Zmn-1215 薛问天: 问题大多出在语言同逻辑推理方面不细致，希望注意克服，取得进步。评师教民《1212》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1212》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

问题大多出在语言同逻辑推理方面不细致，

希望注意克服，取得进步。评师教民《1212》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

01，你说说看《β是α的【高年级同学】》，和《β是比α【更高年级的同学】》两者有何区别，意思有什么不一样。要知道说α的【高年级同学】说的就是比α【更高年级的同学】。因而说《β是α的【高阶无穷小】》同说《β是比α【更高阶的无穷小】》的意思是一样的，没有区别。因为《α的【高阶无穷小】》就是 《比α 【更高阶的无穷小】》。意思完全一样，都是【β和α都是无穷小，但是β比α更高阶．】

还要请师先生注意，《β是α的【高阶无穷小】》其中的高阶无穷小还可以有尺度，说得更精确。如《β是α的【三阶无穷小】》，《β是α的【四阶无穷小】》等，请参阅菲书。

02，关于我说〖为什么没有比 0 更高阶的无穷小．是因为高阶无穷小的定义 o(α)中就不允许有 α=0．这才是真正的原因．〗师先生对此提不出任何真正反驳的理由。

他说的1)，我在《1202》中已再次解说清楚了〖我己经说了，〖只是不要把β(0)写成o(0)就对了。〗这个函数 β(Δx) 在 Δx=0 时函数值为 0。只有在Δx≠0 时，才有β(Δx)=o(Δx)。因而这里没有任何矛盾。〗这也是师文中03说的内容。详见对03的评论。

他在2)中问α=0 是不是无穷小？【如果是，是低级无穷小还是高级无穷小？】这不用问，α=0当然是无穷小，而且是比所有α≠0的无穷小都高阶的无穷小。但我们要证明的是【没有比 α=0 更高阶的无穷小．】你並没有证明这个，你说的【α=0是比所有α≠0的无穷小都高级的无穷小】，並推不出，因而【得不出】【没有比 α=0 更高级的无穷小．】这个结论。

03，仔细㸔师先生所引述的我的文字，问题的实质己讲得相当清楚。微分的定义中，在Δx=0 时，由于Δy=0，β(0)=0是肯定成立的；可微的定义只要求在 Δx≠0 时，β(Δx)=o(Δx)。这其中一点矛盾和错误都没有．只是不要把 在Δx=0 时的β(0)写成 o(0)就对了。

要知道在定义中所要求的Δy=AΔx+o(Δx)．指的就是公式 Δy=AΔx+β(Δx)在Δx≠0时，当Δx→0，β(Δx)是Δx的高阶无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)。在定义中並未提及对在Δx=0时的β(0)的要求。这是因为对任何有定义的函数，当Δx=0时都有Δy=0，即β(0)=0，所以不需要提要求。

师先生问【薛问天先生把 o(Δx)改成 β(Δx)后，β(Δx)和 o(Δx)在本质上是否绝对相同？β (Δx)还是不是比 Δx 更高级的无穷小？】

不是改，是把它说清楚。当然要说清楚，可微定义要求在Δx≠0时，当Δx→0，β(Δx)是Δx的高阶无穷小，从而有β(Δx)=o(Δx)。

师先生说【定义微分的前提是 Δy=AΔx+o(Δx)，所以把 o(Δx)改成与 o(Δx)本质上不同的 β(Δx)后，定义微分的前提就变了，所以薛问天先生的微分定义也就错误了.】

师先生的错误在于没有认清高阶无穷小o(Δx)说的是在Δx≠0时的情形。即可微的前提Δy=AΔx+o(Δx)，指的就是公式 Δy=AΔx+β(Δx)在Δx≠0时，当Δx→0，β(Δx)是Δx的高阶无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)。因而前提并没有变。不能把Δx≠0当作是可微的前提。可微的函数当然允许Δx=0。由于当Δx=0时对任何有定义的函数，都有Δy=0，即β(0)=0，所以可微不需要对它提什么要求。把说清楚Δx=0时，肯定有β(0)=0，就说【定义微分的前提就变了】，显然是错误的。

04，师先生说【薛问天先生在 1 里 3)内说的是【不要把 β(0)写成 o(Δx)就对了】，在 1 里 4)内说的是【不要把 β(0)写成 o(0)就对了】．这两句话本身就是矛盾的！因此，你薛问天先生说的【这里没有任何矛盾】就错误了．】

我又看了网上的原文，是师先生看错了，我在两处写的都是【不要把 β(0)写成 o(0)就对了】，完全相同的两句话会有什么矛盾。

05，上面已解释清楚了，我们再以函数y=x^2为例来解说。此时Δy=2xΔx+ΔxΔx 。由于β(Δx)=ΔxΔx是Δx的高阶无穷小，显然有β(Δx)=ΔxΔx=o(Δx)。当Δx=0时，ΔxΔx当然有定义，可求出β(0)=0x0=0，不能写成等于o(0)。所以我们说【不要把 β(0)写成 o(0)就对了】。

函数y=x^2可微当然依β(Δx)=ΔxΔx=o(Δx)是Δx的高阶无穷小为前提，但并不以Δx≠0为前提，β(Δx)=ΔxΔx中的Δx当然可以取0为值。当Δx=0吋β(0)=0。

函数可微与β(Δx)=o(Δx)有关，但同不存在o(0)一点关系都没有。因为Δx=0时，β(Δx)的值β(0)并不是o(0)。所以师先生所说的【薛问天先生定义微分时允许 Δx=0，所以薛问天先生定义的微分 dy=AΔx，dx=Δx 就与o(0)有关．】是完全错误的。我己说得非常清楚【不要把β(0)写成o(0)就对了】。

06，关于微分中允许Δx=0的问题。

师先生根据我说的：【要知道函数的微分存在时，函数的导数必存在】，所以就得出结论说，【函数的微分 dy=0，dx=0 存在时，函数的导数必存在】。然后说【据此，我请问薛问天先生，函数的微分 dy=0，dx=0 存在时，你薛问天先生说的、必存在的函数的导数是多少？】还说【你薛问天先生与我讨论这个问题已经好几轮了，可是你至今都不敢、实际上也没有回答这个问题．】

这纯粹是师教民先生的认识错该。如果函数可微，则函数的微分存在，且微分是Δx的线性函数; dy=AΔx，dx=Δx。我们说微分这个函数允许Δx=0，即当Δx=0时的微分值有dy=0，dx=0。在师先生的结论和问句中【函数的微分 dy=0，dx=0 存在】指的是什么，根本不清楚。要知道函数可微时，函数的微分存在，它等于Δx的线性函数。你这里只说Δx=0时的微分值【dy=0，dx=0存在】是什么意思？仅仅说Δx=0时的微分值存在，函数可微不可微，函数的微分这个线性函数存在不存在，全然不知道，怎么能得出【函数的导数必存在】这样的结论。怎么还能问【必存在的函数的导数是多少？】这样的问题。

要知道只有在【函数的微分存在时，函数的导数必存在】，该点的函数的导数值等于Δx≠0时的微商dy/dx，同Δx=0时的微分值dy=0,dx=0没有关系。而且请师先生注意函数可导时，在确定点上函数的导数是唯一确定的，并不随微分值因Δx的不同而不同来改变。所以函数並没有什么同Δx=0时的微分值dy=0，dx=0【相应的导数】。

07，对连续函数 G(Δx)，【加上极限符号】 等于 【去掉加上的极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】。这是对的。即对连续函数 G(Δx)，lim_[Δx→0]G(Δx)=G(0)。但如果G(Δx)是非连续函数，则lim_[Δx→0]G(Δx)完全可能不等于G(0)。

1）师说【你已声明 G(Δx)是连续函数，即可有 Δx=0，亦即 Δx 本来可以=0．可是，你又说【令本来≠0 的 Δx=0】．所以，你上述的【Δx 本来可以=0】和【本来≠0】就矛盾了，就成了胡话！】

这是师的错误推论。对于连续函数【Δx 本来可以=0】，只是说函数在Δx=0点有定义，Δx可以等于0，并没有规定Δx一定等干0，令Δx=0。在求极限时，把本来不等于0的Δx，令其等于0。这里不存在任何矛盾。

注意对这里的G(Δx)，【本来Δx不等于0】现在【令Δx=0】，当然是要说清原由的。是在求极限时，在G(Δx)是连续函数的条件下，【在本来Δx不等于0的G(Δx)前加极限符号】同【去掉G(Δx)前所加的的极限符号並令Δx=0】是等价的命题，没有矛盾。当然如果没有G(Δx)是连续函数这个条件，这两个命题不等价，有矛盾，是错误的。

2) 在求函数y=x^2的导数的例子中，对于 Δx≠0 有Δy/Δx=2x+Δx，其中等号两端是两个函数。函数Δy/Δx在Δx=0点没有定义。但函数2x+Δx在Δx=0点却是有定义的，而且是连续函数。这个等号只是说明 这两个函数在Δx≠0的所有点函数值相等而已。並不说明这两个函数是同一个函数，所以没有任何矛盾。

3) 师先生说【对于连续函数 G(Δx)=2x+Δx 来说，本来 Δx 是可以=0 的．你说【令本来≠0 的 Δx】就错了，就矛盾了】。

师先生对这个用语没有从逻辑上认清。【可以等于0】只是说函数在0点有定义，Δx可以等于0。而【令本来不等于0的Δx】只是说本来没有规定Δx等于0。这里的【可以等于0】同【没有规定一定等于0】并无任何矛盾。

4) 这是个笔误，把【求极限】写成【求极很】了。改过来就容易理解了。

5) 把笔误的【求极很】改正成【求极限】，这句话就是【不说只对连续函数成立，说这句话对求极限时都成立，显然是绝对的错误】显然不是空喊口号。因为对非连续函数G(Δx)，求极限时，lim[Δx→0]G(Δx)完全可能不等于G(0)。

08，在求函数y=x^2的导数时，知在Δ≠0时有Δy/Δx=2x+Δx。从而得导数等于

lim[Δx→0](Δy/Δx)=lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。

师先生在《1193》中问【你们只去掉后边的【极限符号】，不去掉前边的【极限符号】，这还公平吗？】

为什么是公平的，就因为后边的函数2x+Δx是连续函数，而前边的函数Δy/Δx是非连续函数。

对于连续函数G(Δx)求极限时，已严格证明 lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)。它的意思是说求极限时，给函数G(Δx)【加上极限符号】 等于 【去掉加上的极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】。而且举出反例G(Δx)=(sinΔx)/Δx，就是要说明，对于非连续函数，这是不成立的。

正因为函数2x+Δx是连续函数，所以lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。正因为函数Δy/Δx是非连续函数，所不能写lim[Δx→0](Δy/Δx)=0/0。这就是其中的道理。 

我说的G(Δx)=(sinΔx)/Δx就是举一个非连续函数的反例，并不是师先生所说的其它问题。

09 ，世名著说的原话为：“如果以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f(x)]都认作显函数，则 x 的函数 y 用方程(1)[方程(1)为 F(x，y)=0]的表出法也并不劣于任何别的表出法．”其中由【如果...】引出来的这个命题【以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f(x)]都认作显函数】，意思就是【所有定义的函数y=f(x)，都是显函数】。这究意是名著作者要否定的命题，还是作者要肯定的命题。

师先生认为这是作者肯定的命题，我认为这是作者否定的命题。显然弄清这个很重要，这是对原著正确理解的重要问题。

1）我认为人们在论证中，用【如果…】提出一个【错误的假定】，然后指出它的错误，得出正确的结论，这是再简单不过的推理方法．而师先生却认为用【如果…】提出一个【错误的假定】，这就是【承认了极限理论的世名著存在假定的错误和与事实不相符合的错误】，显然是个严重的错误。

师先生说【事实上，最为关键的问题是：人家世名著确实是用【如果…】提出了一个【假定】，但是人家世名著并不认为自己用【如果…】提出的这个【假定】是【错误的假定】．你薛问天先生硬要说人家世名著用【如果…】提出的这个【假定】是【错误的假定】，就说明你薛问天先生把自己的观点强加给人家世名著了，】

名著上说得很远清楚，说【x 的函数 y 用方程(1)的表出法也并不劣于任何别的表出法．】这句话的意思就是对命题【所有定义的函数y=f(x)，都是显函数】的否定。因为如果以任何法则表出的函数都认作显函数，那么以并不劣于任何别的表出法表出的隐函数豈不成显然数了，名著就是以这句话来否定这个命题的，那里是我【把自己的观点强加给人家世名著了，】

而且师先生还说【你薛问天先生认为极限理论的世名著犯了假定的错误，所以，我说你l薛问天先生【承认了极限理论的世名著存在假定的错误】并没有冤枉你！所以，我说的这句话显然不是错误，更不是【严重的错误】．】

这当然是严重错误。因为用【如果…】提出一个【错误的假定】，是为了后面指出它的错误，得出正确的结论，这是再简单不过的推理方法．怎么能是【犯了假定的错误】呢？说这样的话说明这是师先生犯了不懂推理方法的错误。

2) 师先生说【人家世名著用【如果…】提出把【函数 y=f(x) 都认作显函数】时，并不认为把【函数 y=f(x) 都认作显函数】是【错误的假定】．而薛问天先生硬要说人家世名著的这个【认作】是【错误的假定】．这就说明你薛问天先生把自己的观点强加给人家世界名著了，】

这点我前面己讲过，名著上说得很远清楚，说【x 的函数 y 用方程(1)的表出法也并不劣于任何别的表出法．】这句话的意思就是对命题【所有定义的函数y=f(x)，都是显函数】的否定。因为如果以任何法则表出的函数都认作显函数，那么以并不劣于任何别的表出法表出的隐函数豈不成显然数了，名著就是以这句话来否定这个命题的，哪里是我【把自己的观点强加给人家世名著了，】

师先生接着说【你薛问天先生认为极限理论的世名著犯了与事实不相符合的错误．所以，我说【这就说明薛问天先生在口头上也已经承认了极限理论存在假定的错误和与事实不相符合的错误】没有冤枉你！】

关于这点，我前面也己讲过。因为用【如果…】提出一个【错误的假定】，是为了后面指出它的错误，得出正确的结论，这是再简单不过的推理方法．怎么能是【犯了假定的错误】呢？说这样的话说明这是师先生犯了不懂推理方法的错误。

关于这些我早已讲得清清楚楚，〖事实上並不是把任何函数 y=f(x)都认作显函数，只有用解析表达式表示的函数才是显函数．〗要知道所引的这些名著的话语，正是世界名著进行的正确推论，怎么能说这是【极限理论存在错误】．说明师先生根本不懂逻辑．不懂推论。

3) 师先生对名著的解说太主观，太随意了。师先生可以再㸔看名著中所说的[17段]函数是怎么定义的。名著中所定义的所有函数都可由y=f(x)标记。师先生把用y=f(x)标记的函数换成【第 1 种函数是用方程 y=f(x) 表示的函数】，並说【这种函数被世名著都认作显函数】。这种认识是错误的，这才是真正地【把自己的观点强加给人家世界名著了】。

有三个函数的概念是对的，①所有定义的函数，②显函数，③隐承数。有如下性质和事实成立，

⑴所有的函数，包括所有显函数和隐函数。所有的函数都可由y=f(x)来标记。

⑵显函数，可由解析表达式表达的函数称为显函数，

⑶隐承数，可由方程式表达的函数称为隐函数。

⑷有些隐函数可以化为显函数。即这些函数既是隐函数又是显函数。但存在着有些隐函数不能化为显函数。这些函数只是隐函数不是显函数。

⑸所有显函数都能用方程表示，所以所有显函数都可以是隐函数。

既然师先生己认识到【显函数的定义和隐函数的定义是泾渭分明的】，承认上述特性，就不应该还把【以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f(x)]都认作显函数】，即【所有定义的函数y=f(x)，都是显函数】。认为是世名著肯定的命题。

4) 师文谈到我们所引用的世名著版本的不同，师文所引用的菲书的版本是1962 年 5 月第 1 版，我引用的菲书的版本是2006年第8版。

师先生说【薛问天先生在反驳我时，为什么不用我选用的版本?！你说你选用的版本【说得清清楚楚】了，难道我选用的版本就不能【说得清清楚楚】了吗？你不用我选用的版本就成了答非所问．】

师先生的说法显然不妥，理解原著的原话的正确含义，当然是版本越新越好。师先生，你的态度应改变一下，要真正想正确理解原著原话的含义，明明知道版本的话语己有所不同，就应仔细参阅看40多年后从1版都变到8版了，有些什么不同，这才是正确态度，怎么这么封闭和保守，说什么【你不用我选用的版本就成了答非所问．】

其实我看了这次师先生所引的第1版较全的文字，(要知道师先生过去没引全，只引用了后面两句)【读者当可明白，这些名称只对函数 y=f(x)的表出法而言，并与函数的本性无关．严格说来，函数表出法的隐式与显式之分只有显式被理解为显的解析表出式时才具有完全明确的意义；如果以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f (x)]都认作显函数，则 x 的函数 y 用方程(1)[方程(1)为 F(x，y)=0]的表出法也并不劣于任何别的表出法．】

下面是我在《1068》中对第8版文字的引述:

〖请仔细读读书中的这段话【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】而且后面又明确地说【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】〗

大家都来比较一下这两个版本的文字，可以看出基本上是相同的。其实第1版本的文字也是说清楚了的。引全了就知道了，师原来所引的最后两句话是在论证为什么要把显函数定义为要求有【显的解析表达式】。第8版有【不然】两个字，说得就更清楚了。就是说如果不用解析表达式，而是任何方式表达的所有函数都是显函数，那么由方程表达的方式也不劣于其它方式，豈不是隐函数也都成显函数了。所以显函数必须加解析表达式的要求。这段话就是这个意思。8版的这个【不然】说得更清楚。其实1版虽没有【不然】两个字。但从前后意思上讲，也是说清楚了的。 

5) 师先生在这里再一次地重复坚持错误，认为作为所有函数的标记y=f(x)符合【世名著和中名著的“显的解析表出式”的定义】，理由就是【“等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子”．】

对此我早就评论过了。例如，我在《1131》中指出〖师先生在《1129》中仍在顽固地坚持【单说x=g (y)或y=f (x)是显函数】的这个错误。公开地说x=g (y)或y=f (x)【符合了中名著第4版里的显函数定义或特点，】【函数x=g (y) 或y=f (x) 本身已经符合上述例1里说的中名著第4版内的显函数的特点、定义以及“明显的解析表达式”的内容了．】要知道我己说过多次，x=g (y)或y=f (x)只是函数的记号，不是【解析表达式】，怎么能说是符合书上讲的【解析表达式】的要求呢？教科书上明明白白清清楚楚讲【解析表达式】必须是个表达式，面且【当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值．(这是师先生自己引用的话语)】请问师先生你能从x=g (y)或y=f (x)这个式子中的f和g，求出对应的函数值来吗？f和g，它只是个函数记号，你求不出来，它不是解析表达式。必须表示为明显的解析表达式才能求出来。〗

显然名著上由如果引出的【以任何法则表出的所有函数都是显函数】这个命题，是作者要否定的命题，8版的【不然】说得很清楚，就是如果不引入解析表达式的要求，所有的函数都是显函数的话，由于方程表示法不劣于这些法则，岂不是就犯了把隐函数当成显函数的错误。这最后一句话之所以没说出来。是因为这个结论太简单，太明显了。真想不到师先生竟然把如此简明的要否定的命题，竟然理解为要肯定的命题，而全然正面接受了。显然这是严重的错误。

10，总结一下，师文的错误多出在语言和逻辑方面考虑得不够细致。

如不知道《β 是 α 的【高阶无穷小】》同《β 是 比α【更高阶的无穷小】》的意思是一样的。不知道在逻辑上从【α=0是比所有α≠0的无穷小都高级的无穷小】，推不出【没有比 α=0 更高级的无穷小，即不存在o(0)．】这个结论。当Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)，并不能认为对Δx=0，就有β(0)=o(0)，【不要把 β(0)写成 o(Δx)就对了】，等等多涉及语言和逻辑的细节。

函数的微分存在时，函数的导数必存在，不能错误地仅由Δx=0时的微分值dy=0，dx=0 的存在，就得出函数的导数必存在。

函数G(Δx)连续时，Δx=0时函数有定义，说Δx可以等于0，并没有说令Δx一定等于0，只是在求Δx→0的极限时，令本来不等于0的Δx等于0，函数的极限值等干函数值，即lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)。这其中并无任何矛盾。

对于连续函数求极限时，给函数G(Δx)【加上极限符号】 等于 【去掉加上的极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】。但是要说明，对于非连续函数，这是不成立的。

为什么只去掉后边的【极限符号】，不去掉前边的【极限符号】？要知道这公平的道理就在于后边的函数2x+Δx是连续函数，而前边的函数Δy/Δx是非连续函数。这些都涉及语言和逻辑的具体细节，必须了解清楚。

基于一些偏見和在语言同逻辑推理方面的存在的不细致的原因，师先生竟然把世名著否定的命题理解为肯定的命题而犯了错误。

总之，这些问题大多出在语言同逻辑推理方面存在的不细致的毛病。希望师先生在这方面今后注意克服，取得进步。

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