Zmn-0909 一阳生:  关于皮诺亚公理和归纳集的来源, 向薛老师请教归纳集的问题

【编者按。下面是一阳生先生的来信和文章，是向薛老师请教归纳集的问题《Zmn-0067》。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

一阳生先生的来信 

文老师下面是我以前写的文章，现请求转发薛问天老师和在数学啄木鸟专栏发表。期待获得包括薛老师在内的所有老师的批评回复，谢谢！

关于皮诺亚公理和归纳集的来源,

向薛老师请教归纳集的问题

一阳生

现在对皮诺亚公理进行逐条分析：

公理一：0是自然数。

公理一告诉我们确定存在一个自然数0，但是没有告诉我们是否有0之外的存在存在？如果存在是否也是自然数？所以在自然数0存在的同时，有可能存在另外一个(或一些)不同的自然数如a0。

公理二：若n是自然数，则n的后继数n’存在且也是自然数。

显然变量n可取任一自然数，包括确定的及可能的自然数。可能的自然数显然包括a0及下文中的壹等等。

公理三：所有自然数的后继数都不是0。

公理三无法否认：所有自然数的后继数都不是a0。

公理四：自然数不同，后继数不同。

请薛老师在皮诺亚公理本身的框架内解决这个问题：自然数的后继数是唯一的或自然数相同后继数一定相同。这个问题不解决，自然数将面目全非。比如0的后继数可能是两个，其中1是确定存在的，壹是可能存在的，而且不违反公理二。

所以满足前四条公理的全体自然数集合即归纳集有可能是Ｓ4=｛0，1，2，3，......，0，壹，贰，叁，……，a0，a1，a2，a3，......｝，其中壹，贰，叁，……，a0，a1，a2，a3，......，是可能存在的自然数。其中0的后继是1，1的后继是2，……，0的另一可能后继是壹，壹的后继是贰，……，a0的后继是a1，a1的后继是a2，……。

公理五(A)：设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。

公理五(A)的前提是：【P(0)真】且【对所有的n，使得由P(n)真可推出P(n')真。】。

在S4中，除了0以外还有a0也没有前趋。前提告诉我们P(0)真的同时，并没有告诉我们P(a0)一定假。而n同样可以取值壹，贰，叁，……，a0，a1，a2，a3，......。

所以S4中，确定存在的和可能存在的自然数，都有可能满足公理五的前提，使得对于S4中的所有自然数，P真。公理五(A)无法必然的排除这些可能的自然数。

请问薛老师我上面的分析是否错误呢？

如果无错，还请薛老师重新审视在数学啄木鸟专栏[Zmn-0067]中的皮诺亚公理几种等价形式及其之间的等价性证明问题。其中的前提集合N是什么呢？是S4吗？皮诺亚公理五(C)，仅仅是定义而不是公理！也不能称之为公理！例如“有个存在，只有这个存在是自然数。”这句话前半段是公理或假设，断言存在，而后半段只是定义只是命名。皮诺亚公理五(C)等同于后半段。

Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》   2019-11-12 11:36 

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