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Zmn-0857 薛问天: 不同的极限定义，当然有不同的特性。评Thebeater《0856》
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Zmn-0857 薛问天: 不同的极限定义，当然有不同的特性。评Thebeater《0856》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对Thebeater先生《Zmn-0856》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
不同的极限定义，当然有不同的特性。
评Thebeater《0856》
薛问天
一，关于区间序列的极限
我们知道在数学分析和集合论中，并沒有对区间的无穷序列给出定义。林益先生在《0851》中对区间序列An和Bn说【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞，】林益先生沒有讲清楚是什么【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞，】这是n→∞，当然说的是区间序列An和Bn的【极限】表示为A∞和B∞。但是现有数学中只有实数序列极限，并无区间序列极限的定义。刚好这A∞=[0，0.999...)，B∞=[0.999...，1]这个中间端点的无穷小数0.999...正好是无穷序列An和Bn的中间端点的序列0.9，0.99，0.999，...的极限。于是我就补充定义了区间序列的定义。我给出的定义是:
〖【定义。区间序列的极限】，设有区间序列Cn=[an,bn]，n=1,2,3,...。如果n→∞时有an→a，bn→b，则将区间C=[a,b]称为区间序列Cn的极限，记作当n→∞时，Cn→C。当然在此定义中也可以是开区间或半开半闭的区间。〗
Thebeater在《0856》对集合给出的序列极限是【单调上升的集合列，极限应该是所有的并集；而单调下降的集合列，极限应该是所有的交集。】那么他对区间序列Cn=[an,bn]‘，给出的极限定义就是，单调上升的区间序列(对所有的n，有an+1≤an,bn≤bn+1)，它的极限是序列中所有区间的并集。单调下降的区间序列(对所有的n，有an≤an+1,bn+1≤bn)，它的极限是序列中所有区间的交集。也允许区间是开区间或半开半闭的区间。
这是对区间序列给出的两种极限定义。为了引述方便，我们把薛问天提出的用端点的极限定义的极限称为X极限。把Thebeater提出的用并集和交集定义的极限称为丅极限。这里对区间序列定义的两种不同的定义，我认为都是可以的。定义只要不引起矛盾，我认为定义无正确与错误之分。Thebeater对我的定义说【他的定义是有问题的，我觉得可能是薛老师一时疏漏吧。】认为他自己提出的定乂是【正确的区间”极限“理论】。我认为此言不妥，毫无根据。不同的定义当然有不同的特性，不能把这些不同的特性看作是【有问题】。
下面我们来分析，X极限和T极限的特性有哪些不同。
二，定义范围不同，T极限所定义的区间序列，只是X极限定义的部分。
显然X极限涉及的序列面要广一些，只要端点有极限，则此区间序列就有极限，但T极限涉及的序列面要窄一些，要求是单调上升或单调下降的区间序列，要知道单调上升或单调下降的这些序列的端点都是有极限的，凡是有T极限的区间序列都有X极限，反之不然，所以从定义范围来㸔，T极限的定义范围要小于X极限。这点Thebeater先生实际己认识到。他举的例子【比如{[0,1+1], [0,1-1/2], [0,1+1/3],...}，】不是单调上升序列，也不是单调下降序列，从而沒有T极限。但是由于1+1, 1-1/2, 1+1/3, 1-1/4,...的极限是1，从而此序列是有X极限的。它的X极限就是[0,1]。
三，X极限同T极限的不同特性。
刚才说了，对于单调上升区间和单调下降区间都有X极限和T极限，我们来比较一下这两种极限定义的异同。
1 ，我们分两种情况来讨论。首先讨论区间长度的极限不为0的情况。
在这种情况下，X极限定义是这样的，如果n→∞时，an→a，bn→b，则极限区间定义为[an,bn]→[a,b]，(an,bn)→(a,b)，[an,bn)→[a,b)，(an,bn]→(a,b]，
为了讨论T极限的特性，我们先引入一个概念。我们把实数序列an称为是最终全等的，如果存在一个N，当n>N时an完全相等。
T极限的定义是这样的。
关于单调上升序列，
对于单调上升序列，[an.,bn]，有4种情况。
①，如果左右端点序列是最终全等的，则[an,bn]→[a,b]。
②，如果左端点序列是最终全等的，而右端点不是，则[an,bn]→[a,b)。
③，如果右端点序列是最终全等的，而左端点不是，则[an,bn]→(a,b]。
④，如果左右端点序列都不是最终全等的，则[an,bn]→(a,b)。
对于单调上升序列，(an.,bn)，无论左右端点序列是否是最终全等的，则(an,bn)→(a,b)。
对于单调上升序列，[an.,bn)，有两种情况。
①，如果左端点序列是最终全等的，则[an,bn)→[a,b)。
②，如果左端点序列不是最终全等的，则[an,bn)→(a,b)。
对于单调上升序列，(an.,bn]，有两种情况。
①，如果右端点序列是最终全等的，则(an,bn]→(a,b]。
②，如果右端点序列不是最终全等的，则(an,bn]→(a,b)。
对于单调下降序列，
关于[an,bn]，无论何种情况，都有[an,bn]→[a,b]。
关于(an,bn)，有下列4种情况。′
①，如果左右端点序列都不是最终全等的，则(an,bn)→[a,b]
②，如果左端点序列不是最终全等的，而右端点是，则(an,bn)→[a,b)。
③，如果右端点序列不是最终全等的，而左端点是，则(an,bn)→(a,b]。
④，如果左右端点序列都是最终全等的，则(an,bn)→(a,b)。
关于[an,bn)，有两种情况。
①，如果右端点序列不是最终全等的，则[an,bn)→[a,b]。
②，如果右端点序列是最终全等的，则[an,bn)→[a,b)。
关于(an,bn]，有两种情况。
①，如果左端点序列不是最终全等的，则(an,bn]→[a,b]。
②，如果左端点序列是最终全等的，则(an,bn]→(a,b]。
2，区间长度的极限等于0的情况。
根据区间的定义[a,b]={x|a≤x≤b}，(a,b)={x|a＜x＜b}，[a,b)={x|a≤x＜b}，(a,b]={x|a＜x≤b}。如果区间序列中区间长度的极限等于0，则端点的极限a=b。
区间序列的X极限是[an,bn]→[a,a]={a}，是由a构成的单点集。
(an,bn)→(a,a)=∅，是空集。
[an,bn)→[a,a)=∅，是空集。
(an,bn]→(a,a]=∅，是空集。
我们看看T极限等于多少。显然只有单调下降序列。
对于单调下降的序列[an,bn]，无论何种情况都有[an,bn]→{a}。。
对于单调下降的序列(an,bn)。有两种情况。
①，如果左右端点都不是最终全等的，则序列(an,bn)→{a}。
②，如果左右端点有一个是或都是最终全等的，则序列(an,bn)→∅，空集。
对于单调下降的序列[an,bn)，有两种情况。
①，如果右端点不是最终全等的，则序列(an,bn)→{a}。
②，如果右端是最终全等的，则序列(an,bn)→∅空集。
对于单调下降的序列(an,bn]。有两种情况。
①，如果左端点不是最终全等的，则序列(an,bn)→{a}。
②，如果左端点是最终全等的，则序列(an,bn)→∅，空集。
四，对于林益的例子，X极限和T极限是相同的，结论是一致的。
我们来看㸔，林益先生的例子，讲的是An和Bn，An=[0, 0.9...9(n位) )，是单调上升区间，长度极限不等于0。按X极限的定义，An的极限p是[0, 1)。按丅极限的定义，它也是[0, 1]，(属情况①)。
对于Bn=[0.9...9(n位), 1]，它的X极限是[1,1]={1}。它的T极限也是单点集合{1}，是同样的。
也就是说An和Bn，在n→∞时的极限，在X极限定义和T极限的定义下，都是相等的，即A∞=[0, 0.999...)=[0, 1)是区间序列An的极限。B∞=[0.999..., 1]=[1, 1]={1}是Bn的极限。
林益先生所说的【当n→∞时， 应当表示为A∞和B∞，】应该指的是区间序列An和Bn的极限，表示为A∞和B∞。从而应该对什么是区间序列的极限，选取严格的定义。这里的Ⅹ极限和丅极限都是可作的选择。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1333246.html
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