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一元二次方程难住数学博士?! 精选

已有 9042 次阅读 2018-1-19 09:21 |个人分类:科学研究|系统分类:科研笔记

元模式是不可磨灭的。
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1. 故事的开始
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       昨天早些时候,忽然想到一个问题:一元二次方程的求根公式是怎么得来的?想了半天才想出那个公式,但完全不记得如何推导的。当即在一个纸质笔记本上列出式子,并在旁边写下“如何求根?”的字样。忙活了半天,居然没有推导出来,心中吃了一惊:原来这还真是个问题。我跑去厨房,讲这个事情,认为古代人了不起。“科学家可不是一般的人(能做的)”——收获了这么一句评论。她正在给盘子抹肥皂,认为我出现的不是时候。
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2. 三个死胡同
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       虽然没有推导出来,但也不是一无所得。下面是纸质笔记本上的原始记录。这里额外添加的说明放在加黑的方括号里。往下看之前,各位可以独自试着推导一下(推导不出的请举手 —— 诚实是一种美德哦 ^_^)
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ax^2+bx+c=0   如何求根?
      ↓
a(x+r1)(x+r2). 【写了又涂掉了】
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(sqrt(a)x+r1)(sqrt(a)x+r2)
=ax^2+r1sqrt(a)x+r2sqrt(x)+r1r2
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c=r1r2
b=sqrt(a)(r1+r2)
【给这两个式子画上了大方框】
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r1=c/r2
b/sqrt(a)=c/r2+r2
(b/sqrt(a))r2=c+r2^2
r2^2-b/sqrt(a)r2+c=0  【转化为r2的一元二次方程——进入死胡同】
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(a+b)^2=a^2+2ab+c^2 【此式写到了靠右的地方,作为参考的公式——有了配方的企图】
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(sqrt(a)x)^2+2sqrt(a)x  【写了一半又涂掉了】
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(sqrt(a)x+d)^2=ax^2+2sqrt(a)xd+d^2.  【写出此式是为了参考,显示出配方的意图】
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ax^2+2sqrt(a)bx+b^2-2sqrt(a)bx-b^2+bx+c=0
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(sqrt(x)+b)^2=(2sqrt(a)b-b)x+b^2-c. 【还是死胡同】
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【上面的内容写在纸质笔记本的右侧一页,左侧有大半页空白,转到左侧继续推导...】
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ax^2+sqrt(a)(r1+r2)x+r1r2=0. 【把前文大方框里b、c的公式代入原方程】
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sqrt(a)x+r1=0 
==>x1=-r1/sqrt(a)
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sqrt(a)x+r2=0
==>x2=-r2/sqrt(a)
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a r1^2/a+sqrt(a)(r1+r2)(-r1/sqrt(a))+r1r2=0
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r1^2-(r1+r2)r1+r1r2=0 【仔细一看,这是个0=0的式子——第三个死胡同】
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3. 最后的尝试
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       上面最后的式子虽说失败,却也美好:把r1和r2互相替换,该等式仍成立。但这不是启发的来源。注意到这个恒等式的化简过程中,平方项的系数归一了。这使我想到应该先把原方程的平方项系数归一,然后再配方。这个念头之前也出现过,但没有实施。现在只能试试这条路了。下文是原始笔记(纸质笔记本往后翻一页,左侧)。
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ax^2+bx+c=0
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x^2+b/a x+c/a=0
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(x+d)^2=x^2+2xd+d^2 【仅作为参考公式】
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2d=b/a ==> d=2/(2a)
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x^2+b/a x +(b/2a)^2-(b/2a)^2+c/a=0  【/2a表示2a整个都在分母】
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(x+b/2a)^2=b^2/(4a^2)-c/a >=0
==>
(b^2-4ac)/(4a^2)>=0.
==>
Δ=b^2-4ac>=0.
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x+b/(2a)=(+/-)sqrt(Δ)/(2a)
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x=-b(+/-)sqrt(Δ)/(2a)  【笔记中给此公式画上了一个大红圈】
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4. 不可磨灭的
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       回顾起来,求解一元二次方程有两个关键步骤,平方项归一和配方(法)。在做最后的尝试的初期,头脑中也掠过用旋转的办法消去一次项的念头,但没有去实施(应该是行不通的)。而做配方也是因为头脑中有一定的印象。还要承认一点,我的头脑中有求根公式,这也起到一定的提示作用。这里的(事后)启发是:为了求解一元二次方程,应当先考察它的最简单形式(而且要具体),即:x^2=2。此方程应该是历史上第一个一元二次方程,也是开方的起源。求解它只有一个步骤,即两边开方。而对于一般的一元二次方程,这也是一个关键步骤,而且具有特征性(或标志性)。此方程本身也提示了“配方”,就是说,对平方形式才好开方。整个地,x^2=2 提示,应该设法写出左边为平方形式、右边不含未知量的样子。这就是元模式的不可磨灭性——就好像它穿透了表面上的变化,显示出“本来”的面目。引号意味着“改变了的不变”、“有改变却又没改变”这类意思。另一个启发是,当我们看到x的时候,不要把它当作未知量,而要当作一个符号——它可以是一切表达式。
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5. 背后的考虑
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       当然,谁也不会无缘无故地考察一元二次方程。我的动机应该是来源于了解伽罗瓦理论的企图。上面提出的“改变了的不变”,可以显示一定的力量。比如,我们取(x-1)^2=2,由此得到x=1(+/-)sqrt(2)。“改变了的不变” 意味着 1+sqrt(2)或1-sqrt(2)可以看做跟sqrt(2)同类的东西,尽管样子有所不同。换句话说,改变一元二次方程的系数得到的解,都跟x^2=2的解是同源的,就好像是从同一个(组)根派生出来的。迦罗瓦在研究一元高次方程的时候,把 1+sqrt(2) 这种数也看做是(广义的)有理数,或许就源于“改变了的不变”这种“思想直观”。比如,如果考虑(x-(2-sqrt(2)))^2=2,可以得到x=2-2sqrt(2),或者2,意味着这两个数也是同类的。他的另一个考虑是,把同一方程的系数做排列,并考察所得解之间的关系(?)。关于这一点我还不确定,只是从《数学简史》中看来的,那里也只是模模糊糊地提了一下。印象中,迦罗瓦提出过“analyisis of analysis”(分析之分析)这种说法,也提出过(大意)“把同类/同样的计算放在一起而减少计算量”这种看法。我初步推测,迦罗瓦的方法部分起源于“简便计算”的动机,并注意到了一些初步规律,进而又做了全面的挖掘。不管怎样,暂时无法知道他得出那理论时的心理状态——到底是兴奋和喜悦的呢,还是感到稀松平常呢?

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注:本文首发于群邮件[Graduate Gate],原标题“论根性”。可选标题“数学博士的笔记”。



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