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Zmn-0887 薛问天: 这是错上加错。评李鸿仪先生的《0884》

已有 1011 次阅读 2022-9-11 10:54 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0887 薛问天: 这是错上加错。评李鸿仪先生的《0884》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生《Zmn-0884》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这是错上加错。

评李鸿仪先生的《0884》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 我们来逐条评论李鸿仪先生的《0884》。请大家对照着《0884》他的原文来㸔阅本文的评论。本文就不全面引用所评论的全部原文了，

1，【引言】

李先生在引言中说【在我上一篇博文中，......无可辩驳地验证了:任何无限集合，都是不可能与其任何真子集一一对应的。】

请问李先生，我在《0883》中批评的〖第四个错误，验算结论的错误。〗明确指出〖由于李先生所说的【根据真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目都比其真子集多，】是错误的，因而得不出【N1的元素数目当然也比其真子集N多，】，从而得不出【故N1的元素数目比N'多，N1与N'不可能是同一个集合，】所以李先生得出的结论【验算失败】是错误的。〗

对这些错误你如何辩驳，怎么能把无法辩驳，没有辩驳，就说成是【无可辩驳地验证了】，这不是自欺欺人吗？

对于有限集的【元素数目】，是自然数，这是大家所公认的数学概念。但是对于无限集，并无【元素数目】这个大家共识的数学概念。这只是由李鸿仪先生提出的，用所谓【定义1】定义的。为了不引起混淆。今后我们在讨论中，称【元素数目】为【李氏元素数目】。提醒大家，对于无限集【元素数目】这还不是大家共认的数学概念。

2 ，【一一对应和元素的数目】

李先生说【由于一一对应是一个一个元素相对应的,......如果连定义域或值域内有多少元素都是一个模糊问题，任何关于一一对应的讨论又怎么可能有严格的数学意义呢？】

这是完全错误的对数学概念【一一对应】的含义的解释，不能根据这个名称的字面语义去随意理解，而是要根据它的严格数学定义。在数学上一一对应定义为【存在双射】，根本同【元素数目】这个李鸿仪先生提出定义的概念毫无关系。【存在双射】是个非常清楚的概念，有严格的数学定义，没有涉及任何【模糊问题】。

要知道，李先生用【计数的结果】来定义【元素的数目】，是根本做不到的。你说不清对无穷集合如何进行【计数】，如何得到【计数的结果】，怎么知道和断定它们的【相等和多少】。这些都需要具体给出定义，而不是空喊【计数】，不具体定义【如何计数】就以为给出定义了。这不是符号表示的问题，关键要定义出符号表示的对象是什么。对象定义清楚了，选择相应的符号不成任何问题，怎么选择符号都是可以的。

李先生说【计数可以直接计数，也可以将计数对象划分成小块后，然后再分别计数，最后将各小块的计数结果相加后就得到最终的计数结果。】

李先生说的【计数】根本没有给出具体定义，无限集合怎么【直接计数】？什么是【小块】，小块本身如果是无限集，如何【计数】，自然数司以相加，【李氏元素数目】如何进行相加。这些都需要给出具体的定义。在没有给出定义之前就随意使用，这是极不负责的表现。

李先生的【定义1】只用【存在双射】给出了【李氏元素数目相等】的定义，而对元素数目的【多少】和【运算】并未给出任何定义。

李先生，我问你，你是否要为【李氏元素数目】定出同基数一样的加法定义，如你所说【若A，B交为Φ，即C=AUB，则C的元素数目是A的元素数目和B的元素数目之和。】如杲你肯定这么作。我就要告诉你，因为你把【元素数目相等】用【存在双射】定义。就有可能存在这样的无穷集C=AUB，A∩B=∅，B≠∅，使∞C=∞A+∞B=∞A。你承认不承认这个事实，这同基数无关，可以由你的【李氏元素数目】的定义严格推出。

3，【单射、满射和双射的定义和条件】

李先生在《0884》一文中，纠正了我指出的原文中的〖第二个错误。对单射和满射的定义认识错误。〗这次表述的【映射函数】中的单射和满射，可以说纠正了原来解释的错误，基本上是【正确设定】。口头上不承认错误，但实际上去纠错，这在一定程度上说也是一种进步。

当然说得更准确些，需要把【映射】的定义也写出来，说明【单射】是满足单射条件的映射，【满射】是满足满射条件的映射，而【双射】是既满足单射条件又满足满射条件的映射。

设有集合X→Y的一个映射y=f(x)，显然集合X是映射f的【定义域】，我们令f(X)表示映射f的【值域】，即集合f(X)={y|y=f(x)，x∈X}。

李先生提出了关于单射的两个条件，第一个条件1)，实际上是在说它是【映射】，第2个条件是【2) 映射函数y=f(x)的值域所包含元素的数目严格等于定义域所包含元素的数目】，即是说如果映射y=f(x)是单射，则X同f(X)的【李氏元素数目】是相等的。我分析了一下，可以断定说这是【单射】的必要条件是对的。不过理由是因为我们知道所有的映射y=f(x)，都是定义域到值域即X→f(X)的满射，如果f是单射，则它就是双射。从而在X同f(X)间【存在双射】，按照【定义1】即可推出X同f(X)的【李氏元素数目】相等。

也就是说，把X同f(X)【李氏元素数目】相等，作为映射f是单射的必要条件，这是正确的。

另外我们知道，所谓映射y=f(x)是X→丫的【满射】，就是说f(X)同丫是同一个集合。因而如果映射y=f(x)是X→丫的【双射】，则X，f(Ⅹ)和Y的【李氏元素数目】都相等。这都可以由单射，满射和【李氏元素数目】的定义推出。因而可以把X，f(Ⅹ)和Y的【李氏元素数目】都相等，作为映射y=f(x)是X→丫的【双射】的必要条件。

4，【条件的应用】

关键是李先生错在【条件的应用】这里。李先生用此来反对N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射。他使用的推理是错误的。他是这样推论的，他说【其值域元素却只有2，3，4......比映射方少了一个元素，不满足条件2），所以，映射: y=g(x)=x+1不是单射！】

他认为值域集合g(N)比集合N少含了一个元素，从而集合N和集合g(N)的【李氏元素数目】不相等，所以映射g不是单射。听起来似乎很有道理，但实际上犯了大错。他在这里混淆了有限集同无穷集的区别。

如果N和g(N)是有限集，当g(N)比N少含一个元素时，自然它们的【元数数目】不相等。但对于无限集，当g(N)比N少含一个元素时，你怎么知道它们的【李氏元素教目】不相等。在这里恰恰是李先生错了。正是李先生自己所给的定义，使它们的【李氏元素数目】是相等的。通过这个例子刚好可以证明，集合g(N)比N少含一个元素，但g(N)同N的【李氏元素数目】是相等的。证明很简单。首先用单射的定义来证明g是单射。这是李先生引的单射条件的定义【若对X中任意两个不同元素x1,x2.，x1≠x2, 通过映射函数y=f(x)得到的像f(x1)≠f(x2);】。可以非常简单地由x1≠x2,证明g(x1)≠g(x2)，用反证法假定g(x1)=g(x2)，即x1+1=x2+1，得x1=x2，与x1≠x2,矛盾。从而g是单射得到证明。

我们知道，映射对于它的值域集是满射，从而推出g是N→g(N)的双射。也就是说证明了N和g(N)是【李氏元素数目相等】。证毕。

通过这个例子刚好证明了，集合g(N)比N少含一个元素，但g(N)同N的【李氏元素数目】是相等的。

李先生说道要尊重事实。请问李先生你承认不承认如下事事，①，集合g(N)比N少含一个元素，②，映射y=g(x)=x+1，是单射，③，集合g(N)同N的【李氏元素数目】相等。要知道③是由②根据你的必要条件推出的。因而你说【集合g(N)比N少含一个元素】却又说【集合g(N)同N的[李氏元素数目]不相等】，就是不尊重事实的主观臆断。

我们知通，N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射，但不是滿射。这就说明了李先生的论断: 当两个集合的【李氏元素数目】相同时，【任何单射都是双射】和【永远找不到一个不是滿射的单射】，是错误的。

5 ，【进一步的推理和讨论】

错上加错，李先生所给的命题A，C，D以及其推论全是错误的。我们逐条分析如下。

①，命题A是错误的。

【命题A 元素数目相等的集合A,B之间的任意单射都是双射。】

例如N和N是同一个集合，它们的【李氏元素数目】相等。但N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射但不是滿射，从而不是双射。这就推翻了命题A。

李先生说N→N的单射【无一例外都是双射。永远找不到像薛先生所想象的那样不是双射的单射。】

李先生你对单射g如何解释？

李先生对命题A证明中的错误在于，A→B的任意单射f，只是A到f的值域f(A)的满射，而不是A到B的满射。另一方面，如果A同B的【李氏元素数目相等】，那只是【存在双射】，即只是存在有单射是满射，而不是A→B的任意单射都是满射。

②，命题B没有错，因为【李氏元素数目】的相等，就是用【存在双射】定义的。所说的【证明】根本是没有必要的画蛇添足，多此一举。

③，推论1是错误的。

【推论1:若在集合A，B之间存在一个不是双射的单射，则A，B的元素数目不同。】

N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射但不是滿射，从而不是双射。李先生你能说，N和N这同一个集合，它们的【李氏元素数目】不相等吗？

④，推论2是错误的。

【推论2:若在集合A，B之间存在一个不是双射的单射，则A，B间不可能建立双射，这时A，B间的任何单射都不是双射】

N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射但不是滿射，从而不是双射。李先生你能说，N和N这同一个集合间不能建立双射吗？你能说N→N的映射y=f(x)=x，不是单射不是滿射，不是双射吗？

⑤，命题C是错误的。

【命题C 集合A，B之间能否建立双射与且仅与集合A，B的元素数目是否相同有关，与采用什么样的映射函数没有关系:若相同，则任何单射都是双射，若不同，则任何单射都不是双射。】

集合A，B的【李氏元素数目】是否相同，就是由是否【存在双射】定义的。怎么能【与采用什么样的映射函数没有关系】呢？【若不同，则任何单射都不是双射。】这是对的。但是说【若相同，则任何单射都是双射，】就不对了，【存在双射】的意思是说只要有一个单射是双射就可以了。

李先生说【只要观察任何一个单射，......如果它不是双射的话，那就说明A，B的元素数目不同，任何单射都不是双射。】

这显然是错误的，因为观察到N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射但不是双射。李先生你能说，N→N的单射y=f(x)=x，不是双射吗？

⑥，量词应用的错误。

李先生说【传统的量词应用在这方面错了一百多年。例如，在传统概念中，必须证明所有的单射都不是双射，才能认为A，B之间不能一一对应，这显然是错了，实际上也不一定做得到。】

集合论中把一一对应定义为【存在双射】，因而【必须证明所有的单射都不是双射，才能认为A，B之间不能一一对应】。这一点错误都没有。存在量词的否定应是全称量词，不能还是存在量词。李先生把【李氏元素数目相等】定义为【存在双射】，却说【只要观察任何一个单射，......如果它不是双射的话，那就说明A，B的元素数目不同，】这才是严重的逻辑错误。这个逻输错误，对量词应用认识的错误，是导致李先生产生错误的重要根源。

⑦，认为数学研究要根据【直观】的错误。

另外一个错误，就是李先生强调我们研究数学要根据【直观理解】。他说【这是非常直观的、小孩子也能想得到的事情，】什么是【直观】，直观就是人们通过感观，直接得到的认识。研究数学根据【直观】来研究行不行，显然不行！人们通过【直观】，【小孩子也能想到的事情】只是有限的集合。人们通过【直观】，只能计算有限集合的元素数目。看不到无穷集合中所有的元素，因而无限集合的各种属性，根据【直观】是得不到的。必须通过思维，通过定义，通过推理来研究讨论。

也就是说李先生通过【直观】所理解的规律都是有限集合的规律，不能随意用在无限集上。人们通过【直观】看到的都是有限支箭的发射，都是有限个房间的旅馆。如果要研究无限支箭，无限个房间的旅馆，根据【直观】就不行了，就要通过思维，定义和逻辑的推理。这是李先生缺乏这方面的认识而导致错误的另一根源。

⑧，对集合论的一些结论认识理解上的错误。

我发现李先生在文中评论的一些集合论的结论，並不是他说的那样，是他理解有误。例如李先生说【集合论的元素都是对应于某一种事物的，怎么可能凭空产生，凭空消失呢？所谓基数加法却显然违反了这一点，】

这是对基数运算定义的严重误解。集合论有严格的外延公理。保证了集合所含元素的确完性，不变性。基数运算的定义，严格地遵守这个公理的规定，非常严谨非常明确，根本不存在李先生所说的【凭空产生，凭空消失】。这是李先生的错误理解。

我们知道〖无限集可以与其某一真子集一一对应〗，这是在数学上严格证明的命题。李先生对其中的证明提不出任何问题，却硬说这是【错误的命题】。

李先生经常故意歪曲别人的观点，如他说【薛问天认为原本是一一对应的N与N之间的对应关系也可以通过改变映射函数变成不能一一对应，】这真是莫明其妙的有意捏造。我什么时候说过N同N【变成不能一一对应】。N同N当然一一对应，因为N→N的映射y=x是双射。但要注意N同N一一对应的同时，N还同它的真子集N-{1}也是一一对应的，因为N→(N-{1})的映射y=g(x)=x+1，是双射。这是无穷集N的重要属性。

⑨，命题D是错误的。

【命题D 若A,B间的任一单射f:A→B不是满射，则必有B-A≠Φ，即B的元素数目比A多。】

N→N的映射y=g(x)=x+1，是单射但不是满射。李先生你能说，N-N≠∅，N的【李氏元数数目】比N多吗？

李先生对命题D的证明的错误在于，由【该单射不是满射】只能得出〖B-(A在B的像)≠∅，A在B的像是B的真子集〗。即得出〖A同B的真子集的【李氏元素数目】相同〗得不出【B的元素数目比A多，所以B-A≠Φ，】

我上次说了李先生的〖错误太多了〗，这次的回应又是〖错上加错〗。关键是李先生并没有认识到这是错误。他说【这些不同，并不是因为我用的双射定义与康托不同，而只是因为我的思维方法和思维习惯与他不同而已。】其实这不是什么【思维方法和思维习惯】的不同。而是在具体的数学问题的思考中逻辑推理不严密，是在推理中犯的错误。推理中要严格按照数学的定义来推理，数学不能根据【直观】或不讲任何道理的主观的臆想来进行论断。