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（接上回*）Proposition 5.2. Let (X, Λ = ∑ Si), i=1..d, be a projective log smooth pair of dimension d where Λ is reduced. Let B=∑ (bj Bj) >=0 be an R-divisor. Assume

• x∈∩Si

• Supp B contains no stratum of  (X, Λ = ∑ Si) except possibly x, and

• A is a very ample divisor such that A - Si is very ample for each i.

Then there is a finite morphism 

π: X --> lP^d = Proj k[t0,...,td]

such that

• π(x) = z:=(1:0: ... :0),

• π(Si) = Hi where Hi is the hyperplane defined by ti,

• π is étale over a neighbourhood of z,

• Supp B contains no point of π^{-1}{z} except possibly x, and

• degπ= A^d and degHi C <= degA B where C=∑ bj π(Bj).

注1：作者提示这是Noether normalisation定理的一个版本。Sect.5的第一个命题（其余4个已完成读写），属于Sect.5.1（标题：映到文空间的有限态射）。

注2：整个Sect.5的标题是“除子的奇异性与有界的度”，是为证明Th1.6做准备（约化到projective space的情况，并最终约化为熟知的Th1.1的 toric version）。

评论：3个主条件，5个副条件，1个有限态射。简记：

A      IP^d

    ↗

X      Λ|B

加评：

* log smooth 对应于“格雅”，这里缩写为“致”。这样，projective log smooth 就对应于“文致”。

* 此命题中的主配对(X, Λ) 性质为“文致”。“丞相”Λ按分解式写出，且“reduced”（诸系数为1？）。

* 然后出来个B>=0，也是按分解式写出，是个R-divisor。正的 divisor 一般看做“将军”，但 B 又是“丞相”的专用符号，这里中和一下，命名为“参谋”。
3个主条件：

1）诸幕僚开会推出 x 机关（丞相Λ有d个分量，操心帝国的诸维度；每个 Si 看做“幕僚”）；

2）参谋不能触及帝国的机关（x 或例外）；

3）大衙内控制着丞相府的每个幕僚（这一集里用“大衙内”替换“大内总管”，可看做后者的变体）；

1个有限态射：

这是把 X 映到 lP^d 上（想来IP^d更简单、更理想、更清楚）。k[t0,...,td]是某个特定的空间（d+1维度），其投影为lP^d。

5个副条件（即“约束”）：

1）x 映到 z （lP^d 的第一单位分量），体现出 x 和 π 的特殊性；

2）Si 映到 Hi （幕僚对应到超平面，体现出对“直”的追求）；

3）π在z附近的“值”具有特定性状（étale）；

4）参谋不能触及z的核（x或例外）；

5）两个“度关系”：

    ① degπ=A^d，提示π的权力输出（借助“度”），可看作“权力的当量关系”。

    ② degHiC<=degAB（C=∑ bj π(Bj)），可看作 A 对 Si的控制在“度”上的体现（像空间里）。

         问题1：把A换成Si 如何？

         问题2：π(B)=∑ bj π(Bj) 成立吗？（即问：π是线性的吗？）

注：此命题较陌生，待随后温习时再写剧本。

.

小结：完成命题5.2的读写。同时也完成了整个Sect.5的读写。

* * *

按作者提示，命题5.2是Noether规范化定理的变体。不妨把 lP^d 看做规范空间（lP^d就是“投影空间”？）。引入π肯定有某种好处，应在后续进展中加以观察和体会。

已经过去3个月，再过3个月可能就读完了，到那时在叙述、整体结构上该比较熟悉了。希望能把这个事情做到底。

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