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Zmn-0886 反对伊战：分析一个常见的业余数学家对哥德巴赫猜想的证明

已有 1169 次阅读 2022-9-8 09:58 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0886 反对伊战：分析一个常见的业余数学家对哥德巴赫猜想的证明

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

分析一个常见的业余数学家对哥德巴赫猜想的证明

反对伊战

记号：a/b表a除以b，比如1/2=0.5。

a*b表a乘以b。

1-1/2 是1 减去 1/2，而不是 1 减去 1 之后再除以 2。

我见过好几位业余数学家对哥德巴赫猜想的证明，这些证明基本上相同，现将证明的意思大致叙述如下。

定理1. 每一个大的偶数N都可表为两个素数之和，即存在素数P1，P2，满足P1+P2=N。

证明：现假定n是区间[3，N/2]中的一个奇数。则只要证明有这样的n，使得n和（N-n）都是素数，则哥德巴赫猜想即已获证。

由于n是奇数，所以（N-n）也是奇数。如果对于区间[3，根号N]中的每一个素数P，都有n，（N-n）都不能被P整除，则由于1<n<N，且n不能被任何一个小于等于根号N 的素数整除，所以n是一个素数。【说明：实际上，由于对于区间[3，根号N]中的每一个素数P，都有n不能被P整除，且n是奇数，n不能被2整除，所以，对于每一个小于等于根号N 的素数P，都有n不能被P整除。由于n>1，所以n可表为若干个（设为k个）素数的乘积，这里 k 大于等于1。由于对于每一个小于等于根号N 的素数P，都有n不能被P整除，所以，这k个素数都大于根号N。而n是这k个素数的乘积，所以 n 大于根号N 的 k 次方。如果 k大于等于 2，则 n >N。这与已知 n<N (因为n 小于等于N/2) 矛盾。所以，k=1。这说明 n是一个素数。】同理，（N-n）也是一个素数。于是，哥德巴赫猜想得证。

所以要证明哥德巴赫猜想，只需证明存在区间[3，N/2]中的一个奇数n，满足对于每一个 [3，根号N] 区间的素数P，都有P不能被n整除，P也不能被（N-n）整除。

为了证明上述的n是存在的，我们用筛法。设P是[3，根号N] 区间的一个素数，我们要求n满足n不能被P整除，所以将区间 [3，N/2] 中的奇数筛了一次，有大约 1/ P 的数被筛掉。同理，又要求（N-n）不能被P整除，于是又筛一次，筛掉 1/ P 比例的数。（有可能两次被筛的数是相同的，不过，我们不对此细加讨论。）经两次筛除后，[3，N/2]中，至少还有 1-2/P比例的奇数没有被筛掉。

命题1. 如果对于区间 [3，N/2] 中的奇数，关于区间 [3，根号N] 中的每一个素数P都按上面方法筛，则最后剩下的未被筛掉的数的比例至少是（1-2/P）关于[3，根号N]区间的素数P 的连乘积，即（1/3）*（3/ 5）*（5/ 7）*（9/ 11）*…。我们将这个连乘积记为兀2。（命题1毕。）

设区间 [3，N/2] 中奇数的个数为a，则 a 大于等于（N/4）-2，而可以证明,兀2大于等于 1/根号N。（证明，我这里就不写了。）

所以，筛剩下来的数的个数大于等于 a乘以兀2 大于等于（（N/4）-2）/根号N。由于N很大时，显然（（N/4）-2）/根号N>0，且很大：（（N/4）-2）/根号N 约等于（根号N）/4，所以，满足我们要求的n存在，于是哥德巴赫猜想获证。证毕。

注：有证明者将上述证明方法称为“双筛法”。

下面，我们来分析上面的证明。证明的关键是命题1。由于几位证明者都未给出命题1的严格证明，从数学角度讲，命题1是不能被数学界所接受的。那么，退一步，我们来考虑，虽然没有严格的证明，命题1是否实际上是正确的？

由于“双筛”太复杂，我们来考虑“单筛”的情形，即对一个素数P，只筛1次，只筛去 1/p（而非2/p）比例的情形。设P是一个小于等于根号N 的素数（为方便起见，这里我们允许P=2），我们将正整数集合中能被P整除的正整数筛除，这样有大约1/p比例的数被筛除，有1-1/p比例的数未被筛除。这样，当对所有的小于等于根号N 的素数P，都使用一次上面的筛法后，按照命题1的逻辑，最后剩下数的比例是（1-1/ P）关于小于等于根号N的素数P的连乘积，即（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*…。我们将这个连乘积记为兀1。于是根据命题1的逻辑，我们有如下的

命题1’. 设b，M是正整数，则在区间[b+1,b+M]中的M个正整数中，不能被小于等于根号N 的任一个素数P整除的数的比例大约是兀1，从而这种数的个数大约为兀1*M。

下面，我们来看命题1’对不对。为简便计，我们把“不能被小于等于根号N 的素数整除”这条性质称为Q-性质，具有这样性质的数称为Q-性质数。于是命题1的大致意思是在自然数集的各处，Q-性质数在整数中的比例，或者说Q-性质数的密度大约为兀1。

那么，是不是这样呢？设小于等于根号N 的全部素数从小到大排列为 2=P1<P2<…<Pr小于等于根号N，则由数论中的定理，在区间[1, P1* P2*…*Pr]中，Q-性质数的个数为(P1-1)*(P2-1)*…* (Pr-1)。所以在此区间中，Q-性质数的比例为 (P1-1)* (P2-1)*…*(Pr-1)/(P1* P2*…*Pr)，恰好等于兀1。但P1* P2*…*Pr是一个很大的数，比如N=1,000,000时，P1* P2*…*Pr>10的300次方。

那么对于长度较小（与N相比不太大）的区间，Q-性质数的比例会怎么样？

首先，1是Q-性质数。而在[2,根号N]区间，没有Q-性质数，所以Q-性质数的密度（即比例）为零！所以，对于此区间，用兀1来估计Q-性质数的密度是完全错误的！

下面，考虑 m 在区间（根号N，N]时的情形。此时，m是Q-性质数等价于m是一个素数。由素数定理，在m附近，素数的密度大约为 1/(logm)，这里，log表以常数e=2.71828....为底的自然对数。所以，当m从根号N 增加到N时，密度从 1/(log/根号N ) = 2/(logN) 减小到 1/(logN)，密度不是一个常数。所以用一个常量来近似表示上面从 2/(logN)到 1/(logN) 的不同的量，肯定是不精确的。

那么，兀1 等于多少？由数论中的Mertens定理，兀1 约等于（e的负c次方）/(log 根号N) =2*（e的负c次方）/(log N)，此处c=0.57721...是欧拉常数，c被定义为n趋于无穷时，(1+ 1/2 +1/3 +…+1/n-logn)的极限，所以2*（e的负c次方）/(log N) 约等于 1.12/(log N)。

当m>N时，随着m的增大，计算m附近Q-性质数的密度会越来越困难。我计算了一下，当m= N的（3/2）次方时，在 N的（3/2）次方附近，Q-性质数的密度约为(2+2log2)/(3 log N) 约等于1.129/(logN)。（计算过程略。）

小结：随着m的变化，m附近的Q-性质数的密度不是一个常量，而是有复杂的变化规律。所以，命题1’是错误的。而命题1’是按照命题1的逻辑得到的。所以，命题1是完全靠不住的。

文博主：您好!

如果文章发表，请在文章后面的评论区加上我的评论。

反对伊战

评论如下：

用我文章中描述的方法（命题1）去证明哥德巴赫猜想的人有沈卫国先生，冯军刚先生，还有别的人，但我不记得他们的名字了。下面附上沈卫国先生的一篇文章。由文章中的（4），（6）可知，沈卫国先生用了我文章中的命题1去证明哥德巴赫猜想。下面是沈卫国先生的文章。

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我对哥德巴赫猜想的证明思路

西北工业大学信息智能与逻辑研究所沈卫国

笔者在“国家科技图书文献中心预印本”发表了“强哥德巴赫猜想的证明”一文。不但证明了该猜想，而且得到了更强的结果。因而谓之“强哥德巴赫猜想”。有兴趣的数学爱好者可去该中心下载。由于该证明文章必须顾及数学证明的“严格性”，因此有面面俱到的缺点，反使解决该问题的重点思路不突出了。此文试图用极其通俗易懂的语言，解释笔者的证明思路而不涉及具体的证明过程。也就是，使此证明所反映的整数间的客观规律突出出来，大家一看就懂。然后就可以品评一番了。以下分步骤详述之。

1、任何偶数N，满足两个奇数相加等于它的奇数对共有N/4个（取整）。而且这两个奇数分别小于、大于该偶数除以2的“中间数”，也就是在该“中间数”的两边。这都是显然的。比如偶数20，其中间数是10，满足两个奇数相加等于它的奇数对分别是：9、11；7、13；5、15；3、17；1、19。其中1、19没有意义，可以舍去。在所取偶数很大时，误差是很小的。

2、在我们对任何偶数N，在其中点N/2两边等距地取奇数以构成其和等于N的奇数对时，是存在周期性的规律的：对任何小于根号下N（也就是N的1/2次方）的素数S（注意，这里不是“奇数”）而言，在上述奇数对中，如果两个奇数中都含有S因子（也就是能被S整除），则这样的奇数对占全部奇数对总数（N/4）的1/S；而如果是该奇数对的两个奇数中只有一个奇数含有S因子，则这样的奇数对占全部奇数对总数（N/4）的2/S。读者可自行验证上述规律。注意，上面的第一种情况（也就是占1/S的情况），是该偶数N的中点N/2中含有素数S因子时的情况。而第二种情况（也就是占2/S的情况），是中点数不含该素数S因子的情况。比如，如果所论偶数N为42，则其中点数是21，为素数3的合数，也就是含有素数3因子（能被3整除），于是，在满足要求的奇数对19、23；17、25；15、27；13、29；11、31；9、33；7、35；5、37；3、39中（1、41无意义，舍弃），含有3因子的奇数对是15、27；9、33；3、39，正好3对，正好占全部奇数对总数9个的1/3（这里S为3）。而对于素数5，则中点数21中不含5因子，所以，可以看出，含5因子的奇数不会同时出现在上述奇数对的两个奇数中，比如17、25；15、27；7、35；5、37，是分别出现的。而且其数目基本占全部奇数对总数N/4（这里也就是42/4=10（取整））的2/5，也就是4个。其它情况，读者可自行多举几个例子验证之。所取偶数越大，误差越小，因为不整除而有余数并被舍弃所产生的误差将随所论的偶数N的增大而变得微不足道。这里揭示的规律本不足为奇，因为对素数S而言，每隔S的倍数，就有一个含有S为因子的整数。每隔2S，就有含有S为因子的奇数（当然，或偶数）。因此，对奇数对而言的规律，不过是这一整数规律的“次规律”而已。

3、既然我们知道了含素数S因子的奇数对相对奇数对总数的比例（所占比例），那么，我们用1来减，就可得到不含素数S因子的奇数对相对奇数对总数的比例了。也就是（1-1/S），或（1-2/S）。比如，对素数3而言，在所论偶数N中，不含素数3因子的奇数对数为：奇数对总数乘以（1-1/3），也就是乘以2/3；或者是奇数对总数乘以（1-2/3），也就是乘以1/3。而所谓“奇数对总数”，前面已经指出了，很显然，就是N/4。换言之，就是（N/4）*（2/3），或（N/4）*（1/3）。“*”在此处作为乘号。两种情况何时适用，前面已经所论甚详了。对素数5、7等等，道理一样，不过把上面的素数3换成5、7等等就可以了。

4、可以证明，当然也可以实际去验证，上面揭示的关于在奇数对中含或不含素数S因子的规律，即相对奇数对总数的比例的规律，不但对奇数对总数有效，对在所有在奇数对总数中删去了所有或任何含有或不含小于素数S的素数因子的奇数对总数，仍然有效。比如相对于素数7，对前面所述的一种情况而言，不含素数7的奇数对数为（N/4）*（1-2/7），当然，这是相对奇数对总数（N/4）的。而对于在奇数对总数中已经删去了含有素数３因子的奇数对数而言，也就是相对（Ｎ/4）*（１-2/3）而言，该规律仍然成立。换言之，在奇数对总数中，既不含３因子，也不含７因子的奇数对数为（Ｎ／４）*（１－２／３）*（１－２／７）。这个规律是很重要的，但很好证明。此处从略了。

5、对任何已经选定的偶数Ｎ，如果逐次（从小到大）删去含有素数３、５、７，．．．．．．．．的素数对，那么，删到什么时候为止呢？由于我们是从小到大去删的，于是，当删到一个素数Ｋ，其自乘（也就是平方）数大于所选定的偶数Ｎ时，就不必再删了，因为所有包含有小于素数Ｋ的素数因子的奇数对都已经被删除了，而只包含大于等于素数Ｋ因子的合数，都已经大于所选偶数Ｎ了（包括其自乘数Ｋ*Ｋ，即Ｋ的平方，此数为最小的，但也已经大于Ｎ了），所以不必考虑了。

6、有了以上的准备，现在我们要问：在所选偶数Ｎ中，删去所有包含合数的奇数对后，还剩下什么？能否肯定还有奇数对——而此时已肯定成为了单纯的素数对了——存在？只要能证明有一对这样的素数对存在，哥德巴赫猜想就告证明。根据以上讨论，我们可以确定，对所选任一偶数Ｎ而言，删去其所有奇合数对的后的奇数对（也就是奇素数对）数显然为：

　　　　　　（Ｎ／４）*（１－２／３）*（１－２／５）*（１－２／７）*（１－２／１１）*．．．．．．．．．．*（１－２／根号下Ｎ）

注意上式中没有（１－２／９），因为９不是素数。其它不是素数的情况也一样，不出现在上面的公式中。这里，我们在上式中加上

（１－２／９）这类的因子，由于这是一个分母大于分子的分数，乘上这么个因子，只能使整个式子变小，于是，上面的式子就大于下面的式子：

　　　（Ｎ／４）*（１－２／３）*（１－２／５）*（１－２／７）*（１－２／９）*（１－２／１１）*．．．．．．．．*（１－２／根号下Ｎ）

也就是（Ｎ／４）*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(7/9)*(9/11)*…..............*［(根号下Ｎ)－２）］／（根号下Ｎ）

可以看出，分子、分母相消后上式等于（Ｎ／４）*（１／根号下Ｎ），分子、分母都乘以“根号下Ｎ”，就得到最简单的：（根号下Ｎ）/ ４。

也就是说，对所有偶数Ｎ而言，其包含的素数对数必然要＞（根号下Ｎ）／４。当Ｎ大于１６后，此式当然＞１。也就是哥德巴赫猜想得证。同

时，我们的结果还给出了一个满足哥德巴赫猜想的素数对的下限，它与“根号下Ｎ”成正比，随Ｎ的无限增大，它也无限增大，因此是远远大于　　　　　哥德巴赫猜想所仅仅要求的１的。因此，我将此结果称为“强哥德巴赫猜想”。注意，上面的讨论都是针对“最不利”情况的，也就是“中点数”不含所删素数的因子的情况。此时所要删除的奇数对最多，换言之，剩下的素数对最少。因此，在这个情况下如果结论成立，其它情况就更成立了。因此不必再讨论了。　　

　　　我坚信，一个如此简单的命题所描述的关于数的断语，如果它是真理，则必有简单的关于数的规律可循。因此，所谓“初等数论”是唯一的出路。用直接涉及无穷、极限的解析方法来讨论此问题，已经被证明很难有作为。

　　　于此，我还要特别强调，在我之前已有胡桢（已故）、唐国胜二先生先后得到同样的结果（指“＞根号下Ｎ／４”）。他们的证明是否严格是另一个问题（起码与笔者的切入点及思路不尽相同），但发现的关于数的规律，是相同的（客观规律只有一个）。二位特别是已故的胡桢先生在此问题上的成就，是不应该、也终究不会被忽视的。另一方面，三个作者就同样的问题分别独立地得到同样的结果，此结果为错误的概率是不是就很小了？因为真理也就是正确的结论只有一个，而错误的途径可以是极多的。在平坦的马路上的同一个地点不断有人摔倒的可能性是很低的。不是吗？

鉴于这个证明过程的极其简单性、明确性，笔者愿在此提出一个所谓的“反哥德巴赫猜想”，也就是笔者的证明过程，究竟在哪一步是错误的？如果提不出来，不是反倒证明了笔者证明的正确性吗？

　　　严格、完整的证明，请参看笔者在“国家科技图书文献中心预印本”中的论文（强哥德巴赫猜想的证明）。

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