Zmn-0896 薛问天:  一点不糊凃完全清楚，这是李鸿仪先生的错误，评《0895》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-0895》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

一点不糊凃，完全清楚，

这是李鸿仪先生的错误，评《0895》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李先生说【n→∞时，N={1，2，3……n}与极限没有任何关系，不是lim N(世界上不存在这种极限)，也不是{1，2，3……lim n}(我没有这样写)， 】

李先生明明在序列前面写的是【n→∞时】，却说他说的不是序列的极限。′要知道在数学分析中【n→∞时】就是极限用语。在极限论中说，一个无穷序列An，当n→∞时，序列An的极限是A。这个【n→∞时】，就是在说无穷序列An的极限时才使用的词。不说极限，你 用【n→∞时】放在序列前面，说明什么？不说序列的极限，就不应用【n→∞时】这个词！

李先生【n→∞时】用在集合序列的前面。李先生是这样写的【n→∞时，N={1，2，3……n}】。这样写【N={1，2，3……n}】，就写错了，N是所有自然数的集合，是无限集。而等号右边的{1,2,3,...,n}，按照在数学上的集合表示方法，是表示n个自然数的有限集。要知道这在数学上是用来表示有限集合的方法。李先生说n是在变的，要写等号就只能写成Nn={1,2,3,...,n}，这才是n可以变的，取自然数为值的，有限集合的无穷序列的正规表示。

要知道N={1,2,3,...}这是无限集合，它同n可以变化的有限集合的无穷序列Nn={1,2,3,...,n}，在概念上是完全不同的概念。N不是【n→∞时】无穷序列Nn的【极限】，在集合论中可以证明N是无穷序列Nn的【并集】，N=UNn。在集合论中有集合的无穷序列的并集的严格定义，即USn是由所有序列Sn中所有元素组成的集合，即USn={x丨x∈Sn,n∈N}。

因而一点都不糊涂，非常清楚，李先生在文中说的全是错的。

李说【n→∞时，N={1，2，3……n}......与N={1,2,3……}并无本质区别:①都是自然数集就合，】当然有原则区别。N是无限集，而{1,2,3,...,n}，是有限集。当n取所有的n，它是有限集的无穷序列，有原则区别。

李说【②由于n→∞，所以是一个没有上界即最大自然数的自然数集合。】

刚才说了【n→∞】是极限用语。不是极限就不要用【n→∞】。自然数当然沒有上界也沒有最大数， 说n是自然数，n∈N就表示这是有限集的无穷序列，但说它是全体自然数的无限集N，显然是错的。

李说【自然数集合其实可以统一表示为{1，2，3……n}，当n为一个确定的自然数值时为确定的有限集合，n为一个有上界的正整数变量时，为一个有限的外延可变的集合，我称之为有限的弹性集合。n为一个没有上界的正整数变量时为一个无限的弹性集合(n→∞的本质就是n无上界)，】

这样的定义显然不合适。这种表示的并不是一个什么【弹性集合】。集合的外延是确定的，不能变化。外延变化，就表示是多个不同的集合。这种记号所表示的，它是由多个集合构成的集合的′序列。当n有上界时，n<M，这是有限集合的有穷序列。当n是所有的自然数无上界时，这是有限集合的无穷序列。这在集合论中己说得很清楚了。在这里李先生把全体自然数这个无限集N看作是什么【弹性集合】，是有限集合的无穷序列，显然是完全错误的。

李说【这种表示的好处是可以把自然数集合的外延更清楚地表示出来，比如在n遵守同一律条件下，n无上界时，{1，2，3……，n+1}是比{1，2，3……n}多了一个元素的自然数集合，而{1，2，3……}无法表示这种细微的差别.】

当然对任何自然数n，有限集{1，2，3……，n+1}是比有限集{1，2，3……n}多了一个元素。而无限集{1，2，3……，}是所有自然数的集合，同每个这些有限集所含元素的外延全然不同，怎么能是【无法表示这种细微的差别】，是显然可见，全部不同。

李先生举車间生产零件的例子。【比如两个车间用同样的速度无限地生产同样的零件， 但是其中一个车间在开始生产之前已经有了一个零件，】

显然在任何有限天数内，两个车间的总产量都是不同的，多一个零件，但是要注意，这个产品零件集合是有限集合。是在有限天数内的产量。由于在实际上并无【无限天】，我们不会去考虑各个车间【无限天】的产量，我们并不知道【无限天】的产量是多少，因而在这个例子中用无限的全体自然数集合来表示车间的产品零件，就是错误的不现实的。应该用有限的自然数集来表示，一点矛盾都没有，即对于任何n，有限集Nn+1={1,2,3,...,n+1}是比有限集Nn={1,2,3,...,n}多了一个元素，不是同一个集合。这里不涉及全体自然数构成的无限集N。由无限集N的唯一确定性得不出，在有限时间内【上面两个车间造出来的零件数也是一模一样的】这个错误的结论。

李先生说【严格的讨论必须建立我的表示法基础上。否则一切都用省略号表示，省略号里面的内容又不一定一样，怎么可能讨论得清楚呢？除了经常性地混淆是非，颠倒黑白，还会有其他结果吗？】

关于省略号，它只是一个表示的符号。我们数学上对无穷集的讨论绝不是凭省略号表面上所表示的内容来讨论和研究的。省略号表示的内容是由概念的定义决定的。例如我们讨论自然数集合N={1,2,3,...}。绝不是只根据符号中的1,2 3和省略号表面上的内容来了解自然数集合的。关于自然数集合主要是根据皮亚诺公现的5条公理来掌握自然数集合的。又知滿足皮亚诺公理的自然数是最小的归纳集合。再根据ZFC集合的无穷公理知归纳集合的存在，和子集分类公理一起推出确定的自然数集合的存在。得知自然数集合，是一个外延确定不变的集合。说自然数集合【一切都用省略号表示，省略号里面的内容又不一定一样，怎么可能讨论得清楚呢？】

这完全是一种无知的错误的认识。省略号表示的内容是由概念的定义决定的，内容确定，含义清楚。例如，

l 自然数集合N={1,2,3,...}，省略号表示的内容是省略的全部自然数。

l N *={x|x=n+1,n∈N}={2,3,,…}，省略号表示的内容是省略的全部自然数。

l 偶数集合={x|x=2n,n∈N}={2,4,6,8,,…}，省略号表示的内容是省略的全部偶数。

l 素数集合={x|x=N中的素数}={2,3,5,7,,…}，省略号表示的内容是省略的全部素数。

李先生说【传统的集合论可以说是经常把不同的东西混淆在一起了，与其表示方法不科学也有关系。】

我们知道数学概念的确切含义是由它的定义来决定的，而不是由其表示方法决定的。李先生不了解，正是他提出的这种用有限集的无穷序列来表示无穷集合的这种方法，导致了各种错误。

李先生说【采用这种方法以后，集合的外延区别及其相关的结论就可以很清楚地表示出来，比如n无上界时，在严格遵守同一律的条件下，N和N1不可能一一对应，】

李先生的错误正在这里，对于任何自然数n，有限集Nn={1,2,...,n}同N1n={0,1,2,...,n}都不一一对应，但无限集N和N1却是一一对应的。这是因为可以证明N→N1的映射y=x+1是双射。你指不出这个证明有问题，你就必须承认这个事实。

李先生说【同样条件下，如果N'={0，1，2…… n-1}，则N1={0，1，2……n}，两者的外延显然不同。我都已经讲得那么清楚了，薛先生还在那里说我讲不出任何反对意见？】

李先生，你这是什么【讲得那么清楚】，这是什么【反对意見】。你在N'和N1的等号右边写的是有限集N'n和N1n的元素外延。对于所有的n，这两个有限集的外延当然不同。这并没有证明N'和N1这两个无限集的外延的不同。而我详细地给你证明了N'⊊N1和N1⊊N'，你能对这个证明提出反对意見吗？

李先生说【这些一清二楚的事实也要反对？那我只能理解薛先生是这样考虑问题的，只要是书本知识，错的也是对的，凡是不是书本上的东西，对的也是错的。如何真是这样考虑问题的话，那只能说明薛先生完全不知道什么叫对错，所以只好采用这种方法来判断对错。完全不知道对错的人又要来判别人的对错，那可真是不自量力呀。】

这里根本不是什么【书本】知识的问题。这是逻辑的问题。你说说你如何来判断两个集合的相同和不同。你不用A⊊B和B⊊A来判断A和B是同一集合，你用什么来判断。把你的道理具体说出来！

李说【还有，竟然说N*是N的真子集，这也奇怪极了，n无上界时，在严格遵守同一律的条件下，若设N={1，2，3，…，n}，则N*={2，3，……n+1}，若把n+1看成是N={1，2，3，…，n}的元素，明显也违反了同一律。】

李先生的逻辑已荒谬到何种地步，竟然认为【竟然说N*是N的真子集，这也奇怪极了，】N*当然是N的真子集，这么显然和简单的事实，一点奇怪都没有。

N *={x|x=n+1,n∈N}，N*中的元素全由自然数加1构成，自然数加1当然是自然数，所以都属于N，N*⊊N，再根据1∈N，但1不在N*中，即可知N*是N的真子集。

在李先生的有限集的表述中，对任何n，沒有人会把有限集N*n={2，3，……n+1}，中n+1看成是Nn={1，2，3，…，n}中的元素 。也就是说，大家都承认有限集N*n不是Nn的真子集。但由此并推不出无限集【N*不是N的真子集】这个结论。

李先生说【再说N和N*的元素数目是一样的，无限集有可能和真子集的元素数目是一样的吗？】

当然，如果【李氏元素数目相等】用【存在双射】定义，就可推出这个结论。

李先生说【看问题要多方位，不要只看到一个侧面(比如说N*都是自然数,就一定是自然数的真子集?头脑太简单了)，就以为是全部了。】

不要把逻辑推理看作是一个侧面不予承认，凡是正确的逻辑推理，提不出反对意见，对推出的结论就应承认。既然推出N*中的元素都是自然数，当然必须承认N*⊊N，承认N*是N的真子集。

李说【N1和N'也有类似问题，我早就说过，N1的元素数目比N'多了一个，可能是同一个集合吗？】

我在前面已讲过，对于所有的n，这两个有限集的外延当然不同。N1n的元素数目比N'n多了一个，但这并没有证明N'和N1这两个无限集的外延的不同。反之我严格证明了N'和N1是完全外延相同的同一个集合。

李说【为什么这么些简单的问题我都讲了好几遍了，还是搞不清楚呢？只要脑子稍微聪明一点，应该很容易理解的吧？真糊涂还是装糊涂啊？无论真假，都希望是最后一次糊涂。】

一点都不:糊凃，我己完全搞清楚了，是李先生的认识错误，现在的问题是如何说服李先生，帮助李先生认识到他的错误在哪里，从而帮他认识和纠正错误。

最后，关于无穷集的【元素数目】，我想再说几句。

在数学中只有有限集的【元素数目】这个概念。因为自然数作为有限集合的【元素数目】的计数，非常简单，也在实际的应用中广泛使用，为众人和业界所公积。但是无穷集却没有【元素数目】这个数学概念，这应该也是大家公认的，无需争论的亊实。也可以说这在数学上是个大家看到的【空白】。

很多人有这样的【㸔法】，认为康托尔研究和提出的【基数】就是为了填补这个【空白】，实质上就是在研究无穷集的【元素数目】。包括我在内，也有这样的【㸔法】。要知道对于有限集，【元素数目】同【基数】是完全一样的。但这只限于是一种【看法】【想法】和【理解】。并不是正式的数学概念和数学理论。因为毕竟康托定义的概念的名称是【基数(势)】而不是【元素数目】。而且我们理解为什么当时起名字时康托尔没有称其为【元素数目】肯定也有他的原因和理由。所以我们仍坚持认为在数学上没有无穷集的【元素数目】这个数学概念。

康托尔的伟大之处就在于100多年前就认识到，有限集同任何比它包含少差干元素的真子集的【元素数目】不相等。但无穷集却有可能同比它包含少若干元素的真子集的【基数】是相等的。要知道百年后的今天，还有这么一些人认识不到这点，还不相信这个事实。

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