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“重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么” 精选

已有 9005 次阅读 2018-1-11 12:03 |个人分类:科学随笔|系统分类:生活其它

比例是个元模式。
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《几何原本》中专门讨论过“比例”。此概念可能出现在更早以前。到了牛顿的时代,出现了以“坐标系”为特征的解析几何,于是就有可能在这个框架里重新考察比例。当然,“坐标系”也是个元模式,这是笛卡尔的“元贡献”。但笛卡尔不会孤零零地拿出坐标系的概念,他肯定要用它来做一些事情,把这个贡献以某种方式固定下来。我相信他藉此解决了前人未能解决的重要问题,从而展示出坐标系的威力,并获得了广泛的赏识。从现代的观点来看,笛卡尔坐标系就是个(向量)空间,相当于给数理界的房地产大佬们准备了全部的“地皮”。
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牛顿要用数学来研究和表达天体的运动,就不得不面对弯曲的线,最简单的就是圆了。我推测彼时笛卡尔已经写出了圆的方程,但他有没有写出圆上的切线方程呢?这个事情值得考察。但有一点我敢肯定,笛卡尔没有用坐标系去计算pi值(否则就没有牛顿的事儿了)。在《天才引导的历程》这本书中展示过一副“截图”(牛顿的《论分析》),内中显示牛顿考察过幂函数,还给出了求积法则。推测“流数法”也包含在其中。
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牛顿熟读过《几何原本》,又读过笛卡尔、韦达等人的著作,因而把其中的内容结合起来考虑似乎是很自然的事情。特别是,为了计算天体在轨道上的精确速度,就得计算曲线上任意一点的斜率,它是个比例的形式。牛顿曾说过“画直线、画圆是问题,但不是几何问题”(见《原理》自序),可以看出他对于问题的归属有着清晰的划分。因按此,速度是物理概念,但“计算速度”这个事情则是(新)几何学的问题了。
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刚才想拿出《原理》翻看,里外找了三遍,不见了。这是个奇怪的事情,印象中它就在我的手边。。。噢,找到了——就在我左臂伸展的范围之内——压在另外两本书下面了(费恩曼的前两卷讲义)。“初量与终量的比值方法,由此可以证明下述命题”,这是《原理》第一编“物体的运动”里第一章的标题——到目前为止,我还压根没读过这里的内容。回头得仔细看看了。
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不难推测,牛顿所说的“初量与终量的比值方法”就是“导数”的概念和方法,里面也蕴含着“极限”的思想。可以看出,导数是个元模式,它建立在两个量的比例上 (d-c)/(b-a),其中a、b是自变量的两个值,c、d是应变量的两个值。这种形式的比例只能在解析几何的框架下出现,也称作“差分”。导数的另一个基础是“极限”,它也是个元模式。但对于极限的准确严格刻画要到很久之后,其实就是关于“初量”和“终量”的两个不等式。也许是去年,我买了一本厚厚的书《建立不等式的方法》,里面有一句quotation (Ch 3.8) —— “有时我有这样的感觉,数学(特别是分析学)就是不等式” (M. Hazewinkel)。这本书也收录了一些数学名言,比如“在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.(毕达哥拉斯)” —— 深刻。很多时候,现代的大学老师赶不上古代人的思想水平...
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据我所知,函数、自变量、变量的概念最早是由欧拉给出的,好像是好久以后的事情了,但牛顿的《论分析》中已经有了ax^(m/n)=y 这种表达式,甚至给出了该曲线所围成面积的计算公式:an/(m+n)x^[(m+n)/n]。从体例上看,牛顿写的《原理》和《光学》,风格上有点模仿《几何原本》的痕迹,体现出一种“对接”(或“承接”)的意识和倾向。这个事情值得引起注意。古代人对于著书立说相当重视,出版著作更是很“隆重”的事情。不管什么人,都不轻易出书,于是一旦有人拿出著作,会引起所有人的注意,因为人们知道里面肯定有些什么(应该是类似于“元模式”的内容)。
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其实,压住自己的学问不发表,这也是一种元模式。比如,牛顿的《光学》推迟了二十年才出版,而他的有些研究甚至推迟了四十年之久—— 当一众人阅读这类著作时,心里可能会生出些许的庆幸——这可是那些死去的人看不到的啊!可能,作者也会有一种快感 —— 我看到了你们的,你们却看不着我的。

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注:上文首发于群邮件[Graduate Gate],“论比例”。



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