博文
“吝”“啬”的起源
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汉字在代数中或有妙用。
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---- 之前跳回到引理5.4(叙述*).
---- 今起进入其证明(共两段，15句话).
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We use induction on d.
---- 就维度 d 做归纳法.
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Let s be the lc threshold o f L with respect to (X, 0).
---- “lc threshold” 定义见于引言部分*:
----The lc threshold of an lR-Cartier lR-divisor L ≥ 0 with respect to (X, B) is defined as lct(X, B, L) := sup{t | (X, B + tL) is lc}.
---- 按此定义，s = s(X, 0, L)=sup{t | (X, tL) is lc}.
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We need to show s is bounded from below away from zero.
---- 简言之，就是要给 s 找个正的下界.
---- 但看不出为何要这样做.(?)
(这句话给人以明显的突兀感).
---- s 是 lc threshod，意味着 (X, sL) 是 lc 型.
---- 作为配对的边界, sL 的系数属于 (-oo, 1].
---- lc 意味着 a(D, X, sL) = 1 - ?? ≥ 0.
---- ?? 表示任意素除子D在sL的回拉像内的系数.
---- 显然，此系数不超过 1.
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If d = 1, then sL has at least one component with coefficient ≥ 1, hence 1 ≤ degsL ≤ sr which implies s ≥ 1/r.
---- 这里又出现符号“deg”，最早见于2.1*:
---- 所谓 D 相对于 A 的 degree 即 “intersection number”: degAD:=Aᵈ⁻¹D (d>1) 或 degAD = deg D (d=1)，其中 degD 代表曲线除子的通常 “degree”.
---- 命题的条件有 degAL≤ r.
---- 对于 d =1，写作 degL ≤ r.
---- 对于 sL，原作得到 degsL ≤ sr.
---- sL 是 lc 型配对的边界，其系数不会超过1.
---- 但前半句指出，sL 至少有一分量系数 ≥ 1.(?)
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So we can assume d ≥ 2.
---- 刚才验证了d=1时的结论.(以上是第一段).
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Let T be an lc place of (X, sL).
---- 引入一个特殊对象 lc place.
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If T is not exceptional over X, then 1 = μTsL ≤ degAsL ≤ sr which again implies s ≥ 1/r.
---- 似乎运用了 lc place及non-exceptional 特性.
---- 猜测：lc place ==> 1 = μTsL.(?)
(lc place 在边界上的投影系数为1).
---- 猜测：non-exceptional ==> μTsL ≤ degAsL.(?)
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Thus assume T is exceptional over X.
---- 考虑 exceptional 情况(也是主要情况).
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Let C be the centre of T on X.
---- 引入 T 的中心 ( on X).
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Let H be general among the members of |A| intersecting C (if dimC > 0, then every general member of |A| intersects C).
---- 引入 |A| 的成员 H 与 C 相交.
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Then H is irreducible and smooth, and (X, H) is plt but (X, H + sL) is not plt near H.
---- 则 H 不可约、光滑.
---- 后半句体现出 H 的特性，标识为“吝”.
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This implies (H, sLH) is not klt where LH = L|H [24, Theorem 5.50]. ★
---- 可将 H 看作 X的子集.
---- (H, sLH) 可看作 (X, sL)|H.
---- 简言之，若 H “吝”，则 (X, sL)|H “啬”.
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Let AH = A|H.
---- AH 可称作 A 的 “吝版”.
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Then AHᵈ⁻¹ = Aᵈ ≤ r and degAH LH = degA L ≤ r. ★
---- 吝版的幂 等于 原版的幂 降低一阶.
---- 吝版的度 等于 原版的度.
---- 内在逻辑待考 (?)
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Thus applying induction, there is a positive number t depending only on d, r, such that (H, tLH) is klt.
---- 利用归纳法，找到 t>0 使得 吝版的 (X, tL) klt （这种情况标识为“慷”）.
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Therefore, s > t.
---- 之前有 (X, sL)|H “啬”. 现又有 (X, tL)|H “慷”.
---- 该是这个对照 得出 s > t.(?)
(但目前只看到表皮，内在逻辑待考).
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评论：命题是要找 t>0 使得 (X, tL) 是 klt 型，但证明转化成了找 s 的下界.(感到不满意).
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1168823.html
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