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学习的意义在于养成“畅游陌生”的习性...
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【注：下文是单位群邮件的内容，踌躇满志ing...】
学习的意义在于养成“畅游陌生”的习性，就像习水之人能畅游于江河湖海。
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（接上回<）第5个小标题：Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree.
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评注：转而度量有限阶数的R-线性系统（后简称“R-系”）。
评论：之前的提法“boundedness”或是指R-系的阶数有界/有限。
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第一段照录如次。Next we treat lc thresholds associated with divisors on varieties, in a general setting. To obtain any useful result, one needs to impose certain boundedness conditions on the invariants of the divisor and the variety.
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第一句，接着，我们要在一般情形下处理 varieties上的 divisors的 lc thresholds.
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第二句，为了获得任何有用的结果，需要对divisor和variety的invariants施加某种有界条件。
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评注：要点是“general setting” 和 “impose certain boundedness conditions”（怎么个impose法？）。
评论：“divisors on varieties” 这种提法暗示两者是类似函数与定义域的关系。“invariants of the divisor and the variety” 这里的提法值得注意（“invariants”亮相了）。
疑问：“useful”的说法是出于何种考虑？
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第二段照录如次。Theorem 1.6. Let d, r be natural numbers and eps a positive real number. Then there is a positive real number t depending only on d, r, eps satisfying the following. Assume
- (X, B) is a projective eps-lc pair of dimension d,
- A is a very ample divisor on X with A^d ≤ r,
- A - B is ample, and
- M ≥ 0 is an R-Cartier R-divisor with |A-M|R ≠ Φ.
Then, lct(X, B, |M|R)≥ lct (X, B, |A|R)≥t.
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评注：定理给出了lct的两个不等式。
评论：看上去 (X, B) 充当“基础设施”，A （或|A|R）处于中心地位，M 则是参照物。定理告诉我们，在给定的(X, B)环境中，某一类 A（或|A|R）的度量值存在最大值和最小值。注意：t 跟(X, B)本身没有关系，而只跟维度、属性等关联。
疑虑：看上去，第三、四项似乎有些牵强。（推测/期望：在某种特定情况下，这两项自动满足）。
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第三段照录如次。This is one of the main ingredients of the proof of Theorem 1.4 but it is also interesting on its own. We explain briefly some of the assumptions of the theorem. The condition A^d ≤ r means that X belongs to a bounded family of varieties, actually, if we choose A general in its linear system, then (X, A) belongs to a bounded family of pairs. We can use the divisor A to measure how “large” other divisors are on X. Indeed， the ampleness of A - B and the condition |A - M|R ≠ Φ, roughly speaking, say that the “degree” of B and M are bounded from above, that is,
degAB:= A^{d-1}B < A^d ≤ r and degAM: A^{d-1}M ≤ A^d <=r.
Without such boundedness assumptions, one would not find a positive lower bound for the lc threshold. For example, if X=P^d, then one can easily find M with arbibrarily small lc threshold if degree of M is allowed to be large enough. The bound on the degree of B is much more subtle.
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第一句，这是定理1.4之证明的主要成分之一，但该定理本身也是有趣的。
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第二句，我们扼要解释定理的若干假设。
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第三句，条件 A^d <=r 意味着X属于有界族；实际上，如果我们在A的线性系统中选择一般的A，那么(X, A) 属于配对的有界族。
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第四句，我们可以用除子A度量其它除子在X有“多大”。
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第五句，确实，A-B的ampleness 以及条件 |A - M|R ≠ Φ，粗略的讲，是说B和M是上有界的，即，
degAB:= A^{d-1}B < A^d ≤ r and degAM: A^{d-1}M ≤ A^d <=r.
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第六句，若没有这样的有界性假设，就不会找到lc threshold的正下界。
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第七句，比如，如果 X = P^d，那么就很容易找到M，使得 lc threshold 任意小，如果 M的degree允许足够大。
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第八句，B的degree的界要微妙得多。
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评注：此段是前述定理的注记，第一句说明定理扮演的角色，此后扼要解释了定理的若干假设。
评论：第三、四句解释条件A^d<=r及后果/用处，第五句解释定理第三、四项的含义/后果。最后三句则从反面考虑，并举例说明。
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特评：此定理似乎是为定理1.4做准备。注意：在这个引言里，作者是要概括主要结果（定理、推论及主要定义），并提示若干重点。不要指望完全搞懂。弄明白大框架即可。
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小结：第5个小标题完结。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1129185.html
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