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Zmn-0867 薛问天: 学懂数学，任何数学概念都有决定其确切含义的定义。评李鸿仪先生的《0866》
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Zmn-0867 薛问天: 学懂数学，任何数学概念都有决定其确切含义的定义。评李鸿仪先生的《0866》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0866》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
学懂数学，任何数学概念都有决定其确切含义的定义。
评李鸿仪先生的《0866》
薛问天
看了李鴻仪先生的文章《破除数学思维中的宗教式迷信》，你觉得他的问题在哪里？我的理解是，他没有学懂数学。他只懂一些应用数学，对真正的理论数学，他只是听说而已，没有真正去学，从而只是一些对数学概念的错误的理解。他认为【数学思维】中的【宗教式迷信】，并不是真正的数学思维中有的东西，而是他对数学的错误理解中的内容。
一，【无穷】，在数学中並无此数学概念。
李先生也知道，【数学是严格的】，所有数学概念都要有严格定义，既使没有定义的原始概念，也都有公理对其进行了界定。没有定义和没有公理界定的概念就不是数学概念。要知道在数学中并无抽象的【无穷】这个概念的定义，所以【无穷】并不是数学概念。它是哲学概念，数学中有的只是具体的无穷对象概念。如无穷隼合，无穷序列，无穷极限，无穷序数，无穷基数，无穷级数，无穷小数，......等数学概念。而且这些概念都有严格的数学定义。
所以一上来李先生就搞错了，认为在数学中有【无穷】这个数学概念，而且认为数学中是用∞来表示的。【无穷都只能用同一个符号∞来表示】。这全是李先生对数学的错误理解和认识。
我们知道，在数学分析中，符号∞表示的是【无穷极限】， 关于一个序列an，它的极限是∞，或者一个函数y=f(x)，当x趋近于a时函数的极限是∞，这都有严格的数学定义。反复讲∞只是【无穷极限】的符号而不是数，不是实数。不是数怎么能有加1运算，因而李先生说的公式(1)∞+1=∞根本就不是数学中的公式。这是在李先生的错误理解下，李先生自己构造出来的公式。
李先生的概念实际上是很混乱的，在前面说∞是表示【无穷】这个概念的符号，接着又说∞是【无限数∞】，是李先生所谓的无限集的【元素数目】。
二，在数学中沒有无穷集合的【元素数目】的定义。
李先生在文中说【薛问天那样认为无限集的元素数目没有定义是错的】
李先生认为集合的【元素数目】有定义。但他说不出来，而说出来的定义只有如下三点。
Ⅰ)，有穷集合的元素数目用自然数表示。
Ⅱ)，有穷集合的元素数目小于无穷集合的元素数目。
Ⅲ)，集合的真子集的元素数目小于该′集合的元素数目。
李先生仅凭这三点，就认为他给出了【元素数目】的定义。这是明显的错误，因为靠此三点，给不出无穷集合元素数目的定义，对于那些由不同元素构成的无限集合，据此根本判定不出它们的【元素数目】是否相等，谁大谁小。李先生，你认为元素数目有确切定义，请你具体回答，若A是偶数集合，B是奇数集合，请问A和B的元素数目是否相等，谁大谁小？你能回答出来吗？你回答不出来，说明你认为【元素数目有确切定义】的观点是错误的。
三，李先生要求把【一一对应】改为【严格一一对应】的论断是错误的。
李先生说【严格一一对应定义为两个元素数目严格相等的无限集合之间的一一对应】。这个定义是错误的，理由有二，第一，前面讲了，李先生讲的【元素数目严格相等】，并不是对所有两个无穷集合都有定义，都能判定。因而你这个【严格一一对应】并不适应于所有的无穷集合。
第二，由于你的定义中的ⅲ)规定，集合的真子集的元素数目不等于(小于)该集合的元素数目。从而它们不可能【严格一一对应】。但我们可以严格证明，任何无限集合，都存在有它的真子集，同它一一对应。
这里顺便指出李先生对此命题引述的错误。他说【康托”证明”任何无限集可以与其真子集一一对应。】
理论数学所证明的並不是【任何无限集可以与其真子集一一对应】。实数集是无限集，有理数集是实数集的真子集，但就不能同它一一对应。正确的说法是: 任何无限集，都存在有真子集同它一一对应。而不是它的所有真子集都同它一一对应。
我们知道这个论断是可以作为定理严格证明的。李先生说【虽然该信条并没有人严格证明过，但数学家们却坚信不疑：】这种说活完全不符合事实。这是可以严格证明的。
举个简单的例子，偶数集是自然数集的真子集，就可以证明偶数集同自然数集可以一一对应，因为可以证明存在自然数集到偶数的映射 y=2x 是双射。存在双射就是一一对应的严格定义。
再举一个简单例子。
设A={a1,a2,...}，B={b,a1,a2,...}。也就是说，B是由A添加元素b而构成的集合。显然A是B的真子集。但是我们可以证明A和B是一一对应的。因为我们证明A到B的如下映射是双射，a1→b，a2→a1,a3→a2,...，即a(n+1)→an,(n=1,2,3,...)。从而A和B一一对应。
我之所以说李先生没有学懂数学，就是说他不知道数学概念的确切含义是由概念的数学定义来决定的，而不是由概念的各称的字面上的语义含义来决定的。例如两个集合是【一一对应】的含义是什么？应该根据一一对应的数学定义来决定，而不是挖苦心思地去追究【一一对应】这个名词的字面语义。在数学上一一对应定义为集合间存在一个映射是双射，那么只要举出一个映射证明是双射，就证明了两个集合的一一对应。而李先生却不承认这种证明，说【没有人严格证明过】。所以我说他根本就没有学懂数学。
无限旅馆的例子，并不是什么悖论，它是用一一对应来说明有穷集同无穷集的不同。对有穷集，如果A是B的真子集，A同B不可能一一对应。但是对于无穷集，所举的例子，A是B的真子集，而且证明了A和B是一一对应的。如果把A看作是旅馆的房间集合，把B看作是旅客集合，B中的b是新来的旅客，B中的ai是原来住在ai房间的旅客。那么一一对应这个双射，就保证了所有的旅客都有房间住，所有的房间都住有旅客。而且不同的旅客住不同的房间，不同的房间住不同的旅客。因为双射保证了无重复和无遗漏。
小学生弄不懂，理解不了，我们可以理解，因为他们年龄小，搞不清有穷和无穷的区别。但是李先生不能把自己也用小学生的水平来衡量。以小学生能想明白作为认识事物的标准。
四，要认识到基数理论是严格的正确的数学理论。
李先生说【康托的基数即势的概念也非常混乱】，【建立在康托式的一一对应基础上的基数概念是不伦不类的。】说明他根本就没有学懂基数的数学理论。
康托用一一对应来定义基数的相等。由于一一对应是严格定义的数学概念，所以基数也是有严格定义的数学概念。因而基数即势的概念一点也不混乱。
要知道在基数中，任何无穷基数α，都有α+1=α。而且α+n=α。不仅如此，如果β是可数无穷基数，还有α+β=α成立。这都可以严格证明，在整数或实数的数系中，如果b>0，则a+b>a，但是在基数的数系中，当β>0时，α+β>α并不一定成立，刚才讲了当α是无穷基数，β是有穷基数或可数无穷基数时，α+β>α不成立，而是α+β=α成立。这并不产生矛盾，这是基数的特性。
另外数系中的运算也要根据数系的性质来决定的。基数的加法是由集合的并运算规定的。即如集合A的基数是α，集合B的基数是β，则基数α+β定义为AUB的基数。基数中就沒有減法的定义。基数中没有减法运算，就不应提出α-β等于多少的问题。因而提不出如果α+1=α，那么α+1-α应该是等于1还是0的矛盾问题来。
李先生说【没有一个数学家能够给出基数概念的确切数学意义。】说明李先生没有学懂【基数概念的确切数学意义】是由的定义决定的，
基数概念是由一一对应严格定义的。如果两个集合一一对应，则称其基数相等。如果集合A同集合B的某子集一一对应，则称集合A的基数小于或等于集合B的基数。
而一一对应是由存在双射严格定义的。如果两集合间存在双射，则称此两集合一一对应。
双射是由映射定义的。如果一个映射 f:A→B 满足单射和滿射两个条件，则称为是双射。单射条件指若f(a)=f(b)，则a=b。满射条件指任何y∈B，都存在有x∈A，使y=f(x)。
映射是由关系定义的......。
存在着严格的定义链，最后归结为由原始概念'集合'来定义。
李先生根本没有学懂，这一切都有严格的定义，都有确切的数学意义。说它没有数学意义是完全不符合实际的。所有的数学概念都有严格的定义，形成的定义链，确切地完整地说说明了这个概念的数字意义。
五，正确理解公理方法的重要性。
在中学学习平面几何，并不是为了学一点几何知识，主要是学习公理方法。进行逻辑推理的基本训练。知道要判定两个线段的相等，两个角度的相等，不一定非要親自用手去量，用大脑的逻辑推理也可以完成。从而认识到正确的逻辑推理是人类认识过程的重要途经。
人们发现，逻辑推理很重要，任何一个具体的理论体系中，所有正确的命题，都可以由若干个命题，例如命题集A={A1,A2,,...An,} 经过逻辑推理推导出来。我们把此集合A中的′命题A1,A2,,...An,称为公理，而把其它的可以由此公理推导出来的命题称为定理。这就是该理论体系的公理化。
我们注意，一个理论体系的公理化并不是一定是唯一的。所有的正确命题可能由公理集A推出，也可能由公理集B={B1,B2,...,Bm,} 推出。亦即当由A可推出B，由B也可推出A，我们把A和B称为是等价的公理系统。
林先生对公理的理解是错误的。他说【总有一些无法用逻辑来证明的一些最普遍的命题，称之为公理。】【数学当中的所有公理也都是无法用逻辑进行证明的，】这种对公理的理解显然是错误的。对于等价的公理系统A和B来说，A可以由B推出，B可以由A推出，公理都是可以用逻辑进行证明的。关键是要弄清是由哪些公理来证明的。
另外，李先生对逻辑主义对公理化的要求的理解也是错误的。他说【但逻辑主义却希望用逻辑能够得出数学，那就意味着首先必须用逻辑来证明数学公理，这难道不违反常识？不可笑吗？】
逻辑主义要求所有数学正确命题必须由公理逻辑推出，并未要求【必须用逻辑来证明数学公理】。所以可笑的，违反常识的不是逻辑主义者，而是对它错误理解的人。
至于罗素悖论，只是在早期的朴素集合论中存在，在现代的特别是公理集合论中，早已消除，早已不存在，再来论述，已经过时，是毫无必要不值一提的了。
六，关于悖论的认识。
关于悖论，可以说已经基本上讨论清楚了。在业界对悖论已有共识。
李先生说【世界上本来没有悖论，只是由于人们思维不严格，才产生了所谓悖论。】这些都是对悖论过分浮浅的认识。
业界对悖论有了比较明确的认识。悖论有三要素，对于悖论推出矛盾这个要素，大家比较容易理解。但是要澄清，有些人所说的推出矛看悖论实际上并不是悖论。要知道悖论的另一要素是逻辑推理必须是正确的。凡是错误逻辑推理推出来的矛盾，那是错误而不是悖论。悖论的第三要素是在推理中用到了环境系统的某些隐含的假定。因而只要找出这些隐含的假定，将其去掉，悖论就可消除。
早期数学中所存在的悖论，随着数学理论的提高和完善，都己全部得到消除。现在李先生还说【在数学基础领域，充满了许多自相矛盾的悖论。】是不符合事实的，是不对的。李先生，你说在数学基础中还存在哪个悖论，现在的数学理论还没有将其消除？说出来大家听听。
总之，我希望李先生不要空洞地，抽象地谈什么数学思维，宗教式迷信，书本知识权威等。请能回答几个具体的简单的问题。
1， 李先生，你所否定的 ∞+1=∞ 这个公式(1)，明明是你构造的公式，为什么说【认为（1）成立是绝大多数数学家的不二信条，】要知道数学中反复强调∞不是数，怎么还有加1？就不认为这是数学公式。
2， 李先生，你认为元素数目有确切定义，请你具体回答，偶数集合同奇数集合的元素数目，是否相等，谁大谁小？你能回答出来吗？
3， 李先生，你承认不承认无限集合A={a1,a2,...}，同B={b,a1,a2,...}，之间存在双射，是一一对应的。
4， 李先生，当你知道了基数的严格数学定义链，即基数由一一对应应定义，一一对应由存在双射定义，双射由满足单射和满射条件的映射定义，映射由满足单值条件的关系定义，...... 后，你还认为【没有一个数学家能够给出基数概念的确切数学意义。】吗？你知道不知道数学概念的确切意义是由它的定义给定的？
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