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Zmn-0857 薛问天: 不同的极限定义,当然有不同的特性。评Thebeater《0856》

已有 309 次阅读 2022-4-10 09:52 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0857 薛问天: 不同的极限定义,当然有不同的特性。评Thebeater《0856》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对Thebeater先生《Zmn-0856》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

不同的极限定义,当然有不同的特性。

评Thebeater《0856》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,关于区间序列的极限 

我们知道在数学分析和集合论中,并沒有对区间的无穷序列给出定义。林益先生在《0851》中对区间序列An和Bn说【当n→∞时, 应当表示为A∞和B∞,】林益先生沒有讲清楚是什么【当n→∞时, 应当表示为A∞和B∞,】这是n→∞,当然说的是区间序列An和Bn的【极限】表示为A∞和B∞。但是现有数学中只有实数序列极限,并无区间序列极限的定义。刚好这A∞=[0,0.999...),B∞=[0.999...,1]这个中间端点的无穷小数0.999...正好是无穷序列An和Bn的中间端点的序列0.9,0.99,0.999,...的极限。于是我就补充定义了区间序列的定义。我给出的定义是:

〖【定义。区间序列的极限】,设有区间序列Cn=[an,bn],n=1,2,3,...。如果n→∞时有an→a,bn→b,则将区间C=[a,b]称为区间序列Cn的极限,记作当n→∞时,Cn→C。当然在此定义中也可以是开区间或半开半闭的区间。〗

Thebeater在《0856》对集合给出的序列极限是【单调上升的集合列,极限应该是所有的并集;而单调下降的集合列,极限应该是所有的交集。】那么他对区间序列Cn=[an,bn]‘,给出的极限定义就是,单调上升的区间序列(对所有的n,有an+1≤an,bn≤bn+1),它的极限是序列中所有区间的并集。单调下降的区间序列(对所有的n,有an≤an+1,bn+1≤bn),它的极限是序列中所有区间的交集。也允许区间是开区间或半开半闭的区间。

这是对区间序列给出的两种极限定义。为了引述方便,我们把薛问天提出的用端点的极限定义的极限称为X极限。把Thebeater提出的用并集和交集定义的极限称为丅极限。这里对区间序列定义的两种不同的定义,我认为都是可以的。定义只要不引起矛盾,我认为定义无正确与错误之分。Thebeater对我的定义说【他的定义是有问题的,我觉得可能是薛老师一时疏漏吧。】认为他自己提出的定乂是【正确的区间”极限“理论】。我认为此言不妥,毫无根据。不同的定义当然有不同的特性,不能把这些不同的特性看作是【有问题】。

下面我们来分析,X极限和T极限的特性有哪些不同。

 

二,定义范围不同,T极限所定义的区间序列,只是X极限定义的部分

显然X极限涉及的序列面要广一些,只要端点有极限,则此区间序列就有极限,但T极限涉及的序列面要窄一些,要求是单调上升或单调下降的区间序列,要知道单调上升或单调下降的这些序列的端点都是有极限的,凡是有T极限的区间序列都有X极限,反之不然,所以从定义范围来㸔,T极限的定义范围要小于X极限。这点Thebeater先生实际己认识到。他举的例子【比如{[0,1+1], [0,1-1/2], [0,1+1/3],...},】不是单调上升序列,也不是单调下降序列,从而沒有T极限。但是由于1+1, 1-1/2, 1+1/3, 1-1/4,...的极限是1,从而此序列是有X极限的。它的X极限就是[0,1]。

 

三,X极限同T极限的不同特性。

刚才说了,对于单调上升区间和单调下降区间都有X极限和T极限,我们来比较一下这两种极限定义的异同。

1 ,我们分两种情况来讨论。首先讨论区间长度的极限不为0的情况。

在这种情况下,X极限定义是这样的,如果n→∞时,an→a,bn→b,则极限区间定义为[an,bn]→[a,b],(an,bn)→(a,b),[an,bn)→[a,b),(an,bn]→(a,b],

为了讨论T极限的特性,我们先引入一个概念。我们把实数序列an称为是最终全等的,如果存在一个N,当n>N时an完全相等。

T极限的定义是这样的。

关于单调上升序列,

对于单调上升序列,[an.,bn],有4种情况。

①,如果左右端点序列是最终全等的,则[an,bn]→[a,b]。

②,如果左端点序列是最终全等的,而右端点不是,则[an,bn]→[a,b)。

③,如果右端点序列是最终全等的,而左端点不是,则[an,bn]→(a,b]。

④,如果左右端点序列都不是最终全等的,则[an,bn]→(a,b)。

对于单调上升序列,(an.,bn),无论左右端点序列是否是最终全等的,则(an,bn)→(a,b)。

对于单调上升序列,[an.,bn),有两种情况。

①,如果左端点序列是最终全等的,则[an,bn)→[a,b)。

②,如果左端点序列不是最终全等的,则[an,bn)→(a,b)。

对于单调上升序列,(an.,bn],有两种情况。

①,如果右端点序列是最终全等的,则(an,bn]→(a,b]。

②,如果右端点序列不是最终全等的,则(an,bn]→(a,b)。

对于单调下降序列,

关于[an,bn],无论何种情况,都有[an,bn]→[a,b]。

关于(an,bn),有下列4种情况。′

①,如果左右端点序列都不是最终全等的,则(an,bn)→[a,b]

②,如果左端点序列不是最终全等的,而右端点是,则(an,bn)→[a,b)。

③,如果右端点序列不是最终全等的,而左端点是,则(an,bn)→(a,b]。

④,如果左右端点序列都是最终全等的,则(an,bn)→(a,b)。

关于[an,bn),有两种情况。

①,如果右端点序列不是最终全等的,则[an,bn)→[a,b]。

②,如果右端点序列是最终全等的,则[an,bn)→[a,b)。

关于(an,bn],有两种情况。

①,如果左端点序列不是最终全等的,则(an,bn]→[a,b]。

②,如果左端点序列是最终全等的,则(an,bn]→(a,b]。

 

2,区间长度的极限等于0的情况

根据区间的定义[a,b]={x|a≤x≤b},(a,b)={x|a<x<b},[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}。如果区间序列中区间长度的极限等于0,则端点的极限a=b。

区间序列的X极限是[an,bn]→[a,a]={a},是由a构成的单点集。

(an,bn)→(a,a)=∅,是空集。

[an,bn)→[a,a)=∅,是空集。

(an,bn]→(a,a]=∅,是空集。

我们看看T极限等于多少。显然只有单调下降序列。

对于单调下降的序列[an,bn],无论何种情况都有[an,bn]→{a}。。

对于单调下降的序列(an,bn)。有两种情况。

①,如果左右端点都不是最终全等的,则序列(an,bn)→{a}。

②,如果左右端点有一个是或都是最终全等的,则序列(an,bn)→∅,空集。

对于单调下降的序列[an,bn),有两种情况。

①,如果右端点不是最终全等的,则序列(an,bn)→{a}。

②,如果右端是最终全等的,则序列(an,bn)→∅空集。

对于单调下降的序列(an,bn]。有两种情况。

①,如果左端点不是最终全等的,则序列(an,bn)→{a}。

②,如果左端点是最终全等的,则序列(an,bn)→∅,空集。

 

四,对于林益的例子,X极限和T极限是相同的,结论是一致的。

我们来看㸔,林益先生的例子,讲的是An和Bn,An=[0,  0.9...9(n位) ),是单调上升区间,长度极限不等于0。按X极限的定义,An的极限p是[0, 1)。按丅极限的定义,它也是[0, 1],(属情况①)。 

对于Bn=[0.9...9(n位), 1],它的X极限是[1,1]={1}。它的T极限也是单点集合{1},是同样的。

也就是说An和Bn,在n→∞时的极限,在X极限定义和T极限的定义下,都是相等的,即A∞=[0, 0.999...)=[0, 1)是区间序列An的极限。B∞=[0.999..., 1]=[1, 1]={1}是Bn的极限。

林益先生所说的【当n→∞时, 应当表示为A∞和B∞,】应该的是区间序列An和Bn的极限,表示为A∞和B∞。从而应该对什么是区间序列的极限,选取严格的定义。这里的Ⅹ极限和丅极限都是可作的选择。

 

参考文献



 



返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       





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