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“...他们可以找到一个很好的公式”。
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“...他们可以找到一个很好的公式”。
---- 原作证明共12段，分6个步骤.
Step 1,第一段 (逐句评论).
1. From here until the end of Step 3, we will try to relate the problem to a similar problem on the projective space lPᵈ.
---- 前3个步骤预将问题关联到射影空间lPᵈ上.
注：共6段，接近1.5页，占整个证明的 48%.
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2. It is enough to prove the statement over C, by the Lefschetz principle.
---- 由Lefschetz原理，只须在复数域上证明命题.
(略浏览，第三个链接内容较全)
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3. Removing the components of Λ not passing through x, we can assume Λ = ΣSᵢ where Sᵢ are the irreducible components.
---- 从 Λ 中去除不经过 x 的分量，可假定 Λ = ΣSᵢ 其中 Sᵢ 是不可约分量.
---- 侧面信息: 大写字母代表(抽象)几何对象.
评论：这里又出现了 “we can assume...”
---- 为何不直接在条件中提出来?
---- 可能是为了不使命题显得过于累赘.
---- 在证明中途加条件，可称作“argument”.
---- 相当于对条件进行某种“微调”(trim, fine tuning).
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4. Since degAΛ ≤ r, (X, Λ) belongs to a bounded family of pairs depending only on d, r.
---- 既然 Λ 相对于A的度有界，则 (X, Λ) 属于有界配对族，仅依赖于d, r.
---- 这句话涉及到大结论，但未提及任何文献.
---- 姑且作为已知结论记住.
(从课本中能学，从文章中也该能学).
评论：体现出有界度和有界配对族的对应关系.
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5. Thus replacing A with a bounded multiple and replacing r accordingly, we can assume A - Sᵢ is very ample for each i.
---- 于是，用“bounded multiple”替换 A 并相应地替换 r，可以假定对每个i， A - Sᵢ 系 “very ample”.
---- 后半句该是此段的“落点”.
---- 和上一句一样，此句突兀且未提及文献.
(前半句暂时理解不了?)
---- 估计是已知且常有的结论或手法.
---- 此句也出现了“we can assume...”.
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评论：整个第一段是为第二段做准备.
---- 第二段将调用命题5.2.
---- 3 是准备条件 “x∈∩Sᵢ”.
---- 5 是准备条件“A - Sᵢ is very ample”.
(另一条件“禁”已经包括在当前命题的条件里)
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Step1, 第二段(逐句评论).
Write B = ΣbjBj where Bj are the distinct irreducible components.
---- 写出B的分量式，本段及命题5.2用到.
---- 未提及B非负的事情，或蕴含在eps-lc？
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By Proposition 5.2, there is a finite morphism π: X --> Z = lPᵈ = ProjC[t₀,...,td], mapping x to the origin z = (1:0:...:0) and mapping Sᵢ onto the hyperplane Hᵢ defined by tᵢ.
---- 开始调用命题5.2.
---- 注：原命题中的 k 换成了更具体的复数域.
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Moreover, π is étale over z, Supp B contains no point of π⁻¹{z} other than x, deg π = Aᵈ, and degHᵢC ≤ degAB ≤ r where C = Σπ(bj)Bj.
---- 继续复述命题5.2的结论.
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In addition, by the proof of the proposition, π*Hᵢ coincides with Sᵢ near x.
---- 这句话没有直接出现在命题5.2.
---- 看原作的意思是蕴含在那里的证明里(?).
---- “coincide” 该是基本概念，待考(?).
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小结：第二段完全是复述命题5.2.
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1164607.html
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