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希望能把这个事情做到底

已有 1210 次阅读 2018-11-9 22:38 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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...

(接上回*Proposition 5.2. Let (X, Λ = ∑ Si), i=1..d, be a projective log smooth pair of dimension d where Λ is reduced. Let B=∑ (bj Bj) >=0 be an R-divisor. Assume

  • x∈∩Si

  • Supp B contains no stratum of  (X, Λ = ∑ Si) except possibly x, and

  • A is a very ample divisor such that A - Si is very ample for each i.

Then there is a finite morphism 

π: X --> lP^d = Proj k[t0,...,td]

such that

  • π(x) = z:=(1:0: ... :0),

  • π(Si) = Hi where Hi is the hyperplane defined by ti,

  • π is étale over a neighbourhood of z,

  • Supp B contains no point of π^{-1}{z} except possibly x, and

  • degπ= A^d and degHi C <= degA B where C=∑ bj π(Bj).

注1:作者提示这是Noether normalisation定理的一个版本。Sect.5的第一个命题(其余4个已完成读写),属于Sect.5.1(标题:映到文空间的有限态射)。

注2:整个Sect.5的标题是“除子的奇异性与有界的度”,是为证明Th1.6做准备(约化到projective space的情况,并最终约化为熟知的Th1.1的 toric version)。

评论:3个主条件,5个副条件,1个有限态射。简记:

A      IP^d

    

X      Λ|B

加评:

* log smooth 对应于“格雅”,这里缩写为“致”。这样,projective log smooth 就对应于“文致”。

* 此命题中的主配对(X, Λ) 性质为“文致”。“丞相”Λ按分解式写出,且“reduced”(诸系数为1?)。

* 然后出来个B>=0,也是按分解式写出,是个R-divisor。正的 divisor 一般看做“将军”,但 B 又是“丞相”的专用符号,这里中和一下,命名为“参谋”。
3个主条件:

1)诸幕僚开会推出 x 机关(丞相Λ有d个分量,操心帝国的诸维度;每个 Si 看做“幕僚”);

2)参谋不能触及帝国的机关(x 或例外);

3)大衙内控制着丞相府的每个幕僚(这一集里用“大衙内”替换“大内总管”,可看做后者的变体);

1个有限态射:

这是把 X 映到 lP^d 上(想来IP^d更简单、更理想、更清楚)。k[t0,...,td]是某个特定的空间(d+1维度),其投影为lP^d。

5个副条件(即“约束”):

1)x 映到 z (lP^d 的第一单位分量),体现出 x 和 π 的特殊性;

2)Si 映到 Hi (幕僚对应到超平面,体现出对“直”的追求);

3)π在z附近的“值”具有特定性状(étale);

4)参谋不能触及z的核(x或例外);

5)两个“度关系”:

    ① degπ=A^d,提示π的权力输出(借助“度”),可看作权力的当量关系

    ② degHiC<=degABC=∑ bj π(Bj)),可看作 A 对 Si的控制在“度”上的体现(像空间里)。

         问题1:把A换成Si 如何?

         问题2:π(B)=∑ bj π(Bj) 成立吗?(即问:π是线性的吗?

注:此命题较陌生,待随后温习时再写剧本。

.

小结:完成命题5.2的读写。同时也完成了整个Sect.5的读写。

* * *

按作者提示,命题5.2是Noether规范化定理的变体。不妨把 lP^d 看做规范空间(lP^d就是“投影空间”?)。引入π肯定有某种好处,应在后续进展中加以观察和体会。

已经过去3个月,再过3个月可能就读完了,到那时在叙述、整体结构上该比较熟悉了。希望能把这个事情做到底

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