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Zmn-0883 薛问天: 李鸿仪先生文中的错误太多，评《Zmn-0880》

已有 746 次阅读 2022-9-1 11:06 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0883 薛问天: 李鸿仪先生文中的错误太多，评《Zmn-0880》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0880》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

李鸿仪先生文中的错误太多，

评《Zmn-0880》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 李鸿仪先生由于缺乏严格的数学逻辑训练，所以文中的错误太多。大多都是由于不认真，不细致，在理解概念的含义，以及逻辑推理中，思维不严密而造成的。我仔细阅读了此文。提出了李先生文中的10个错误，并做了一些分析。我建议李先生对这些错误都能认真思考，认清出错的原因，使自己的数学思维水平有真正的提高。

第一个错误。这个验证方法只能验证【满射】，验证不了【单射】。

李先生说【假定我们认为已经找到了互相之间的双射函数b=f(a)，只要看看集合{b|b=f(a)，a∈A}与B是不是同一个集合即可完成验算:是则双射函数正确，否则就错误。】

我们知道用集合B'={b|b=f(a)，a∈A}同B【是同一个集合】，只能验证A→B的映射f是满射，而验证不了f是单射。所以说【是则双射函数正确】是错误的。例如A={-2,-1,1,2}，B={1,2}。显然B'={b丨b=IaI，a∈A}，同B是同一个集合。但b=IbI是满射但不是单射，从而不是双射。说明说这种方法能验证映射是双射是错误的。

第二个错误。对单射和满射的定义认识错误。

李先生说【对任何一个n∈N，有且只有一个n'=n-1∈N'(单射)，且对任何一个n'∈N',有且只有一个n=n'+1∈N(满射),】

这个注释是错误的。【对任何一个n∈N，有且只有一个n'=f(n)∈N'】这是N到N'的【映射(即函数)】的定义，不是【单射】的定义。【单射】的定义是原像顶多只有一个不能重复，即【对任何一个n'∈N',顶多只能有一个n∈N，使n'=f(n)】，【满射】的定义是【对任何一个n'∈N',都存在有n∈N，使n'=f(n)。】例如前面举的例子b=IaI，是A到B的满射，但不是单射。如果一个映射 n'=f(n)满足【对任何一个n'∈N',有且只有一个n∈N，使n'=f(n)】，则这是【f是双射】的定义，不是【f是满射】的定义。

第三个错误是，李先生说【根据真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目都比其真子集多，】

(1)，【真子集的定义】中没有李先生所说的这个内容。

既然说是根据定义【可知】，就要搞清定义是什么，看定义中有无你要说的内容。若A⊆B，即A的元素都是B的元素则称A是B的子集，如果此时还有B中的元素不属于A，B⊊A，则称A是B的真子集。即A是B的真子集定义为A⊆B但B⊊A。或者严格地说是，两个条件，一个条件是对任何x，如果x∈A则x∈B。另一个条件是存在着y，y∈B但y∉B 。从此【真子集定义】中看不出有李先生想要得到的【任何无限集合的元素数目都比其真子集多】这个内容。连【元素数目】这个概念都未涉及。

(2)，对于有限集，倒是可以根据真子集和有限集【元素数目】的定义，经过推理，证明出【任何有限集合的元素数目都比其真子集多，】

因为有限集定义为能同某自然数表示的集合一一对应，就将此自然数称为此有限集的【元素数目】。也就是说，有限集的【元素数目】定义为自然数，就可以用自然数的大小严格定义该有限集的【元素数目】的多少。因而在此定义下，经过逻辑推理就可证明【任何有限集合的元素数目都比其真子集多，】(证明略)。

(3)，因为对无穷集，【元素数目】并无确定的定义，所以李先生的这个论断是无意义的，不能成立。

我概括一下，李先生对【元素数目】的定义先后共提出过四个方案，都受到了我的批评，不能成立。

方案1是规定I,Ⅱ,Ⅲ，我批评其不完整，不是对所有的无穷集都有定义。

方案2，李先生补充了Ⅳ，即规定为I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ。对此我批评其中的Ⅲ和Ⅳ有矛盾，不能成立。

方案3，李先生用【定义1】来定义。实际上就是用【一一对应存在双射】来定义【元素数目相等】。

对此，我指出其中只定义了【元素数目相等】，并未定义【元素数目】的【多少】。

方案4，于是李先生在【定义1】的基础上又补充定义【一一配对后有剩余，那么有剩余方的集合的元素数目当然就比另一方多】(《0876》跟帖[31])。李先生说的【一一配对】指的就是单射。

对此我已作出严历的批评。〖正因为【存在双射】是【存在单射是满射】，而不是【所有单射是满射】，所以在【存在双射】的情况下，在你定义它们【元素数目】相等的情况下，仍然可能有不少单射不是满射，是【后有剩余】的。而李先生说【一一配对后有剩余，那么有剩余方的集合的元素数目当然就比另一方多】，这样李先生就对【元素数目相等】的集合又定义是【元素数目多】而不相等。这就产生了矛盾，出现了严重的错误。〗(《0876》跟帖[39]，薛评[31,33])

也就是说对于无穷集，如果存在一个单射是满射，并不是所有的单射都是满射。仍然可能会有很多单射不是满射。所以对于无穷集，不能用不是满射的单射的剩余来定义【元素数目】的多少。这样的定义是有矛盾的，错误的，不能成立。

总括上述，到现在为止，李先生对【元素数目多少】的定义并未真正形成。仍然不能在论断中使用。

第四个错误，验算结论的错误。

李先生想用集合N'={ n'| n-1，n∈N}同N1={0}UN不是同一集合，来验证n'=n-1，不是N同N1间的双射。但由于李先生所说的【根据真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目都比其真子集多，】是错误的，因而得不出【N1的元素数目当然也比其真子集N多，】，从而得不出【故N1的元素数目比N'多，N1与N'不可能是同一个集合，】所以李先生得出的结论【验算失败】是错误的。

也就是说，李先生对n'=n-1是双射函数，和我关于N'和N1是同一个集合的严格证明，指不出任何错误，却企图用【验算失败】来反驳，结果宣告完全失效。

第五个错误。第二个例子，关于偶数集的验算自然也是错误的。

先指出关于偶数集定义的错误。李先生说【B={1,2,3,…}，A={x|x=z，z=y/2，z,y∈B}，显然A就是B中去掉奇数元素操作后得到的集合，】李先生这个对偶数集的定义是错误的，这样定义的集合A仍是自然数集B。B中去掉奇数元素操作后得到的偶数集应定义为A={x|x=z，z=2y，z,y∈B}，

因为真子集的【元素数目】少的根据是错的，所以推不出【集合A的元素数目少于集合B，】根括李先生【元素数目】的定义，根本推不出【A的元素数目又只有B的一半】这个主观臆想的结论。所以最后得出的【验算失败】的结论是错误的。实际上A是B的真子集，可以严格证明，B和B’是同一集合，映射f(x)=x/2 是A→B的双射。

第六个错误，是对省略号和列出式所表示的无限集合元素的确定性理解错误。

李先生说【由于无限集合的元素基本上都用省略号表示，省略号里面的情况人们未必想得很清楚，所以不能简单化地想当然。】

在文的后边，李先生也说【由于列出式只列出了部分元素，不可能详细地把上述过程列出来，所以列出式相同的集合实际上并不一定是同一个集合。】

要知道无限集合的元素是由它的定义所决定的。【列出式+省略号】只是它的省略表示，便于你直观理解。只要无限集合的定义明确，【列出式+省略号】表示的集合的元素当然就是很清楚的。集合的元素是由所给出的正式【定义】所明确决定的。相当确定毫不含混。

第七个错误。是过分夸大了【验算】的作用。

尽管李先生也讲【只要思维严格，验算并非一定需要。】但是他却说【以为找到了一个双射函数就以为必然可在两个集合之间建立一一对应，是不严谨的！】

这种说法不对，如果证明了存在的映射满足单射和满射的条件，是双射，就是严谨的推论，就严格证明了必然可在两个集合之间建立一一对应，说它【是不严谨的】，是严重的错误！对于这种严谨的证明，所谓的【验算】根本就不需要。而李先生的错误，正是在用这种错误的【验算】来否定正确的和严谨的【证明】。

第八个错误。李先生对逻辑上的全称量词和存在量词，即【任意(所有)】和【存在(有)】之间的差别及其重要性，缺乏足够的认识。从而使他分不清有限集合同无限集合之间某些属性的确切区别。

例如他把无穷集的特性说成是【任何集合和真子集之间可以建立一一对应，】

这个说法是不确切的。对这个真子集要加量词。加全称量词和存在量词的含义是全然不同的。如果加全称量词说成是【任何无穷集合和其所有的真子集之间可以建立一一对应，】这就是错误的，因为我们知实数集同它的真子集有理数集间就不一一对应。无穷集同它的有限真子集间也不一一对应。正确的应说成是【任何无穷集合和其某真子集之间可以建立一一对应，】，即对真子集应用【存在量词】。

李先生为了说明无穷集的这个属性的矛盾，他的论述也表现出在量词应用上的错误。例如他说【所谓一一对应就是用单射一一配对后没有剩余(是单射也是满射)，】他的这句话的错误就是少说了存在量词。正确的说法是一一对应是【存在双射】，即只要存在一个单射是双射就是一一对应。也就是说单射可能很多，在存在单射是双射的条件下，很可能还存在有单射它不是满射，

因而非一一对应则不是【存在单射不是满射】，而是【所有的单射都不是双射】。要知道无穷集的真子集对它的原集，只是存在有单射(即y=x这个映射)不是满射，只是在这个单射下【一一配对后有剩余】並不是所有的单射都不是满射，都【后有剩余】，从而得不出是非一一对应的结论。但李先生却把此定义为【元素数目多】而不等。错误地发问【任何集合的元素数目又显然比其真子集多，怎么可能在两者之间建立一一对应呢？】可见忽视量词，弄错量词，会导致多么严重的错误认识。

有趣的是这在一百年前都已搞请的道理，在一百年后李先生还不理解，还大言不惭地说【这么明显的自相矛盾，竟然一百多年未被发现，】

第九个错误。用主观的臆想替代严格的逻辑推理。

我们知道数学是逻辑相当缜密的科学。要求数学的讨论必须逻辑严密。所有的概念都要有严格的定义，所有的论断都要有严格的推理，要讲出你的道理来。特别是理论数学还要求公理化。所有的数学理论，都要由相应的公理经过推理得到证明。不能由主观的臆想，随意引出。李先生就犯有这样的错误，有些论断就是不讲任何道理，凭主观臆想随意断言。例如。文中列出

N2={x|x=2*n-1,n∈N}U{x|x=2*n,n∈N}

={1，3，5……，2，4，6......}={1，2，3……}，

然后就说N2的【列出式与N也一样，但N2比N多了一倍元素，与N并不是同一个集合。】

所给出的集合N和N2，有严格的定义，但是你根据什么说【N2比N多了一倍元素】？李先生，你什么时候对【元素数目多了一倍】作过定义？要知道，你的【元素数目多】的定义本身都有很多矛盾。这里又出来一个【元素数目多一倍】，

对于尚未定义的概念，就随意地凭主观臆想作出断定，放在文章中，这本身就違背了数学讨论的基本规定，犯了严重的错误。形式审查都通不过，不要说参加讨论了。

第十个错误。不承认存在【包含所有自然数的集合】。

李先生不承认【包含所有自然数的集合】的存在。他说【如果存在着已经包含所有自然数的集合，那就意味着，自然数已经不能再增加了，必然会导致各种矛盾！】

【所有自然数的集合】是个确定的集合，当然它的外廷不能再增加。既然所有的自然数已含在集合之中，如果再增加，增加的元素就不是自然数，怎么能允许呢？

李先生所举的产生矛盾的例子，都是错误的。他说的【N2比N多了一倍元素，与N并不是同一个集合。】【集合N2-N非空】完全是错误的论断。集合N2周N是同一个集合，集合N2-N=∅是空集。按照李先生【元素数目相等】的定义，也是相等的。这里一点矛盾都沒有。

李先生说【正确的自然数集合的定义应该是可以包含任何一个自然数的集合，但永远包含不了所有自然数。】

李先生说的这句话在逻辑上是站不住脚的。在逻辑上任何自然数都属于此集合，当然可推出此集合包含了所有的自然数。你要证明此集合没有包括所有的自然数，就必须找出一个自然数不属于此集合。由于任何自然数都属于此集合，所以断定你不可能找出不属于此集合的自然数。

李先生解释说【这是因为，自然数是可以永远增加的，这个增长过程永远不可能结束，所以根本就没有所有自然数这个概念。也就是说我们永远只能得到部分的自然数。】

李先生的这个解释是不对的，是低估了我们人类思维的智慧。我们在形成【所有自然数集合】时，已经把自然数可以无限增大的这个特性考虑进去了，我们把它归结为这样一个特性，即规定如果n∈N，则n+1∈N，把它作为N中元素的一个特性。它区别与有限集，没有最大数。这样一来所有由自然数增大而产生的自然数就都包含在集合N中了。这是人类思维的智慧，人类文明的进步。对此智慧不可低估。变化是绝对的，但还有相对的稳定性。自然数可以不断增大，但把所有的增大都考虑进去而形成的所有自然数的集合，它的外延却是不变的，确定的，相对稳定的。那些认为【我们永远只能得到部分的自然数】，【根本就没有所有自然数这个概念】，是对人类智慧过分的低估。而认为【自然数集合不可能是已经包含了所有自然数的集合，而只是包含了部分自然数的集合，所以我们只能一部分一部分，甚至一个一个地研究。】完全是一种低能的表现。

而且李先生所说的【部分自然数】完全是一个错误的概念。

李先生说【部分的自然数也可以是无穷多的，且部分也有相对较大的部分，有相对较小的部分，这样就完美地解释了可以有不同大小的无限自然数集合。】

这是完全错误的。李先生所说的【部分自然数】集合，有的就根本不是所有自然数集合N的真子集，而是同N是同一个集合，如N2等。如果真是N的真子集，在集合论中可以严格证明，N的无穷子集可以同N建立双射，一一对应。按照李先生的定义，它们的【元素数目】都是同N完全相同的。所以说，【完美地解释了可以有不同大小的无限自然数集合】，已成为李先生错误的，毫无意义的主观臆想。

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