【博主按：近期直播连载的是本人的阅读笔记，读写新晋菲奖得主Birkar的成名作，每天发给部分同事，稍后发布到博客上。感谢自己没把自己排除于读者之外，有相见恨晚之感。打算从这篇文章开始，进行“自顶而下”的学习，希冀逐渐进入此陌生领域，从头来过。。。】

（接昨天x）。第四段照录如次(10：20许)。In any given dimension, there is a bounded family of smooth Fano varieties [22]. This is proved using geometry of rational curves. Unfortunately, this method does not work when one allows singularities. On the other hand, toric Fano varieties of given dimension with eps-lc singularities also form a bounded family [7], for fixed eps > 0. In this case, the method of proof is based on combinatorics.

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第一句，光滑的Fano varieties，在任意维度上，均存在一个有界族 [22]。

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第二句，这是用有理曲线的几何来证明的。

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第三句，不幸地，当允许singularities时，此方法就不管用了。

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第四句，另一方面，给定维度上的带有eps-lc singularities的“toric Fano varieties”也形成有界族[7]，对固定的eps>0。

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第五句，在这种情形下，证明方法是基于组合学的。

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评注：从这段能看出，(Fano) varieties 至少可以分为两类：光滑的(smooth)或带奇异的(with singularities)。关注点是，从Fano varieties里寻找有界族。光滑的一类，已经有了（维度上）完全的结论；带有奇异的一类，也有了部分结果（某种带奇异的子类也存在有界族）。作者明确地提及了有关方法，尽管着墨极少。

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评论：作者扼要描述“逐鹿有界族”的情况（结果及方法），显示带奇异的一类尚未得出完全的结论。至此段，给出了 big picture。（由此推测，作者希冀就“带奇异的一类”做出完全的结论）。

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第五段照录如次。The results mentioned above led Alexeev [1] and the Borisov brothers [7] to conjecture that, in any given dimension, Fano varieties with eps-lc singularities form a bounded family, for fixed eps > 0. A generalised form of this statement, which is referred to as the Borisov-Alexeev-Borisov or the BAB conjecture, is our first result.

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第一句，如上提及的结果使得Alexeev和Borisov兄弟俩得出这样的猜想：在任何给定维度里，带有eps-lc 奇异(点)的 Fano varieties 都形成有界族，对固定的eps > 0。

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第二句，我们的第一个结果是（证明）此陈述的广义形式（指代为“BAB猜想”）。

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评注：没话说了，Alexeev和Borisov兄弟俩各自看出了big picture，从而做出了大胆的BAB猜想（尽管事后看顺理成章）。作者的角色之一是“推广并完成猜想的证明”（相信其中的“看点”在于方法）。此后另开了天地也说不定。

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评论：BAB猜想的形成路线是由特殊到一般、由部分到全部，这是“形而上”的做法[注]。

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注：最近对“形而上”有所思考。网上查资料没看明白。在新近考虑(广义)牛顿二项式时略有所悟。拿出一些面值一样的硬币，排成一个长方形。数一数两个垂直边上的硬币数目，做乘法，就得到全部的硬币数目。把这里的做法沿用到土地丈量上，就是所谓的“形而上”了：自然数的乘法（计数） ---> 正数的乘法（求面积）。写到这里，忽然不知道“乘法”是怎么来的了-_-! （即乘法的“起源”是怎样的？）。

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小结：菲奖得主是杰出人才，其杰出性不仅集中反映于学术方面，也会蕴含于谋篇布局与字里行间 —— 可学之处多矣。