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分析的起点在哪里? 精选

已有 4813 次阅读 2018-1-9 08:03 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

分析的起点在哪里?
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早先应同学要求推荐了几本书*,包括自己的三本藏书。这几天翻阅了其中的一本。注意到牛顿二项式定理似乎与微积分的创立有密切的关系。特别地,牛顿用自己的方法计算了pi值(小数点后16位),用到二项式定理及逆流数方法。(我)初步猜测,或许牛顿的起点是计算pi值,只不过写作的时候成了方法在前、计算在后的顺序(待考)。
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书中介绍,牛顿写过一本《论分析》。更早的时候(1591年),韦达出版过一部《分析方法入门》,也计算过pi值。牛顿的时代已经有了笛卡尔的解析几何,在这个框架下圆可以写成方程的形式。牛顿应该是从这个角度出发计算pi值,但书上没有明说。按照(我)对圆的理解,它是神权合一的象征。看来,圆的方程可能是一切分析的起点(待考)。
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(我的)另一个考虑是,古代人研究二项式的动机是什么呢?从形式上看,a+b是个“元模式”(该模式本身不能更简单了),它意味着某个完整事物由两个部分合成。按照亚里士多德的观点,从整体到部分,即意味着分析。在a+b这个“原子”的基础上,进一步引入“连乘”(也是一种“元模式”),就得到较一般的二项式(a+b)^n,其展开系数符合“杨辉三角”(或“帕斯卡三角”)。牛顿把二项式的幂次方推广为有理数。他考虑有理次幂肯定有某种原因,比如问题情境的刺激。至于他是怎么摸索出一般规律的,就不得而知了。(牛顿只写公式而没有给出证明,正如物理学家或工程师做的那样)。
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写第一本微积分教科书的人,头脑中本来是历史顺序,成书后就只留下逻辑顺序了。因为他当时身处历史中,对他和同时代的人而言,历史顺序有点像常识一样,用不着去写。但随着时间的推移和教科书的流通,历史顺序就为人们所淡忘了。忽然有一天,人们想起来追问这个事情,发现最初的情况完全是另一回事。那些天才们有没有预见到此等情况呢?可能,明摆在那里,人们也会相当然,非得费一番功夫才有意思。。。
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既然教科书遵循的是逻辑顺序,即事后整理的内容,就不大可能保留探索的痕迹了。这里面也有令人困惑的两难局面:逻辑顺序更紧凑、压缩,但会掩盖原始思想;历史顺序更符合认知顺序,但难免冗长费时。这有点像博物馆和文物现场的关系。可见,有必要引入“元学”,用它来“通观”知识。如果说事实和逻辑好比知识的身体,那么观点就是知识的灵魂了。
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总之,a+b可以视乎“分析”的抽象表达(之一),即“分割”。另一种表达则是“投影”。(我)推测,韦达的《分析方法入门》包含很多启发(即怎么看“分析”这个事情)。微积分的最终产品就是两套公式表,在“用”的层面完全可以不考虑背后的思想。但要在学术方向上发展,脱离有关思想及方法恐怕是不行的。所谓思想,就是“怎么看”(即牛顿的神学笔记?);所谓方法,就是“怎么做”(即牛顿如何发明了微积分)。然后才是公式,即“怎么算”。教材里不会告诉你如何发明微积分,只能告诉你怎么算,而那些理论都是事后编出来的。
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二项式里包含“重复”之模式,我猜应该会对应着某种“群”理论,正如多项式方程蕴含着迦罗瓦理论那样...有时间的话,我想搞清楚微积分的起源、迦罗瓦理论的发明经过(即原著)、数论里做点发明,最好能写出一本“元学观点下的微积分”。研究方面,若能把货仓里现有的几个半成品完成就不错了。
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注:上文首发于群邮件[Graduate Gate],原标题“论分析”。

 



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