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用红色下标a替换了原作上标an

已有 2529 次阅读 2019-3-1 16:09 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

 

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(接前:27 25 24) 命题5.5的证明.
Step2. 第一段(逐句评论)
By Lemma 2.20, there exist analytic neighbourhoods U and V of x and z, respectively, such that π|U induces an analytic isomorphism between the analytic pairs (U, B|U) and (V, C|V).
注:方便起见,用红色下标a替换了原作上标an.
评论:这里调用了引理2.20*. 图解:
  原像   像
π: x --> z   单点
     |       |
    -->V    局部  
     |       |
    X -->lP  空间
     |       |
    B -->C    边界
     |       |
    Λ -->Θ    边界2
---- U 和 V 分别是 X 和 lP 的子集.
---- 设想 U 和 V 是原像与像的关系.
---- 先从(X, B) 分出个局部配对 (X|U, B|U).
---- 显然,X|U = U. 局部配对为(U, B|U).
---- 也可以理解为 (X, B)|U.
---- X 和 lP 是原像与像的关系.
---- B 和 C 也是原像与像的关系.
---- 合理设想(X, B) 与 (lP, C) “继承”上述关系.
---- 之前把原像配 (X, B) 局部化到 X 的 子 集U.
---- 同样,像配 (lP, C) 局部化到 lP的子集 V.
---- 于是,可写出 (V, C|V或 (lP, C)|V.
注:上述图解先前只画了黑色部分是,绿色部分写完评论后补上去的(感到高兴和满意).
又注:原作有些符号带有上标an(简略为下标a),该是提示“解析”属性. 待考(?). 
.
评论:粗略地说,单点关系引出局部关系,再将全空间配对“局部化”(限制到局部).
---- 局部化会带来什么好处?
.
In particular, (Z, C) is eps-lc near z.
---- 意思是,配对(X, B)的像在局部保持 eps-lc.
---- 这就是好处了(eps-lc 是主配对的关键性质).
注:Z 是指代 lP (即 X 的像,见Step1第二段*).
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Let Θ:= Σ H.
---- H 是 S 的像. 这样 Θ 指代 Λ 的像.
---- 原作倾向于用到时才给出符号.
.
Since π*H coincides with S near x, we also have an analytic isomorphism between (U, Λ|U) and (V, Θ|V).
注:红色下标见第一句注.
---- Λ 和 B 一样,是配对的“边界”.
---- 此句是对 (X, Λ) 及其像(Z, Θ)引入局部化.
---- 类似于对 (X, B) 及其像(Z, C) 所做的.
评论:参前述图解(粉色部分是刚添加的).
临时:刚忽然想到,“coincide” 该是“好”的关系.
---- “好” 是指变换后保持好的性质,或带来好处.
(借助上下文猜测陌生概念的含义要比直接查书有意思得多).
.
Moreover, each stratum of (Z, Θ) passes through z and each one is the image of a stratum of (X, Λ) passing through x.
---- 之前是局部性质,这里转向整体性质.
---- 或者说,通过局部刻画整体.
---- x 和 z 象联通两个空间的虫洞!
---- 之前误以为 stratum 是某种 “点”,现在可以看出它是某种几何对象.
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Thus Supp C does not contain any stratum of (Z, Θ), except possibly z...
---- 上一句指出,stratum 的关系能够保持.
---- 这一句指出 “禁” 的关系也能保持.
(所谓“禁”,是指配对以外的第三个对象取Supp 不包含配对的“stratum”)
 ---- stratum 标签为“宝”. 宝和禁总是相连的.
.
Indeed, if Supp C contains a stratum I, then there is a stratum J of (X, Λ) passing through x which maps onto I...
---- 为了证明, 像空间里假设有 stratum, 记作 I.
---- 并且它包含在 Supp C 中.
---- 则原像空间中有对应的 stratum, 记作 J.
---- 并且 J 穿过 x. (根据上、上一句).
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...by the above analytic isomorphisms, J|U  Supp B|U which implies J  Supp B, hence J = x and I = z.
---- J 穿过 x. 则至少 J 的一部分在 x 的解析领域内.
---- 但 J|U  Supp B|U 怎么来的,看不懂.(?).
(看不懂是因为并没有 x  Supp B的假定).
---- 此句大意:局部包含,则整体包含.
---- 须弄懂 stratum 与 局部化的关系 (?).
.
评论:最后一句的证明分成了三行来评论,大思路是:假设有stratum 含于SuppC,则它必定是 z.
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小结:由单点引出解析领域,两组配对可解析地限制到上面. 这件事在原像空间和像空间都发生了,而且两边是解析同构的. 对于主配对的像(Z, C),eps-lc 保持(局部);对于新配对的像(Z, Θ),“禁”的关系保持(整体). 此命题中,只考虑新配对的stratum.
*
温习:Step1的重点在第一段. 要点:
1. 从 Λ 中移除不经过 x 的分量,可假设 Λ = ΣS.
2. Λ 关于 A 的度有界,蕴含 (X, Λ) 属于有界族.
---- 后果:用有界“multiple”替换A,可假定 A - S very ample.
注:以上两点对应命题5.2*的附加1和附加3.
注:Step1第二段是调用命题5.2(复述结论部分).
...


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