于上个世纪七八十年代,在北京,一个小时的机时费要花费当时大学生两三个月的工资。我当时本职工作是地震预报,从事地震观测数据处理及地壳构造运动数值模拟,有一些机时费,但我不敢干私活,而只能做准备,只能等待。直到九十年代,微电脑在中国普及,成为家用电脑的时候,我才有条件开始以“电脑+软件”的数学实验或计算实验(从1995200813年。其后仅仅利用已经得到的实验结果资料,回归传统方法)。但它只是一个自选项目;因为这种项目申请基金支持十分困难,我是在没有任何资金支持下工作的,直到完成百余个例图的处理。

3.     几个具体数学实验的举例说明

我的四色问题的数学实验研究,包括一二十个小的实验。每一个实验,包括一个特定的目的(如:求一批例图的一些四着色;由一个四着色生成一棵四着色树(生成二色变换的等价类)…..);每一个实验包括相应的一个求解算法;还包括与此算法配套的用某个软件工具(如MapleC++)编写的可正确运行的程序。运行该程序得到相应的运行结果。对运行结果材料的仔细分析、研究;提出进一步实验的设想;…..头两个实验是:

(1)         获得具体例图的一批四着色

参见:“许寿椿文稿1 四色定理数学归纳法证明的一个新尝试”之二之1,2

(2)         由一个四着色生成一棵四着色树

     参见   许寿椿文稿1 四色定理数学归纳法证明的一个新尝试”之二之3

其他实验均从略,请参见《图说四色问题》(北京大学出版社2008年)其中包括不足10个小实验情况;给出16个例图的四着色,其中13个给出全部四着色。给出约20Gkk=a,b,c)图形。

三、  我的四色问题之“数学实验或计算实验”研究概况

我的研究主要是“做例子”,具体情况:

1.       例图数量

四连通极大平面图,五连通极大平面图 小计50 ;来自文章1之文献[89]中的例图40余个;碳笼分子Cn 对应的极大平面图30余个;总计一百二十余个。

2.       四着色本体研究方面的处理:

求出例图的批量四着色;由一个四着色生成以其为根的四着色树;求出全部四着色数量(Maple 的色多项式命令效率低,14个节点的图花费约一个半小时。重新开发色多项式加速算法。使得14阶图求色多项式值降低到0.375秒。这保障了求出许多例图(希伍德反例,C60对偶的g32,C70 对偶的g37,…..)的全部四着色数);求出图G的全部四着色(两种表达法:逐个四着色列表;斤斤给出每一颗四着色树的根着色);求出每一个四着色的不变量;

可视化功能:显示出每一个例图的图形;显示出每一个四这色的一组三个Gkk=a,b,c)的图形(例子见文章1之图46

3.       四着色与其他数学问题的关联

1)极大平面图gn的对偶二色子图的连通分支数与其对偶三次图Dk中哈密尔顿圈的元数的关系(《图说四色问题》第五章)

2)用极大平面图G的最简对偶二色子图Gk(路-路型;或路--路型)的自同构群求原图G的自同构群(见《图说四色问题(修订版)第七章》)。

3)用两个极大平面图Ga,Gb的最简对偶二色子图Gak,Gbk(路-路型;或路--路型)的同构性判定原图Ga,Gb是否同构;同构时给出同构标号(见《图说四色问题(修订版)第八章》)。

4)通过极大平面图研究碳笼分子图Cn的哈密尔顿性,Cn 对偶的极大平面图的相关四着色属性,为Cn结构属性研究提供参考材料((见《图说四色问题(修订版)第九章》。

 

四、        以:“电脑+软件”为工具的数学实验研究与传统数学研究的比较

1.数学学科的一个最主要的特征是:它是以数学家个体脑力思维劳动为主要特征的。在农耕文明,工业文明(包括机械化、电气化、)或说是电脑时代之前,数学研究几乎完全没有什么仪器设备;几乎全凭数学家头脑的冥思苦索;农耕时期可以辅助用算筹、石头子、泥板;工业时期可以辅助用纸与笔的演算。直到当今电脑时代,在一批数学软件成功地应用了的时候,数学家的脑力思维开始有了像样的仪器、设备。这就是“电脑+软件”。历史上蒸汽机、举重机曾经百倍、千倍地提高了人们的体力、背力;当今电脑时代“电脑+软件”类似地,千倍、万倍地提高了人们的脑力思维能力。此时,数学的发展迎来了更快、更好的新时代。

2.数学研究,开始有了像物理、化学那样的实验科学的优点。可以用数学实验(以电脑+软件为工具)证明、证伪、重复实验。此时的数学实验,没有物理、化学实验那样设备专用性强,单项设备投资巨大;数学实验的设备“电脑+软件”通用性极强;数学实验的重复十分简单、方便。只要你有“电脑+软件”,你可以“随时、随地”地开展你想做的实验。美国人1976年那个花费1200个机时的计算机证明,新世纪用普通微机不过仅仅需要两三个机时,近十来年不见有人重复这个证明,说明了什么?

3.电脑时代或“机算时代”的数学以个体脑力劳动为主要特征的特点,它是研究数、形及各种抽象结构的特性,都并没有改变。传统的数学并没有变成什么新学科,它只是增加的新工具,扩大了应用范围,变得更加壮丽、美妙、丰富。“电脑+软件”工具的使用仍然还是以使用者个体脑力劳动为特征的。以为“机算时代”研究数学只要简简单单“按一下按钮”就万事大吉的想法是不全面的;不符合实际的。仅仅十分成熟的数学问题,如解线性方程组,可以输入数据后,按一下按钮,就行。任何数学研究问题,研究者必须具有基本数学知识并掌握算法设计、程序编写等相关技术,才能够独立地进行、开展以“电脑+软件”为工具的实验研究。但这种能力是当今普通理科大学生(其实,应该包括一切使用数学的学科,如经济、语言、管理、)都能够也应该具备的。

4.数学研究中研究者头脑的悟性、灵感、智巧通常很重要。“机算时代”之前,这种悟性、灵感、智巧,除了个人品质外,必须靠:1)从大量他人、前人著作的“字里行间”,或2)从听取他人讲演、与他人交谈、请教时的“支言片语”中,去苦苦搜寻、求索。想获得一个灵感,常常十分困难,极为费时、费力、费心思;并且不是凭个人努力就一定行,还要看环境、个人身份、能力、等等条件。而在“机算时代”,悟性、灵感、智巧,可以到丰富、甚至是海量的实验结果数据中去观察、分析、搜寻;反复地观察、分析、搜寻而获得。这些丰富、宝贵的材料是你自己所主持的实验中产生的;你自己使用有极大的方便与自主(有时丰富的结果材料是海量的、难于应付的,要学会用高速度、大容量的电脑去整理、分析、统计、发掘)。我从对四色问题知之甚少,到写出《图说四色问题》的两个版本书稿,及三篇证明,几乎全部灵感都来自我自己做的那些例图的实验的宝贵结果数据。我确信,我远远没有充分利用已经得到的宝贵材料。我阅读文献的能力弱;我身边的学术环境差;我仅仅是一名普普通通的理科教师,我能够做到的,许许多多的人都容易做到。我所崇拜、追随的五位先行者,特别是吴文俊、张景中、杨路三位,其智力是超长的;别人难于模仿,更无法超越。我是容易超越的。我确信许许多多的人,包括众多的辛辛学子们;特别是非北请、非211、非985等普通大学的辛辛学子们,只要拿起“电脑+软件”工具,经过自己切实、踏实的努力,写出更精彩的四色定理证明;或者证明出其他更多、更难的数学猜想都是可能地;都是不太难地。这是我真诚的心里话。我在自己研究写作书稿《图说四色问题》同时,其实我还把我的十多个实验的算法设计,数据结构组织,及如何联机统计、制表之Maple 程序代码都写出了。写成一本教材《电脑数学大师----Maple 学用指南(以四色问题的实验研究为例)》〉。可惜,由于本人的默默无闻,由于我的自选项目研究成果(包括书稿及本文开头提及的三篇文章)的默默无闻,我的这一本教材书稿还在书架上睡觉。

 

三篇文章:


 



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