Zmn-0911 薛问天:  数学叙述要严密有根有据，评李振华先生的《0903》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李振华先生的《Zmn-0903》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

数学叙述要严密有根有据，

评李振华先生的《0903》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

读了李振华先生的《0903》，觉着他叙述得非常不严谨，有些地方就弄不清他要说什么，从而无法具体评论。现仅就我的理解，对文中部分内容，作如下评论。

一，关于非标准分析。

对非标准分析要有一个正确的认识。非标准分析並不是对标准分析的否定。非标准分析是在完全肯定标准分析的正确性的前提下，对标准分析以在逻辑上是完全等价的另一种形式，对标准分析的一种陈述。

李先生说【本文充分证明了非标准分析是扫除悖论的有力工具，而epsilon-N语言是被鬼魂吓破胆的产物，是恐惧的产物，所以是不自然不方便的，工程师和物理学家很少使用这个东西。】

这是完全错误的。他根本【充分证明】不了。而且现有的数学中并没有什么还未被【扫除】的悖论。数学分析中应用ε-N语言和ε-δ语言对极限的表述，是数学中逻辑缜密性的典范代表。把这种精密的表述说成【是被鬼魂吓破胆的产物，是恐惧的产物，】完全说明他根本就缺乏逻辑知识，没有学懂极限，是对基本数学概念的无知。广大的工程师和物理学家从这里学到了数学逻辑表述的缜密性的严格之处，真正地了解了极限的确切含意。能否正确掌握ε-N语言对极限的表述，己经成为是否从逻辑上学懂极限概念的关键标志。

二，无穷个无穷小的和与积。

李先生这篇文章的标题是【破解高数谬论——无穷个无穷小的积不是无穷小】。他就没有说明他在批的是哪里的【谬论】。你应说清楚你批评的是谁的著作，哪篇文章中发表的【谬论】。引出你批的原文来。这是我们数学讨论的基本常识。否则就是无的放矢。

我们知道无穷小在分析中定义为[极限为0的实数无穷序列](或实数变量)。两个实数无穷序列an及bn的和，仍是实数无穷序列cn=an+bn。可以用ε-N语言证明，若an的极限是0，bn的极限是0，则它们的和cn的极限是0。

同理，两个实数无穷序列an及bn的积仍是实数无穷序列dn=anxbn。可以用ε-N语言证明若an的极限是0，bn的极限是0，则它们的积dn的极限是0。

也就是说在数学上可以严格证明，有限个无穷小的和及乘积也是无穷小。但是无限个无穷小的和及乘积是否也是无穷小呢？

这首先要搞清楚，无限个实数无穷序列还是不是实数无穷序列？然后才能考虑它的极限是不是0。

我要指出的是，对有些实数的无穷序列。无限个这种实数无穷序列的和已不是实数无穷序列。所以就不能认为这种和是无穷小，如an=1/n，它的极限是0，它是无穷小。任意m(有穷)个an相加cm_n=1/n+1/n+...+1/n(共m个)=m/n，是极限是0的无穷序列，是无穷小。这都沒有问题，但无穷个an相加，cn=1/n+1/n+...。它这个和本身c1,c2,c3,...每个项都不是实数（无穷大），因而不是实数的无穷序列，当然不能认为它是无穷小。

同样，判断无限个无穷小的乘积是否是无穷小，要㸔无限个实数无穷序列的乘积是不是实数无穷序列。如an=1/n，它的极限是0，它是无穷小。任意m(有穷)个an相乘，dm_n=(1/n)x(1/n)x...x(1/n)(共m个)=1/n^m，是极限是0的无穷序列，是无穷小。这都沒有问题，但无穷个an相乘，dn=(1/n)x(1/n)x...。这个用极限求的乘积本身，c1=1,c2=0,c3=0,...是后边是无穷个实数0的无穷序列，不知还是否认为它是无穷小。

李先生说【直觉告诉我们：有穷个无穷小的乘积是无穷小，那么无穷个无穷小的乘积就是更小的无穷小。那么为什么教材里说不一定？直觉不可靠，只有逻辑可靠？其实不是，因为他们把后面的数扔掉了。错的不是直觉，而是他们对无穷的处理。】

不知李先生批的这个【谬论】出自何处，它是怎么陈述的，是怎么【把后面的数扔掉了】，所以这里不好具体评论。请李先生把你看到的【教材】原文引出，看他是怎么说的，才好评论。

三，李先生说【在微积分中，无穷个数的和或积，这里的无穷是不可数无穷，只有满足了一定条件，才能转化成可数无穷，而人们认为是可数无穷，起点就已经错了，所以必然反直觉。】

在微积分中，并没有讨论不可数无穷个数的和或积。也没有把不可数无穷【转化为】可数无穷。不知道李先生说的【起点就已经错了，所以必然反直觉。】指的是什么。

四，李先生说【所有项的和=所有有限序项的和+所有无限序项的和，
只有当所有无限序项的和=0时，才有所有项的和=所有有限序项的和。】

李先生说的显然不对。因为无穷序列a1,a2,a3,...中所有的序项都标有有限的自然数。所以所有这些项都称为有限序项。因而【所有有限序项的和】，就是所有项的和。正确的说法应是这样〖所有项的和=有限个部分序项的和+所有剩余的无限个序项的和，
只有当取极限时，使有限个部分序项的和变为无限个所有序项的和。此时己无剩余的序项，所以剩余的序项的和=0，此时就有，所有项的和=无限个所有序项的和。〗

关于无限个序项的乘积也是同样的道理。

〖所有项的积=有限个部分序项的积x所有剩余的无限个序项的积，只有当取极限时，使有限个部分序项的积变为无限个所有序项的积。此时己无剩余的序项，也可以说剩余的序项的积=1，此时就有，所有项的积=无限个所有序项的积。〗

五，李先生的文中是这样写的

【S(H)=a1×a2×a3×...×aH

所有项的积=st(S(H))

所有无限序项的积=st(S(H)/S(K)).K是比H低阶的无穷大。

所有有限序项的积=st(S(H))/st(S(H)/S(K))。】

这个写法【S(H)=a1×a2×a3×...×aH】显然不对，无穷序列没有最后一项，在这里写出最后一项aH是错的。

另外，说【K是比H低阶的无穷大】这是指有两个无穷序列K:a1,a2,a3,...和无穷序列H:b1,b2,b3,...，它们的极限都是无穷大，而且它们的比形成的无穷序列a1/b1,a2/b2,a3/b3,...是无穷小。而李先生错误地把它认为是同一个无穷序列个数的多少。从而认为K个项的乘积S(K)是H个项的乘积S(H)的部分乘积，剩余部分的乘积是商S(H)/S(K)。这显然是对【低级无穷大】的错误理解。另外还把低级无穷大理解为【所有有限】，把K个无限项的乘积称为是【所有有限序项的积】，这更是错上加错。

六，关于例子1：证明1/2+1/4+1/8+,,,=1

李先生按他的错误理论来作，自然是错误的。正确的证法应是:

所有项的和=1/2+1/4+1/8+,,,+1/2^n+...=有限个部分序项的和+所有剩余的无限个序项的和，当取极限时，有限个部分序项的和1/2+1/4+1/8+,,,+1/2^n=1-1/2^n。当n→∞时，此式的极限=1。使有限个部分序项的和变为无限个所有序项的和。此时己无剩余的序项，所以剩余的序项的和=0，此时就有，所有项的和=无限个所有序项的和。1/2+1/4+1/8+,,,.=1。

七，关于例子2：证明4/3×9/8×16/15×...×(n+1)^2/(n×(n+2))×....=2。

正确的证法应是。

所有项的积=4/3×9/8×16/15×...×(n+1)^2/(n×(n+2))×....=有限个部分序项的积x所有剩余的无限个序项的积，当取极限时，有限个部分序项的积

=4/3×9/8×16/15×...×(n+1)^2/(n×(n+2))×....=2(n+1)/(n+2)，

当n→∞时，此式的极限=2。使有限个部分序项的积变为无限个所有序项的积。此时己无剩余的序项。此时就有，所有项的积=无限个所有序项的积，4/3×9/8×16/15×...×(n+1)^2/(n×(n+2))×....=2。

七，李先生说【使用以上的概念来分析无穷个无穷小的积不是无穷小，就会发现所有的反例都是不成立的，】

我要指出这点是本文的一个重大错误。上例根本不是【无穷个无穷小的积】，是无穷个有限值的乘积，这是李先生概念上的一个错误，怎么能把4/3，9/8，16/15，这些值看成是无穷小呢？都是实数，都是有限值，不是无穷小。我前面举的例子，an=1/n是无穷小，无穷个an相乘才是无穷个无穷小相乘的例子。

八，李先生说【打个比方，这些人的逻辑是这样的：

1、1/2×1/3×1/4×1/5=1/120

2、扔掉1/5

3、宣称1/2×1/3×1/4=1/120

他们实际上就是这样干的，唯一的区别是他们有穷多个数相乘。】

李先生的错误就在于没有认清取极限的过程。取极限时，把有限个项的和(积)变成无限个项的和(积)，从而剩余的项没有了，这是很自然的事，并不是人为的错误，把不该扔掉的项【扔掉了】。

九，李先生说【下面以一个典型的反例来说明：

1、S(H)=1/H×2/(H-1)×3/(H-2)×....×(H-2)/3×(H-1)/2×H/1=1

2、扔掉所有无限序项的积=st(S(H)/S(K))=无穷大.K是比H低阶的无穷大。

3、宣称所有有限序项的积=1/H×2/(H-1)×3/(H-2)×....=1

他们扔掉了无穷多个数，只留下无穷小，但1的结果是不扔掉这些数计算出来的。魔术大师。哈哈。】

这个例子是个错误的例子，错误的来源，是来自李先生对分析中的无穷大的错误理解。在分析中是把具有无穷大极限的无序序列称为无穷大。超实数也是接照这个意思定义的无穷大超实数。这个无穷大不是无穷集合的基数，不能把它作为元素个数来理解。同时无穷序列没有最后的项，因而李先生举例写出的无穷序列:

1/H,2/(H-1),3/(H-2),...,(H-2)/3,(H-1)/2,H/1，是错误的。

也就是说，他是以1,2,3,...,H-2,H-1,H，以及它的反序列H,H-1,H-2,...,3,2,1，为无穷序列的。这是个严重的错误。在数学中，包括超实数理论中，都没有这样的无穷序列。
因而李先生所耻笑的【魔术大师】的断言【宣称所有有限序项的积=....=1。他们扔掉了无穷多个数，只留下无穷小，......】，完全是李先生的错误的主观臆想。并不是数学中有的推论，构成不了李先生的推论反例。

总括上述，由干李先生提出的【理论】是错误的，所举的反例也都不成立，因而李先生在文章最后【根据作者的理论】所得出的各项结论，说什么【反直觉并不存在】，【他们的做法就是偷换概念】等，这些都是毫无意义的。

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