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Zmn-0847 薛问天: 无穷小数并不是相应的有穷小数的无穷序列。评林益先生的《0846》

已有 998 次阅读 2022-3-21 13:59 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0847 薛问天: 无穷小数并不是相应的有穷小数的无穷序列。评林益先生的《0846》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《Zmn-0846》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

无穷小数并不是相应的有穷小数的无穷序列。

评林益先生的《0846》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 首先纠正一下林益先生对他所举例子的表述。要知道任何区间所表示的集合都是由区间的端点所唯一确定的。

[a，b]={x丨a≤x≤b }

[a，b)={x丨a≤x＜b }。

林先生表述的集合A和B都不是一个集合，而是多个，应该用不同的符号表示，应当表示为An和Bn，n=1,2,3,......。

即区间[0,1]可以用以下方式分成不同的两个集合，区间[0,1]=An∪Bn，An∩Bn=∅。

第一步： A1=[0， 0.9)， B1=[0.9， 1] 。

第二步： A2＝ [0， 0.99)， B2=[0.99， 1]。

第三步： A3＝[0， 0.999)， B3=[0.999， 1] 。

......

第n步： An＝[0, 0.99...9(n个) )， B=[0.99...9(n个),1]。

按照同样的变化规律，使得操作步骤趋向无穷，

显然这里有可数无穷多个分法，有可数无穷多个An和Bn。其中每个An的右端点等于Bn的左端点(我们称其为中间端点)都是有穷小数，这些An和Bn都是长度不等于0的区间。

如果中间端点取的是无穷小数0.999...，当然这也可以将[0,1]分成两个集合A和B，

[0,1]=A∪B，A=[0，0.999...) ，B=[0.999...，1]，A∩B=∅。

不过由于无穷小数0.999...=1，所以上式是A=[0,1) ，B=[1,1]。其中[1,1]={1}，是由"1"这一个点构成的集合。区间A=[0,1)的长度等于1，区间B=[1,1]的长度等于0。

林益先生把An和Bn统称为A和B是不当的。以有穷小数为中间端点的An，Bn和以无穷小数为中间端点的区间A，B显然是不同的，不容混淆。而且要仔细搞清它们之间的关系。特别要分清小数的个数无穷同小数的位数无穷这是两个不同的概念。我们知道这些有穷小数的个数是无穷的，但是在穷尽这无穷多个有穷小数的序列中并沒有位数无穷的无穷小数。也就是说，在穷尽了所有的An和Bn的分法的集合中，并无A和B。 A不是任何一个An，B也不是任何一个Bn。那种认为A，B是最后一个An和Bn的㸔法也是错误的。

林益先生问【现在问题是集合B是否是能够完成呢？是否客观存在呢？是否还包含集合 A 的部分呢？这是很值得探讨的问题。】

由于这里有可数无穷多个An和Bn(n=1,2,3,...)，以及A和B。An和Bn的中间端点是有穷小数0.99...9(n个)，A和B的中间端点是无穷小数0.999...。林先生问的【集合B是否是能够完成】，问的是什么意思？我们知道无穷小数0.999... =1。B=[0.999...,1]=[1,1]。其中[1,1]={1}，是由"1"这一个点构成的集合。当然能够完成，而且也是客观存在。它不包含A=[0,1)中的任何内容。因为A的右端点是开区间，A中不含有端点1。A∩B=∅。回答相当确切，沒有任何【值得探讨的问题】。
′

一、 A和B不是由An和Bn通过【操作延伸步骤】完成的。

林益先生说【假设集合 B 已经完成，表明操作延伸步骤已经完成结束，处于相对静止状态，那么 0.999⋯就是一个确定不变的数值，】

从林先生这段话可以看出，他认为A和B是由An和Bn通过【操作延伸步骤】完成的。也就是说他认为无穷小数0.999...，由有穷小数的序列0.9，0.99，0.999，...通过【操作延伸步骤】就可最后完成。这种观点是不对的。通过这个有穷小数序列的项数不断增加，穷尽序列的所有这无穷个项目的序列，其中都仍然是有穷位小数。其中不含有任何无穷位小数，尽管此序列全部项目的集合是无穷集合。也就是说，通过延伸有穷小数的无穷序列，达不到无穷小数。延伸An，Bn的序列，得不到A和B。无穷小数0.999...=1是一个常数，是一个确定的值，这同有穷小数序列的延伸能不能完成，构成一个确定的集合没有关系。无穷小数同有穷小数的无穷序列，这是两个不同的概念。按照数学的定义，在数值上，无穷小数是这个无穷序列的极限。极限是序列无限接近的数，不是序列的达到的最后一项。就如同自然数没有最大的自然数一样，无穷序列的无穷个项中没有最后一项。

林益先生说【由于 B 是确定的闭区间，根据数形结合，对应的是一条相对，必然有长度，】要分清Bn和B的不同。所有的Bn和B都是闭区间。每个Bn都是长度大于0的区间，但B=[1,1]是长度等于0的区间。

林先生说【由于线段无限可分，表明集合 B 还是可以按照原来的分割的规律进行操作，也表明集合 B 中还包含集合 A 的部分，必须进一步进行操作，】说得对，但这指的是Bn，而不是B。任何集合 Bn都是可以按照原来的分割的规律进行操作，也表明集合 Bn中还包含集合 A _n+1的部分，可以进一步进行操作，但B是长度为0的区间不能分成两个区间，同时也不包含A中任何元素，A∩B=∅。

当然林先生由此得出的结论【这又与假设集合 B 已经完成矛盾，这个矛盾表明集合 B 没有构造完成。客观就不能存在真实的集合 B。 】就是完全错误的了。前面己说清楚了，B=[0.999...，1]=[1,1]的构成是完全可以完成的，是客观存在的长度为0的闭区间。它不是通过An,Bn廷伸操作完成的，B的存在同Bn如何构成沒有任何关系，不存在任何矛盾。

二、林洗生说【假设集合 B 没有完成，表明集合 B 仍然包含集合 A 的部分，这表明集合 A 也没有构造完成，这表明集合 A 和集合 B 仍然按照一定的变化规律在延伸变化过程中，不能完成，也不能结束。】

应该这么说，An和Bn是无穷序列，这个序列沒有最后的项，因为序列中的任何项An和Bn，都有它后面的项A_n+1和B_n+1。序列在不断延伸变化。但是要知道，由序列中所有的项构成的集合，是确定的无穷集合。这个集合的构成过程是能够完成结束的。从而形成一个确定的无穷集合。这同由所有自然数构成的集合N，是个确定的集合是一个道理。

三、′林先生说【虽然集合 A 和集合 B 都不能完成结束，】

这里的A和B说的是An和Bn。这是对无穷集合的认识问题，没有最后一个元素的无穷集合，并不是集合的构造【不能完成结束】。尽管无穷序列An和Bn没有最后一项。但是由所有的An和Bn构成的集合，仍然是构造完成结束的无穷集合。

林先生说【但集合 A 的元素都是自身的，集合 B 则永远包含集合 A 的元素，就无法用自身的元素直接表示，有人用集合 [0,1]与集合 A 的差集表示集合 B，其实效果是一样的，因为集合 A 同样没有完成。只是集合 A 处于不断增加其部分而不包含集合 B 的元素而已。】

要知道区间A=[0,0.999...)，B=[0.999...,1]是由实数作为端点生成的确定的区间，同序列An,Bn的构成根本无关。认为A和B是在An和Bn完成后生成的区间的观点是完全错误的。由于序列An和Bn是无穷序列，不断增加，B并不是序列Bn达到的最后一项。B是由其确定的端点生成的区间，因而根本不存在要求区间B【用自身的元素直接表示】的问题。按现代实无穷观，序列Bn的构成是可以完成的，但並不存在序列Bn的最后一项。因而序列Bn的最后一项，本身就不存在的，当然无法【直接表示】。认为序列Bn有最后一项，当然会产生矛盾。林先生所说的【无法用自身的元素直接表示】的集合，并不是B，而是根本就不存在的序列Bn的最后一项。而且任何Bn都是[0,1]同An的差，B也是[0,1]同A的差，这不存在任何问题。

四，纵观林益先生文中的整个表述，可以㸔出林文的问题主要出在林益先生对无穷小数缺乏正确的认识，没有认清无穷小数并不是有穷小数的无穷序列。

希望林益先生能在逻辑思维上更加严密些，细致些，通过反复思考，确切地认清下述论点。

1，「无穷小数」同「有穷小数的无穷序列」是两个不同的概念，不容混淆。

无穷小数0.999...，它不是有穷小数的无穷序列: 0.9, 0.99, 0,999,......。因而说无穷小数是有穷小数的无穷序列是错误的，说无穷小数是无穷序列的【缩写】也是错误的。

2，序列0.9, 0.99, 0.999, ......是无穷序列，这个数学对象，即由所有这些有穷小数构成的集合，是确定的无穷集合。

集合的构造过程，这种有穷小数不断延伸，产生全部这些有穷小数，是可以完成的。因而存在包括所有全部这些有穷小数的确定的集合。但要注意，这个集合中并无最后一个(最大的)这种有穷小数。这个集合虽然都是有穷小数，但它的个数是无穷的。虽然是无穷集，但无穷小数并不在其中。集合中全是有穷小数。那种认为无穷小数0.999...是该无穷序列生成的(延伸的，或最后达到的)最后一个有穷小数，自然也是错误的。

3，在数学分析中，把无穷小数的值定义为无穷级数的和。

因而把无穷小数㸔作是无穷级数，说它是无穷级数的【缩写】沒有错，是对的。但无穷级数并不是它的部分和序列，而是部分和序列的【极限】。也就是说，无穷小数同相应的有穷小数无穷序列的关系是极限的关系。无穷小数0.999...是无穷序列0.9, 0.99, 0.999, ......的极限。从极限理论知，这个极限等于1。从而知无穷小数0.999...=1。自然我们可知集合 A 的长度等于无穷小数0.999⋯，是等于 1 ，集合 B 的长度 1-0.999⋯=1-1是等于 0 。这是很显然的事。

参考文献

Zmn-0846 林益：用自身元素无法表示的集合

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录