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Zmn-0910 薛问天: 关于皮亚诺公理的讨论。回复一阳生先生的《0909》

已有 1169 次阅读 2022-10-16 22:07 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0910 薛问天: 关于皮亚诺公理的讨论。回复一阳生先生的《0909》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-0909》的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于皮亚诺公理的讨论。

回复一阳生先生的《0909》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 非常高兴同一阳生先生讨论皮亚诺公理的若干问题。一阳生先生对皮亚诺的五条公理逐条分析，说明不滿足全部五条公埋，而只满足部分公理的集合，不是自然数集合。这些观点都是正确的。如归纳集是满足前四条公理的集合等。一阳生先生对各条公理的解释，不少部分都很正确。只是有些地方我提出一些不同意見如下，供一阳生先生参考和讨论。另外关于S4，一阳生认为是满足五条公理的，这不对，既使修改后的S4，虽滿足公理二，但是是不满足公理五的。

1，【公理一：0是自然数。】

公理一告诉我们确定存在一个自然数0，但是没有告诉我们0之外是否还存在有其它的自然数，这自然正确的。因而公理一说的是【0属于该集合】。所以凡满足【0属于该集合】的集合，如{0}，{0,1}，...等都是满足公理一的集合。

2，【公理二：若n是自然数，则n的后继数n’存在且也是自然数。】

公理二说的是【若n属于该集合，则n的后继数n’存在且属于该集合。】

一阳生先生说【变量n可取任一自然数，包括确定的及可能的自然数。】不够确切，什么叫【确定的及可能的】不确切，注意这里的若和则，是蕴含语句，强调的是后继函数是在该集合中处处有定义的函数。这个函数的自变量n可以取该集合的任何元素为值，因而该集合中的任何元素n都有后继数n’存在而且属于该集合。

一阳生说【可能的自然数显然包括a0及下文中的壹等等。】注意公理二说的是如果a0和壹属于该集合，则a0和壹的后继数a1和贰也一定要属于该集合。如果a0和壹等不属于该集合，则a0和壹的后继数a1和贰等则不要求一定要属于该集合。

另外公理二中的后继数的唯一确定性，是由后继是函数这点隐含约定了的。即说是后继就约定它是唯一确定的。如果你认为要明确约定，也可把公理二改写为

【公理二：若n是自然数，则n的唯一确定的后继数n’存在且也是自然数。】

有些文章对公理二就是如此描述的。总之，后继是唯一确定的这点必须肯定。也就是说不允许同一元素有两个不同的后继数。这在公理二中是明确规定了的不容曲解，关于这点一阳生先生的理解不对，认为0后可以有1作为后继，同时又有壹作为0的后继，这是不对的。

一阳生先生所说的【请薛老师在皮诺亚公理本身的框架内解决这个问题：自然数的后继数是唯一的或自然数相同后继数一定相同。这个问题不解决，自然数将面目全非。】

这在公理二中是明确规定了。后继数是唯一确定的，自然数相同后继数一定相同。

3，【公理三：所有自然数的后继数都不是0。】

公理三说的是【所有属于该集合的元素，它的后继数都不是0。】亦即0沒有前趋。当然如一阳生先生所述【公理三无法否认】，同时也无法确认：如果a0属于该集合，ao没有前趋。也就是说像这样的集合

S5={0,1,2,3,...，...,s_-3,s_-2,s_-1,s0,s1,s2,s3,,...}，这样的集合，s0有前趋s_-1，也是满足公理三的。

4，【公理四：自然数不同，后继数不同。】

公理四说的是【该集合的不同元素，它的后继数不同。】说明该集合的后继函数是单射。不同元素不可以有相同的后继。

由于公理二中的后继是唯一确定的，同一个元素不可以有两个不同的后继，所以我建议把S4中的第二个0，改成零，让壹作为零的后继，这样S4就满足公理二了，否则S4是違反了公理二的集合。所以改后的S4就成为满足前四条公理的集合了。

5，【公理五(A)：设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。】

此公理是说，对该集合上的任何一个性质P，如果前提为真，则结论为真。它的前提如一阳生先生所述是：【P(0)真】且【对所有的n，使得由P(n)真可推出P(n')真。】。但它的结论是【性质P对于该集合中所有的元素都是真的。】

例如对于自然数集合N={0,1,2,3,...}，如果前提成立，知P(0)为真，且由P(0)为真根据前提的第二点，可经过一次推理推出P(1)为真。而且对N中任何n都可根据前提为真经过n次推理，推出P(n)为真。这就说明对于集合N，如果前提为真，则结论为真。这就说明集合N是满足公理五的。

但是对于集合S4(改正后)，则可证它並不满足公理五。虽然根据前提可以证明P(0)为真，对S4中任何自然数n，都可经有穷次推理推出P(n)为真。但是由于S4中的零和a0没有为真的前趋，所以根据前提为真，推不出P(零)和P(s0)为真，自然也推不出性质P对壹，贰，叁，...以及a1，a2，...等元素为真。也就是说推不出结论为真。因而集合S4是不满足公理五的。

一阳生先生说【前提告诉我们P(0)真的同时，并没有告诉我们P(a0)一定假。】这句话虽然没有错。虽然没有告P(a0)一定假，但是你根据前提为真推不出P(a0)为真，就可能存在P(a0)为假的性质P。公理五要求对任意性质P都要满足，那么可能存在P(a0)为假的性质P。对这种性质P，结论就不成立，公理五就不满足。

所以说一阳生先生得出的如下断言是错误的。他说【所以S4中，确定存在的和可能存在的自然数，都有可能满足公理五的前提，使得对于S4中的所有自然数，P真。公理五(A)无法必然的排除这些可能的自然数。】刚才说了，对于S4存在着这样的P(a0)为假的性质P，公理五的前提为真，但结论为假。即对这样的性质P，并不是对S4中所有的元素，性质P都为真。从而S4不滿足公理五。

为了帮助一阳生先生了解皮亚诺公理，我把更严格的形式表述引列如下，供参考。

戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的由集合S，函数f和元素e构成的三元組 (S, f, e)。

(I)，e∈S。元素e属于集合S。

(Ⅱ)，(∀a∈S)(f(a)∈S)。f为S中的一个映射。

(Ⅲ)，(∀b∈S)(∀c∈S)(f(b)=f(c)→ b=c)。f满足单射条件，為一單射。

(Ⅳ)，(∀a∈S)(f(a)≠e)。e不在f的值域內。

(ⅴ)，(∀A⊆S)(((e∈A)∧(∀a∈A)(f(a)∈A))→ (A=S))。对任何X的子集A，若满足:e屬於A,且对任何屬於A的a，都有f(a)亦屬於A，則A = X。

6，最后，再来回答一阳生先生提出的问题。

他问【其中的前提集合N是什么呢？是S4吗？】

我在论证公理五的A,B,C的三个表述的等价性中所说的N，就是指的自然数集N={0,1,2,3,...}，滿足皮亚诺五条公理的集合。公理五B己说明N是最小的归纳集，是唯一确定的集合。显然不是S4。S4是不满足公理五只满足前四条皮亚诺公理的集合，是归纳集。归纳集有很多S4是其中一个，S5，N也都是归纳集。

一阳生先生说【皮诺亚公理五(C)，仅仅是定义而不是公理！也不能称之为公理！】

我们知道【皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。】它是同公理五(B)，公理五(C)等价的皮亚诺公理五。即A,B,C中任何一个都可同前四条公理组成相互等价的皮亚误公理。

公理五(C)说的就是自然数满足的条件，这些条件同公理五(A)和公理五(B)等价，当然可以作为公理的表述。

其实公理也可以看成是一种形式的定义。因为定义就是在说满足一定条件的概念。我们可以这样定义自然数集合。

定义。我们把满足皮亚诺五条公理的集合称为自然数集合。

定义。我们把滿足皮亚诺前四条公理的集合称为归纳集合。

这些在数学中都是正确的规范的表述，并无不妥。

一阳生先生说【例如“有个存在，只有这个存在是自然数。”这句话前半段是公理或假设，断言存在，而后半段只是定义只是命名。皮诺亚公理五(C)等同于后半段。】

说明一阳生先生对C中的【可以由0经有穷次的后继运算而得到】这句话的重要限制作用，没有足够的认识，这句话不只是简单的对【存在】的【命名】，而是有很大的限制作用的，它把S4中的零，壹等以及s0，s1等都排除在自然数的集合之外了。因为这些数是不【可以由0经有穷次的后继运算而得到】的。

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