博文

Zmn-0868 薛问天: 由于【定理1】是错误的，所以全都错了。评李鸿仪先生在《0867》后的跟帖【1】

已有 738 次阅读 2022-7-28 09:10 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0868 薛问天: 由于【定理1】是错误的，所以全都错了。评李鸿仪先生在《0867》后的跟帖【1】

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0867》后跟帖【1】的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

由于【定理1】是错误的，所以全都错了。

评李鸿仪先生在《0867》后的跟帖【1】

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 很好，我很愿意同李先生详细讨论这些具体的数学问题。

你错在你的【定理1】是错的。你的定理1是:

【定理1：若A与B之间存在双射， A=A1UA2，B=B1UB2，若A1与B1之间存在双射，则A2与B2之间必然存在双射; 同理，若A2与B2之间存在双射，则A1与B1之间必然存在双射。】

这个定理明显是错的，例如A=A1UA2，A=自然数集=偶数集U奇数集，这里A1=偶数集，A2=奇数集，

B=B1UB2，B=偶数集=偶数集U空集。这里B1=偶数集，B2=空集。

显然A(自然数集)同B(偶数集)是存在双射的，y=2x就是其双射。A1(偶数集)同B1(偶数集)自然存在双射，y=x就是其双射。难道能得出奇数集同空集存在双射吗？显然不能，这里的A2和B2不存在双射。说明定理1是错误的。

我们来看他证明中的错。他的证明是这样的。

【(证明：双射必须发生在A和B全部元素之间，所以部分元素之间是否有双射都必须考虑。如果A2和B2之间不存在双射，即A2(或B2)中有部分元素在B2(或A2)中没有原像，则由于A1与B1已经双射，所以这部分元素在B1(或A1)中也不可能有原像，即这部分元素在B(或A)中没有原像，由于这部分元素属于A(或B)，在B或A)中又没有原像，所以A与B之间不存在双射。证毕）】

这个证明错在哪里？主要错在这两句推理的话。【如果A2和B2之间不存在双射，即A2(或B2)中有部分元素在B2(或A2)中没有原像，】和【由于这部分元素属于A(或B)，在B(或A)中又没有原像，所以A与B之间不存在双射。】

即李先生把两个集合的【不存在对射】，等同于在一个集合中【有部分元素】在另一个集合中【没有原像】。显然这样的理解是错误的。要说清是在怎样的集合映射下没有原像。这说明李先生的逻辑思维缺气数学的训练，还不够严谨和细致。

什么是在集合A和集合B间存在双射？它的严格定义是，在A和B间存在映射f: A→B，是双射，即在此映射下，A中所有元素在B中有唯一的像，B中所有元素都在A中有唯一的原像。

那么什么是在A和B间不存在对射呢？严格地讲应当是，对于A同B间的任何映射，都使得在A中存在元素在B中没有唯一的像，或在B中存在元素在A中没有唯一的原像。

要说清这里是〖对于A同B间的任何映射〗。李先生的错误就发生在这里。论证A2和B2的双射，涉及的是在A2同B2的映射下有无原像，而论证A和B的双射时，就应涉及在A和B的映射下，有无原像。要知道，在不同的集合映射下，有无原像是不同的。

例如在前面举的例子中，【A2和B2之间不存在双射】指的是在A2(奇数集)同B2(空集)间不存在映射，能使A2中的奇数在B2(空集)中有像。这些奇数不在A2(奇数集)同B2(空集)映射中有像，尽菅这部分元素(奇数)属于A(自然数集)，但并不等于在A(自然数集)同B(偶数集)的映射中沒有像。恰好这些奇数在A(自然数集)同B(偶数集)的映射(y=2x)中，是有像的。所以推导不出【A(自然数集)同B(偶数集)之间不存在双射】。

因而我们说李先生对定理1的证明是完全错误的。

至于李先生对〖题1 A={a1,a2,...}，同B={b,a1,a2,...}，之间是否存在双射？〗的解。由于李先生是这么说的【根据定理1，A 与B不存在双射关系。】由于定理1是错的，所以这个解答也是错的。

至于李先生关于【题2 康托是如何“证明”A={a1,a2,...}同B={b,a1,a2,...}之间否存在双射的？错在何处？】的回答，李先生说【由于历史的局限性，他并不知道定理1，所以仅仅根据A1与B1之间存在双射，并没有考察A2和B2之间是否存在双射，就断定A和B之间存在存在双射、解毕。】即他仍然根据的是错误的定理1，所以李先生的回答也是错误的。

附李鸿仪先生在《0867》后的跟帖【1】

【1】修改如下

因为时间关系，先回答薛先生提出的问题中的最关键的一个:

李先生，你承认不承认无限集合A={a1,a2,...}，同B={b｝U｛a1,a2,...}，之间存在双射，是一一对应的(为了使问题更有代表性，我把B的定义略内作修改，相信他也不会有意见)

这个问题比较关键，其实无限旅馆问题就是这个问题的一个翻版，而公式∞+1=∞又是无限旅馆问题的一个翻版。康托证明任何无限集至少可以与其某一真子集一一对应，用的也是这个方法。

回答是否定的，推导如下:

用双射的定义不难得到:

定理1：若A与B之间存在双射， A=A1UA2，B=B1UB2，若A1与B1之间存在双射，则A2与B2之间必然存在双射;同理，若A2与B2之间存在双射，则A1与B1之间必然存在双射。

如果认为上述定理显而易见，以下括号内的证明可以跳过不看

(证明：双射必须发生在A和B全部元素之间，所以部分元素之间是否有双射都必须考虑。如果A2和B2之间不存在双射，即A2(或B2)中有部分元素在B2(或A2)中没有原像，则由于A1与B1已经双射，所以这部分元素在B1(或A1)中也不可能有原像，即这部分元素在B(或A)中没有原像，由于这部分元素属于A(或B)，在B或A)中又没有原像，所以A与B之间不存在双射。证毕）

题1 A={a1,a2,...}，同B={b,a1,a2,...}，之间是否存在双射？

解：据题意，现设A={a1,a2,...} =A1UA2=｛a1,a2｝U｛a3,a4,....｝, B={b,a1,a2,...} =B1UB2={b,a1,a2}U｛a3,a4,....｝

显然，A2 与B2是外延完全相同的同一个集合，当然存在双射关系，但A1 与B1不存在双射关系，根据定理1，A 与B不存在双射关系。解毕

题2 康托是如何“证明”A={a1,a2,...}同B={b,a1,a2,...}之间否存在双射的？错在何处？

解：康托实际上将A也写成A={a1,a2,...} =A1UA2=｛a1,a2｝U｛a3,a4,....｝, 但把B写成B={b,a1,a2,...} =B1UB2={b,a1}U｛a2，a3,a4,....｝，由于历史的局限性，他并不知道定理1，所以仅仅根据A1与B1之间存在双射，并没有考察A2和B2之间是否存在双射，就断定A和B之间存在存在双射、解毕′

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录