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Zmn-0920 薛问天: 用笛卡尔乘积的子集定义关系。评一阳生先生的《0919》

已有 430 次阅读 2022-11-26 18:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0920 薛问天: 用笛卡尔乘积的子集定义关系。评一阳生先生的《0919》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对一阳生先生的《Zmn-0919》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

用笛卡尔乘积的子集定义关系

评一阳生先生的《0919》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg对一阳生先生提出的【关系不可定义为集合的四点理由】评论如下。

一,【属于】是原始关系,不需要定义。

我们说的关系用笛卡尔乘积的子集来定义,是指的非原始关系的其它关系.。【属于】∈是原始关系,不需要定义,不需要用笛卡尔乘积的子集来定义【属于】关系,它的确切含义是由集合的所有公理所界定的。不过用R表示集R={<x,y>丨x∈y},则x∈y当且仅当<x,y>∈R。这个命题成立,但此命题不作为定义而是定理。不能用属于来定义属于,否则犯循环定义错误。

二,用集合来定义关系,并不会混同集合和关系这两个不同的概念

一阳生先生问【请问薛老师如果把关系或性质定义为集合,岂不等于是用集合自身定义自身或发现自身或描述自身吗?把两个种类不同的对象说成是同一种类对象,岂不是强行定义?

先生说的这番话,说明先生对数学定义是用己知涵义的概念来对末知涵义的概念的确切涵义进行表述的本质还缺乏了解。 在用集合来定义关系,是由于我们己知集合是由公理界定的,集合概念的确切涵义是已知的。而关系的确切涵义我们尚不知道,而是由定义,用集合给以确切的描述。把关系的确切涵义描述清楚。定义后,关系的涵义就清楚了,说x∈Ⅹ和y∈Y的x,y具有R关系R(x,y)的确切涵义是,当且仅当二元组<x,y>属于笛卡尔乘积XxY的某个子集R。这是多么清楚的表述,怎么能说是【混同】,说是【把两个种类不同的对象说成是同一种类对象】!

一个笛卡尔乘积的子集定义一个关系,不同的子集定义不同的关系。不可能一个子集对应【多个关系】。

另外,先生对关系的理解有误,先生说【关系R(x,y)成立即对于每个x ∈X,都有唯一的y ∈Y,使得R(x,y)成立。】一般的关系没有这种单值性的要求。有这种单值性要求的关系称为映射,即函数关系。

再补充一句,通常把性质看作是一元关系,对一元关系就不用笛卡尔乘积的子集来定义,而是把x∈Ⅹ的性质P,用Ⅹ的子集P⊆Ⅹ来定义。即x具有性质P,P(x)成立当且仅当x属于集合P,x∈P成立。

三,这些实例一切都是正常的。

一阳生先生举了实例。【现在考察笛卡尔乘积NxNxN的子集。有满足加法关系的子集R1 ={<x,y,z>:x+y=z },有满足乘法关系的子集R2 ={<x,y,z>:x *y=z },也有满足某关系的子集R3 ={<2,2,4> },……。

很正确。这一切都是正常的用子集R1表示了加法关系x+y=z。用子集R2表示了乘法关系x*y=z。用子集R3表示了x=y=2,z=4的关系。

一阳生先生认为【作为关系的R3既是加法关系又是乘法关系】是错误的。R3既不是加法关系,又不是乘法关系,因为它不满足【当目仅当】的条件,虽然如果<x,y,z>∈R3,则x=y=2,z=4其满足加法和乘法关系,但满足加法或乘法关系的<x,y,z>并不都属于R3。如<2,3,5>满足加法关系,<2,3,6>满足乘法关系,但它们都不属于R3。

同时,先生还说【R3还可以是关系2+2+4或关系2*2*4等等,即三个对象x,y,z均作为加数或乘数等等。】这是错误的,2+2+4和2*2*4这都不是关系,关系必须能对元素给出是或否,成立或不成立的回答。子集R3表示的是x=y=2,z=4这个关系。一般地说,对关系的三元组元素<x,y,z>,并不要求给出什么【输入输出或自变量因变量】等内容。

所以一阳生先生由此所得出的结论【由此可看出一个笛卡尔乘积的子集,可以是多种关系,不能准确的表达某一具体关系。不能充分的表达某种关系。 】是错误的,是毫无根据的。

四,在用笛卡尔乘积的子集定义关系时,当然是一个子集定义一个关系。

一阳生先生问道【当我们把加法x+y=z的关系定义为笛卡尔乘积NxNxN中的一个子集R1={<x,y,z>:x+y=z }时。关系1+1=3相对于子集R1是不成立的,但相对于子集R4={<1,1,3>}却是可以成立的。如此造成的后果是同一关系成立与否依面对不同集合而定。请问薛老师是否对此产生了荒谬之感?

我怎么一点【荒谬之感】都没有。当用子集R1定义加法关系时。加法关系成立,x+y=z,当且仅当<x,y,z>∈R1成立。也就是说加法关系是由R1这一个集合来定义的。由于<1,1,3>∉R1,就断定它不具有加法关系。这同<1,1,3>∈R4毫无关系。  引入R4是毫无用处的多此一举,根本没有必要。

综上所述,一阳生先生所说的【关系不可定义为集合的四点理由】完全不成立。关系的确切含义完全可以用集合来加以定义。即说x∈Ⅹ和y∈Y的x,y具有R关系R(x,y),当且仅当二元组<x,y>属于笛卡尔乘积XxY的某个子集R。


下面我们对一阳生先生关于《0910》跟帖的回复做点评论。

1,关于用集合定义关系。

关键是对我们所说的把关系定义为集合沒有仔细正确的理解。关系同集合都可以问它们的【存在】的问题。给定了集合,集合存在则关系存在,反之亦然。关于问【成立】的问题,我们不是在问关系R是否成立,这没有意义,而是在问对元素x,y,关系R(x,y)是否成立。例如对于小于关系<,我们不是在问小于关系是否成立,而是对于具体的数,例如3和9,在问3小于9,3<9,是否成立。对于集合我们也不是在问集合是否成立,而是在问,二元组<x,y>属于集合R是否成立。这都是完全对等的。不存在【对关系不问是否存在,对集合不问是否成立的】问题。我们所说的意思是指,把元素x和y间关系R(x,y)的成立,定义为当且仅当二元组<x,y>属于笛卡尔乘积的子集R。简单地说是把元素x和y间关系R的成立,定义为二元组<x,y>属于子集R的成立′。

也就是说把关系定义为子集,【关系=笛卡尔乘积的子集】 。不是【R(x,y)=R】,而是【R(x,y)等价于<x,y>∈R】,是【R(x,y)的成立当且仅当<x,y>∈R的成立】。

2,关于属于关系。

前面己讲过,【属于】∈是原始关系,不需要定义,不需要用笛卡尔乘积的子集来定义【属于】关系,它的确切含义是由集合的所有公理所界定的。不过用R表示集合R={<x,y>丨x∈y},则x∈y当且仅当<x,y>∈R。这个命题成立。由于x属于y,x∈y当且仅当<x,y>∈R。所以仍可以把这个由属于关系定义的集合R看作是属于关系。但此命题不作为定义而是定理。不能用属于来定义属于,否则犯循环定义错误。

需要注意的是同属于关系对应的子集是R,而不是一阳生先生所举的集合{< 1,2 >},因为大量的满足x∈y的二元组<x,y>都不属于此集合,如2∈3,3∈4等。这个集合代表的关系不是属于关系,而只是关系x=1,y=2。这是先生理解错误,而并不是集合代表的关系发生了什么【分歧】。

3,非常高兴看到关于不充分的问题,一阳生先生认识到【举例不当】。

4,关于用“物化”和“产物”作比喻的问题。还未完全理解。暂无评论






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