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Zmn-0918 薛问天: 质疑戴德金分割的错在哪里?评李鸿仪先生的《0917》

已有 505 次阅读 2022-11-19 15:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0918 薛问天: 质疑戴德金分割的错在哪里?评李鸿仪先生的《0917》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对李鸿仪先生的《Zmn-0917》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

质疑戴德金分割的错在哪里?

评李鸿仪先生的《0917》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg李鸿仪先生的错误主要来自他对实数中数的分布结构的错误认识。在他的脑海中有一个【排排坐吃果果】的思路,认为实数是一个接一个挨着个在那里排着,这是对实数的分布结构的一个非常错误的认识。在这种认识下就会提出有理数与无理数是”一 一相间"还是”一 多相间"的问题。如果实数是一个个挨着个相邻排着的话,那么究竟是一个有理数接着一个无理数,再接着一个有理数这样"一一相间"地排着呢?还是一个有理数后接着有多个无理数,再接着一个有理数这样"一多相间"地排着呢?实际上李先生认为戴德金分割证明无理数唯一的根据是"一一相间"。他说【虽然有理数是稠密的,但不可能 是无限稠密的。由测度论可知,无理数还要稠密得多:在单位长度的实数轴上,无数个有理 数对测度的贡献为零,而无理数的贡献要大得多,明显与上述有理数与无理数似乎可以”一 一相间"的描述矛盾!因此,能否保证在两个有理数之间只有唯一的一个无理数,就成了一 个必须重新加以严格考察的问题了。】于是李先生拚命地在证明是"一多相间",在两个有理数间有无穷多个无理数,从而证明戴德金的有理数分割,断定的无理数不是唯一的。其实这是他对实数分布结构的错误认识。实数没有相邻数,根本不是一个个挨着个地相邻排着的。所以"一一相间"和"一多相问"都不对。实数是以一种特殊形式存在分布的。沒有相邻的实数。按照实数的稠密性和连续性(有理数集合只满足稠密性但不满足连续性),〖在任何两个实数(有理数或无理数)间,存在着无限个有理数和无理数〗。〖任何柯西无穷的实数序列有实数极限存在〗,以及基数定理〖在同一区间中无理数集合的基数大于有理数集合的基数〗。实数就是在满足稠密性连续性和基数定理的一种特殊形式存在分布在实数轴上的。对实数的这种特殊分布一定要有一个正确的认识。

 

1,关于n位自由小数。

李先生定义的自由小数位如下。【定义 1 若某位小数的值可以取 0~9 中的任意一个数值,则称该位小数为自由小数位;

李先生沒有说清,他是在研究无穷小数集合的性质,是指某个无穷小数的集合,如果有在某位取 0~9 中的任意一个数值的小数也在此集合中,则称此集合是在此位的自由小数。也就是说自由小数是为无穷小数的集合定义的属性。而不能是【称该位小数为自由小数位】。该位小数各位的值是确定的不可随意改动。所以李先生的n位自由小数n_应当严格定义如下。

定义,无穷小数的集合A,如果A包含有前n位是每位取 0~9 中的任意一个数值的所有排列的某小数,则称A是n位自由小数,记作n_。

例如以10个有理数的集合{ 0.000……, 0.111……, 0.222……, 0.333……, ……, 0.999…… }为例,显然它是1位自由小数1_,而不是2位和其它各位自由小数。

而集合{0.00000...,0.01000...,0.02000...,...,0.99000...}是1位和2位自由小数,而不是3位和其它位自由小数。

关于n位自由小数的n位邻间距dn,李先生提出了所谓的【平均n位邻问距】的概念,即认为n位自由小数的平均n位邻间距为1/10n,即dn≈10-n(引理1)。实际上平均邻间距在严格的讨论中亳无意义,应该考虑n位邻间距的上界。我们可以证明如下的引理。

引理,任意n位自由小数,它的n位邻间距 ≤ 2/10n

证明很简单,因为n位自由数两n位相邻小数0.Aa...和0.Ab...其第n位小数a,b相差为1,b=a+1,所以最大的n位邻间距是0.Ab999...-0.Aa000...=2/10n。因而dn ≤ 2/10n

显然由此定理可推出,n越大,则n位邻间距越小。而且当n→∞时,n位邻间距dn→0。

 

2,自由小数不能作为无理数和有理数集合的区别。

李先生说【3)无理数具有无限位自由小数,故无理数的邻间距可以趋向 0.

这句话是错的,因为刚才说了,n位自由小数,这是小数集合属性。什么是无限位小数呢,它也应指小数集合的属性。一个小数集合,如果包含对于无限位每位取 0~9 中的任意一个数值的所有小数,则称A是无限位自由小数。显然这样的集合就是所有无穷小数的集合。即只有所有无穷小数构成的集合才是无限位自由数。

所有无理数的集合并不是无限位自由小数,因为所有无理数集合中并未包含有理数。

另外邻间距只是对n位自由数有n位邻间距的概念。而无限位并无最高位,所以不存在无限位邻间距的概念。李先生说的无限位自由小数的邻间距的概念【无理数的邻间距可以趋向 0. 】毫无意义。

应该这么讲,所有无理数数的集合,对任何自然数n,都是n位自由小数。因而无理数之间的n位邻间距dn ≤ 2/10n。当n→∞时,dn→0。

李先生说【4)无限循环小数只有有限位自由小数,所以有理数与有理数之间的距离>0 】这话也不确切。应该这么说,若把零也看作循环节,则所有无限循环小数的集合,就是所有有理数(指单位区间中)的集合。要知道无限循环小数,可以从任意的有穷位小数后开始循环。而且循环节的位数和数值是可以任意选取的。所以所有有理数数的集合,对任何自然数n,都是n位自由小数。因而有理数之间的n位邻间距dn ≤ 2/10n。当n→∞时,dn→0。

实际上n位自由小数分不清无理数,有理数的区别,甚至对于所有有限小数的集合都可以就这么说,所有有限小数的集合,对任何自然数n,都是n位自由小数。因而有限小数之间的n位邻间距dn ≤ 2/10n。当n→∞时,dn→0。

 

3,各项定义,定理和推论的错误。

李先生写到【推论 当 n→∞时,n_邻间距 d∞≈10−n→0。

我们己经证明n位自由小数的n位邻间距dn ≤ 2/10n。当n→∞时,dn→0。概念要清楚这是dn→0,不是d∞→0。这里的d∞是什么?李先生没有严格定义就随意使用。这就是李先生常犯的错误。要知道∞不是最大自然数,n位邻间距dn有确切意义,而无限位邻间距d∞是无意义的。

李先生说【有理数的 n 是有限的,所以做不到 n→∞。 】这是对n→∞的极限的错误理解。前面己讲过,所有有理数的集合,对任何自然数n,都是n位自由小数。因而有理数之间的n位邻间距dn ≤ 2/10n。因而当n→∞时,dn→0。

李先生所说的定理1也不对,他说【定理 1 任意两个有理数之间的距离与 d∞的比值为∞。】d∞无定义。证明中所说的【limn→∞ h/dn=∞】,不能说成是【距离与 d∞的比值为∞。】不是一回事。应该这么说〖定理 1, 任意两个有理数之间的距离与 dn的比值,当n→∞时,它的极限为∞。〗何止有理数,任何两个无理数,两个实数都有此性质。

李先生说【定义2  n→∞时, n_相邻的小数称为是∞_相邻的。】说明李先生缺乏严格的逻辑思维。什么是【n→∞时, n_相邻的小数】?实际上李先生指的是在集合中的两个n位相邻的小数的无穷序列,即这两个序列的每个相应项an和bn是n位相邻的。我们知道an和bn的邻间距dn≤2/10n,而且当n→∞时dn→0,即极限的距离为0,说明当n→∞时,这两个无穷序列的极限相等,是一个小数。即【n→∞时, n_相邻的小数】是一个小数。所以说,李先生定义的【∞_相邻的】,并不是什么相邻的两个小数,而是一个小数。要知道稠密的数系就不存在【相邻数】。

所以李先生的【性质: 两个∞_相邻的小数的间距为无限小。】是错误的。n→∞时两个无穷序列的n位间距的极限不是无限小而是0,序列的极限是同一个数。

从而李先生的【推论 1 任意两个有理数不是∞_相邻的.】就毫无意义。而且我们知道,所有有理数的集合,对任何自然数n,都是n位自由小数。因而存在有理数的无穷序列,它们之间的n位邻间距dn ≤ 2/10n。当n→∞时,dn→0。

另外,李先生对【推论2  n→∞时,任意两个有理数之间必存在非有理数(称为无理数)。 】【推论 3 有理数和无理数可以∞_相邻。 】【推论 4  n→∞时,任意两个有理数之间不能只有一个无理数. 】【定理 2 n→∞时,任意两个有理数之间有无限个无理数.】的证明也都是错误的。实际上这些内容根本不需要李先生的这些证明。在实数的稠客性中己证明了,〖在任何两个实数(有理数或无埋数)间,存在着无限个有理数和无理数〗。从而不存在相邻的有理数,相邻的无理数或相邻的实数。关于这点李先生的认识是错的。李先生说【这里需要注意的是,一般认为两个无理数是不能相邻的,原因在于两个无理数之间,总能插入其他数。不过,与有理数一样,插入其他数意味着自由小数位数的增加,但当 n→∞ 时,如果还能插入其他数,只不过意味着 n 还不够大而已。在实际问题中,人们所需要的精度总是有限的,因此只要 n 足够大,就可以认为足够解决实际问题了,这时,不需要更大的 n,因此就可以认为它们是相邻的了。

李先生也知道由于稠密性,任何两个无理数(或有理数)a和b间总有其它数c存在,从而a和b不是相邻的。李先生说【如果还能插入其他数,只不过意味着 n 还不够大而已。】这是错误的。我们知道,无理数集和有理数集对任何自然数n都是n位自由小数,由于当n→∞时,dn→0,从而在a和b间总有同a和b的n位邻间距小于|b-a|的小数存在。

李先生说【在实际问题中,人们所需要的精度总是有限的,因此只要 n 足够大,就可以认为足够解决实际问题了,这时,不需要更大的 n,因此就可以认为它们是相邻的了。】这是不正确的,我们是在作理论上的严格推论,而不是在作可以达到一定精度即可的实际应用,。理论上讲,无论a和b距离再近,总存在足够大的n使a,b间存在另外的数c,因而a和b是不相邻的。不能【认为它们是相邻的】。精准的和近似的不能混淆,数学理论和实际的应用不能混为一谈。

 

4,对戴德金分割的错误评论

戴德金分割证明了任何一个已经确定的第三类分划 Q |Q 所确定的无理数是唯一的。亦即大于Q小于Q的无理数只有一个。因为如果有两个这样的无理数a<b,则在a,b之间就有有埋数存在,而与分割相矛盾。李先生对此发出置疑。他说【虽然很容易证明有理数的稠密性,但无理数显然更为稠密,否则就难以解释数轴上的无理数为何远远多于有理数了。既然如此,为何可以在更稠密的无理数之间随意插入相对稀疏 得多的有理数呢?

李先生把严格的数学概念同自然语言混同起来了。数学中的稠密性有严格的定义。凡是在任何元素a和b间有另外的元素c存在,就称为此集合是滿足稠密性。在数学的稠密性概念中并不存在【更为稠密】和【稀疏得多】的概念。无理数集合的基数大于有理数集合基数,这同数学上的【稠密性】没有关系。任何两个有理数间都有无理数存在,同样任何两个无理数间都有有理数存在。

而证明中用到的引理1【对任意两个有序元 a 和 b,总存在自然数,使得 N|a-b|>1 (1)】,是完全正确的。无论|a-b|怎么小,这样的N都是存在的。李先生所说的【如果|a-b|是无限小的话,则 N 只能趋于无限,否则(1)的右端就会趋向于零。但当 1/N 也变成一个无穷小,这时(1)式中 的“>”号是否成立是需要考查的。】毫无道理,无论 |a-b|怎么小,这样的N都是存在的,使(1)式中 的“>”号成立。

另外李先生谈到直觉,在数学论证中靠的是逻辑推理,不能依靠感观和直觉。因为不经过严格的逻辑推理,感观常常会产生错觉。所以说李先生所说的【所得结论违反直觉(与测度论矛盾),】以及认为【反直觉的结论往往意味着逻辑不严格】,这都是错误的。

而最后李先生根据【任意两个不同的有理数之间都有无数个无理数】 ,就得出结论说【即用分割所定义的并不是唯一的无理数,而是无限 个无理数。所以,用该分割并不能定义任何一个单独的无理数。

这个推理在逻辑上是完全错误的,因为第三类分割,Q没有最大有理数,Q没有最小有理数。因而判断中间有无数个无理数的那两个有理数是,一个在Q中(不是最大的),一个在Q中(不是最小的),因而这无数个无理数完全可能是介于Q和Q中的其它有理数之间的无理数。断定不了它们都大于Q中的和小于G中的有理数。所以得不出【用分割所定义的并不是唯一的无理数,而是无限 个无理数。】的错误结论。

 




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