【注：下文是单位群邮件的内容，笑傲江湖ing...】

基础全在“天上”...

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（接上回^）第三段照录如次。Although one can derive the theorem from 1.1 but we actually do the opposite, that is, we will use the theorem to prove 1.1 (see 2.15 below). The theorem was conjectured by Ambro [2] who proved it in the toric case. Jiang [15][14] proved it in dimension two. It is worth mentioning that they both try to relate lc thresholds to boundedness of Fano's but our approach is entirely different.

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第一句，尽管可以从（定理）1.1推出这里的定理1.4，但我们实际上是反过来，即我们将用这个定理去证明（定理）1.1（见后文 2.15）.

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第二句，这里的定理（1.4）出自Ambro[2]的猜想，他给出了环面情形的证明。

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第三句，Jiang [15][14] 给出了二维情形的证明。

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第四句，值得提及的是他们都试图关联 lc thresholds 和 boundedness of Fano's，但我们的途径迥然不同。

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评注：扼要说明定理1.4的来源及现状。

评论：第一句说明了定理1.1和定理1.4的逻辑关系。第四句值得回味。

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特评：该段四句话的顺序安排值得品味。尽管头前有两人做，但作者并没有写成“跟”的模式。如果把第二、三句摆在前面，认知上会有微妙变化。第四句有“撇清”的意味。

大话：做了个“三明治”，Ambro 和 jiang “荤素搭配”，夹到中间去了。

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第四段照录如次。The lc threshold of an R-linear system |A|R is defined as an infimum of usual lc thresholds. Tian [30, Question 1] asked whether the infimum is a minimum when A = - Kx and X is Fano. The question was reformulated and generalised to log Fano's in [8, Conjecture 1.12]. The next result gives a positive answer when the lc threshold is at most 1.

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第一句，R-线性系统 |A|R 的 lc threshold 是由通常 lc thresholds 的下确界来定义的。

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第二句，Tian [30, 问题1]曾问此下确界是否为最小值，当 A= -Kx 且 X 是 Fano的。

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第三句，此问题在[8, 猜想1.12] 经过变形并推广到Fano情形。

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第四句，（我们的）下一个结果给出了肯定的回答，当lc threshold 至多为1。

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评注：引入并介绍了下一个结果的背景。

评论：此段也是“三明治”布局。第一句引入客观对象。第二、三句连接Tian的问题及相关猜想，体现出事情的重要性和发展路径。第四句回到自己。

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第五段照录如次。Theorem 1.5. Let (X, B) be a projective klt pair such that A:= - (Kx + B) is nef and big. Assume that lct (X, B, |A|R) <=1. Then there is 0<= D ~ R A such that

lct (X, B, |A|R) = lct (X, B, D).

Moreover, if B is a Q-boundary, then we can choose D ~ Q A, hence in particular, the lc threshold is a rational number.

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定理 1.5. 令 (X, B) 是仿射 klt 配对，使得 A:= - (Kx + B)  nef 且 big。假设 lct (X, B, |A|R) <=1. 那么，存在 0<= D ~ R A 使得

lct (X, B, |A|R) = lct (X, B, D).

进一步，如果B是Q-边界，那么我们可以选择 D ~ Q A，从而，特别地，lc threshold 是有理数。

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评论：关键条件 lct (X, B, |A|R) <=1的思想来源值得探究。

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第六段照录如次。The theorem is not used in the rest of the paper, and its proof in the case lct(X, B, |A|R) < 1 does not rely on the other results of this paper. Note that the lc threshold of most Fano pairs (X, B) satisfies lct (X, B, |A|R) <=1. Ivan Cheltsov informed us that Shokurov has an unpublished proof of the theorem in dimension two.

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第一句，本文其余部分用不着该定理，并且lct (X, B, |A|R) < 1 情形的证明不依赖本文其它结果。

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第二句，注意到大多数Fano配对的 lc threshold 满足 lct (X, B, |A|R) <=1。

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第三句，Ivan Cheltsov 告诉我们，就定理的二维情形，Shokurov 有个未发表的证明。

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评注：本段是注记，扼要提及三点。

评论：之前感到条件 lct (X, B, |A|R) <=1 的出现很突兀，此处第二句算是稍有交待。

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特评：早先把(X, B)看做圆，按此观点倒不难想到单位圆。但现在看来，(X, B) 不宜直接看做圆，而是该看做某种“广义坐标”，代表“广义的点”。由这个点可以派生出一批点：(X, B) ~> (X, B + t L)，其中 t 可以看做控制参数。而lc threshold 是对 L 的度量，但要以 (X, B + t L) 是否为 lc 作为定性度量。简记为：

lct ~> L ~ (X, B + tL) <~ (X, B)

                     |

                    lc

lct 反映 L & (X, B) 的性质，就好像是两者（L 和 (X, B)）相互作用的结果。假设存在某个标准的特殊配对(X0, B0)，则可将它固定，从而得到 L 的标准度量。反之，也可固定L0，取的它关于各种 (X, B) 的lct值，从而得到每个(X, B)的度量。

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阐释：打个比方，考虑物体在溶液中的浮力问题。物体记作L，溶液记作(X, B)，物体的比重记作 lct。显然，如果把溶液固定为（纯）水，则得到的比重就是标准比重。同一物体在不同溶液中，也会有不同的比重值。当溶液固定时，不同物体关于此溶液的比重之间具有可比性。反之，也可以把物体固定了，测量它在不同溶液中的比重，由此度量诸溶液。当然，比重等于1具有值得标定的意义。

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注记：幸好决定写此特评，瞌睡一扫而光。现在看上去(X, B) 跟“广义坐标”也没什么关系，但后者在思维的运动中起到某种作用。写特评之初为了追问关键条件的 lct (X, B, |A|R) <=1（思想）起源，没想到中途领会到 lc threshold 的实质（见红色加粗部分及相应黑体部分）。lct的内蕴思想是 —— 在事物的相互作用中认识/度量事物。

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又注：关键条件的思想来源，上面略有推测，但切实如何仍须探究。

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小结：第四个小标题完结。